有趣的獵尋問題及其Matlab編程應用

【摘 要】對現(xiàn)實中很多問題的合理數(shù)學抽象與求解是解決該類問題的關鍵所在。本文針對有一定規(guī)則的狼獵尋羊的問題進行合理抽象后變成數(shù)學問題。利用Matlab軟件和歸納綜合的方法對獵尋問題進行分類探討，總結(jié)出有意義的結(jié)論，有助于學生拓展思維寬度和增加學習樂趣。

【關鍵詞】獵尋問題 Matlab 編程應用 歸納綜合法

【中圖分類號】O244 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）29-0068-03

一 問題引入

現(xiàn)有4只羊（名叫“閨丫”“璧丫”“芬丫”“鮮丫”）和1只狼（名叫“紳士”）住在同一座山上。山中，有12個山洞，圍成一圈，編號依次為0到11。起初，他們生活相處都很融洽。過了不久，再也尋不到其他吃食的狼盯上了這個羊群?！伴|丫”于是和“紳士”打起了商量：“我知道您很久沒吃東西了，正在打我們的主意，但我們也不會束手就擒，我們何不打個賭呢？如您贏了，我們樂意隨你處置！現(xiàn)在我們姐妹4個各自找個山洞藏起來，每個山洞最多只藏一只羊，您從0號洞出發(fā)，每次必須隔兩個洞來尋我們——您的獵物，尋找次數(shù)不限，如何？”“紳士”很有點底氣兒：“尋找次數(shù)不限，這可是你承諾的，成為盤中餐時，閣下千萬別怨這怨那?。　?/p>

二 問題分析

在“紳士”狼嚴格遵守既定獵尋規(guī)則的前提下，其結(jié)果顯而易見，狼先從第一個山洞（0號）出發(fā)，第一次到3號洞，第二次到6號洞，第三次到9號洞，第四次又回到0號洞，并依次循環(huán)下去。可見，狼可到達的洞穴只能是0、3、6、9號，因此只要4只羊分別藏于除0、3、6、9之外的其他洞穴，她們都是安全的，狼只能無可奈何，路線示意圖如下所示。

三 問題延伸

“紳士”狼沒多想，直接依約開始。但找了幾圈之后，發(fā)現(xiàn)問題比較嚴重，漸漸失去按規(guī)則獵尋的耐性。“閨丫”見狀再次主動和“紳士”打起了商量：“要不咱們重新?lián)Q個規(guī)則，從0號洞出發(fā)，第一次到1號洞，第二次隔一個洞（即到3號洞），第三次隔兩個洞（即到6號洞），依次類推，這樣可避免尋找洞穴的周期性重復出現(xiàn)，尋找次數(shù)仍舊不限，如何？”“紳士”不比先前自信，但想來這樣無限制地獵尋下去篤定是餓不著了?！伴|丫”望著“紳士”又說：“試試撒？”“紳士”不失風度：“試試就試試啰，當真你有那么好的運氣不成！”

四 Matlab軟件編程助力解算

狼先從0號洞出發(fā)，接著來到1號洞，接著又來到3號洞（1+2=3），接著又來到6號洞（3+3=6）、10號洞（6+4=10）、3號洞（10+5-12=3）……依次類推，狼獵尋到下一洞的序號與前一洞的序號相關，是前一洞序號加上隔洞數(shù)除以12的余數(shù)。由于尋找次數(shù)不限，大量的手工計算比較麻煩，考慮運用Matlab軟件編程助力解算。

Matlab（Matrix laboratory）軟件是Mathworks公司于1984年推出的一套高性能的數(shù)值計算和可視化軟件，可方便地應用于數(shù)學計算、算法開發(fā)、數(shù)據(jù)采集、系統(tǒng)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學和工程方面。將Matlab的強大計算功能應用到中學數(shù)學計算中，既可以鍛煉學生的工具應用能力，也可以拓展學生解決問題的思維，對于以后的高層次學習和發(fā)展有著重要意義。

根據(jù)之前對問題的分析和數(shù)學抽象后，運用Matlab軟件的編程思路是：

（1）初始洞號a=0，狼找過的洞的初始合集為b={0}；

（2）用while循環(huán)實現(xiàn)前若干次的序號集；

（3）循環(huán)體中，第i次的洞號a是前一洞號加隔洞數(shù)i除以12得到的余數(shù)，同時將每次產(chǎn)生的新序號添加到之前的序號集中。

具體編程語句代碼如下：

clc； clear all； close all；

a=0； b={0}； i=1；

while i<=100

a=rem（a+i，12）；

i=i+1；

b=[b，a]；

end

b

return

通過Matlab軟件編程計算結(jié)果表明：

（1）在前100次的獵尋中，狼找過的洞只限于0，1，3，4，6，7，9，10號；

（2）每24次獵尋后將會出現(xiàn)0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6，6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0循環(huán)，即狼“紳士”將重復進入以上序號的洞穴。

綜合上述結(jié)果得知，如4只羊分別藏在第2、5、8、11號洞，她們顯然是安全的。當進一步加大模擬實驗的次數(shù)時（如把i<=100改為i<=10000），發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律不變，狼獵尋的洞穴號只能是0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6，6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0循環(huán)。于是，通過大量數(shù)據(jù)的計算，歸納總結(jié)出2、5、8、11號洞是4只羊的風險規(guī)避地。

五 綜合拓展

苦不堪言的“紳士”又一次發(fā)現(xiàn)了問題的嚴重性，停下了獵尋的腳步，“閨丫”不敢怠慢，再次和“紳士”打起了商量：“要不咱們這樣，前面兩個獵尋規(guī)則，你可以結(jié)合起來使用，先使用哪種規(guī)則都行，什么時間想變換規(guī)則都行，而且尋找次數(shù)不限?！贝藭r，“紳士”似乎多了一份沉著，看了看“閨丫”，眼神中透出些許敬意，卻并不甘心，道：“剛才就差4個洞就能實現(xiàn)狼羊共舞，如今兩個規(guī)則又可以交叉結(jié)合，瞧好吧！你！”

六 分情況討論

既然兩種規(guī)則可以變換使用，那么可分兩種情況進行討論。

情況一：狼先用規(guī)則1獵尋羊，獵尋過的洞號分別為0、3、6、9，狼可以在這4個洞中的任意一個變換使用規(guī)則2繼續(xù)獵尋。

對于情況一，即先使用規(guī)則1，再換規(guī)則2。由于規(guī)則1中只可能獵尋到4個洞穴，分別是0、3、6、9號洞，所以接下來只能在0、3、6、9號洞穴之一處繼續(xù)使用規(guī)則2獵尋。通過編程解算獲得下列計算結(jié)果：

洞穴0開始改變規(guī)則：0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6，6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0……循環(huán)。

洞穴3開始改變規(guī)則：3，4，6，9，1，6，0，7，3，0，10，9，9，10，0，3，7，0，6，1，9，6，4，3……循環(huán)。

洞穴6開始改變規(guī)則：6，7，9，0，4，9，3，10，6，3，1，0，0，1，3，6，10，3，9，4，0，9，7，6……循環(huán)。

洞穴9開始改變規(guī)則：9，10，0，3，7，0，6，1，9，6，4，3，3，4，6，9，1，6，0，7，3，0，10，9……循環(huán)。

上述討論結(jié)果表明：先使用規(guī)則1隨后變換為規(guī)則2，無論狼從4個洞穴中的哪個開始變換使用規(guī)則2，狼都只能獵尋0、1、3、4、6、7、9、10號這8個洞穴，也就是說，2、5、8、11號洞再次成為4只羊的風險規(guī)避地。

情況二，狼先使用規(guī)則2獵尋羊，獵尋過的洞穴分別為0、1、3、4、6、7、9、10，狼可以在這8個洞中的任意一個變換使用規(guī)則1繼續(xù)獵尋。

對于情況二，即先使用規(guī)則2，再換規(guī)則1。由于規(guī)則2中只可能獵尋到0、1、3、4、6、7、9、10號這8個洞穴，所以接下來只能在0、1、3、4、6、7、9、10號洞穴之一處繼續(xù)使用規(guī)則1獵尋。通過窮舉法獲得下列結(jié)果：

0：0，3，6，9…… 1：1，4，7，10……

3：3，6，9，0…… 4：4，7，10，1……

6：6，9，0，3…… 7：7，10，1，4……

9：9，0，3，6…… 10：10，1，4，7……

上述討論說明，先使用規(guī)則2，隨后變換為規(guī)則1，無論狼從8個洞穴中的哪個開始變換使用規(guī)則1，狼依舊獵尋不到2、5、8、11號這4個洞穴，也就是說2、5、8、11號洞依舊是4只羊的風水寶地。

七 結(jié)局料想

“紳士”的最后一番獵尋似乎較先前更為淡定，在兩種獵尋方案都嘗試以后，他望著“閨丫”，眼神里卻絲毫沒有無奈之感：“你真是不打無準備之戰(zhàn)啊，的確有點主意，看在這股機靈勁兒的分上我暫時放過你們，要不我們結(jié)伴到別的山頭瞧瞧?！薄伴|丫”忙回話：“您真有遠見，給您點贊——智慧與力量并舉的典范。”

獵尋問題的本質(zhì)是一個搜索問題，按照一定的規(guī)則進行路徑的選擇。本文以充滿趣味的“狼吃羊”的故事為對象，按照預先設定的獵尋規(guī)則進行數(shù)學抽象變成一個數(shù)學問題，這樣有助于問題的理解和求解。最后通過Matlab軟件平臺編程，對大量數(shù)據(jù)進行解算，成功歸納出“羊”的安全洞穴。成功地將實際問題和數(shù)學工具進行結(jié)合，拓展了解決實際問題的思路，對于學生的平時學習有著重要的意義。

參考文獻

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〔責任編輯：龐遠燕、汪二款〕