高考數(shù)學分類討論思想全解

所謂分類討論思想，就是將一個較為復雜的數(shù)學問題分解（或分割）成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略.它作為高中數(shù)學最基本的思想方法之一，歷來是高考數(shù)學考查的一個重要內容.

一、知識要點概述

1.分類討論的思想方法的原理及作用

在研究與解決數(shù)學問題時，將數(shù)學對象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，然后逐類進行討論，再把這幾類的結論匯總，從而得出問題的答案，這種研究解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論的思想方法是中學數(shù)學的基本方法之一，在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查，體現(xiàn)出其重要的位置.

2.引起分類討論的原因主要是以下幾個方面

①問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的.如|a|的定義分a>0，a=0，a<0三種情況.這種分類討論題型可以稱為概念型.

②問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質型.

③解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論.如解不等式ax>3時分a>0，a=0，a<0三種情況討論.這稱為含參型.

另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性.

二、解題方法指導

1.分類討論的思想方法的步驟

（1）確定標準；（2）合理分類；（3）逐類討論；（4）歸納總結.

2.簡化分類討論的策略

（1）消去參數(shù)；（2）整體換元；（3）變更主元；（4）考慮反面；（5）整體變形；（6）數(shù)形結合；（7）縮小范圍等.

3.進行分類討論時，我們要遵循的原則是

分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論.其中最重要的一條是“不漏不重”.

4.解題時把好“四關”

（1）要深刻理解基本知識與基本原理，把好“基礎關”；

（2）要找準劃分標準，把好“分類關”；

（3）要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關”；

（4）要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗關”.

三、分類討論基本題型

友情提示：解決由概念、法則、公式引起的分類討論問題一般分四個步驟：

第一步：確定需分類的目標與對象.即確定需要分類的目標，一般把需要用到公式、定理解決問題的對象作為分類目標.

第二步：根據(jù)公式、定理確定分類標準.運用公式、定理對分類對象進行區(qū)分.

第三步：分類解決“分目標”問題.對分類出來的“分目標”分別進行處理.

第四步：匯總“分目標”.將“分目標”問題進行匯總，并作進一步處理.

2.由參數(shù)變化而引起的分類討論

友情提示：一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結合參數(shù)的意義及對結果的影響進行分類討論.這類問題有兩種情形：（1）由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會導致結果不同，所以要對某些問題中所求的變量進行討論；（2）有的問題中雖然不需要對變量討論，但卻要對參數(shù)討論.在求解時要注意討論的對象，同時應理順討論的目的.

3.根據(jù)圖形位置或形狀分類討論

例3 如圖所示，有兩個相同的直三棱柱，高為2a，底面三角形的三邊長分別為3a、4a、5a（a>0）.用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是________.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學）