高等數(shù)學(xué)課程中多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)感想

【摘 要】多元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，同時也是課堂教學(xué)中的難點，應(yīng)當注重各類積分概念的引入和理論應(yīng)用的講解，通過對各類積分計算的對比和聯(lián)系，形成統(tǒng)一的知識體系。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 多元函數(shù) 微積分

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）29-0054-02

多元函數(shù)積分學(xué)涉及的積分類型比較多，包括重積分、曲線積分和曲面積分，而這些積分之間又通過格林公式、高斯公式以及斯托克斯建立起來各種聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習過程中容易混淆各種積分概念，在計算時常常出現(xiàn)張冠李戴的事情。因此，在教學(xué)過程中采用合理有效的教學(xué)方法，積極發(fā)揮學(xué)生的探索精神就顯得尤為重要。

一 注重各類積分知識背景的引入，增強學(xué)生的學(xué)習興趣

高等數(shù)學(xué)的基本特征是其研究對象的高度抽象性。這一特性也恰恰決定了它的應(yīng)用非常廣泛。事實上，這些抽象的概念往往來自于社會各個領(lǐng)域的實踐，具有非常強的實際應(yīng)用背景。因此，多元函數(shù)積分學(xué)中每一個積分定義的引入應(yīng)當讓學(xué)生感受到它就在身邊。比如，借助于密度函數(shù)，我們通過求平面薄片的質(zhì)量引入二重積分，求空間立體的質(zhì)量引入三重積分，求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量引入對弧長的曲線積分，求曲面形構(gòu)件的質(zhì)量引入對面積的曲面積分。變力沿曲線做功可以通過對坐標的曲線積分來計算；電場、磁場在曲面上的通量就是對坐標的曲面積分。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)當首先把要解決的實際問題描述清楚，然后花較多的精力和時間帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習如何用“微元法”的思想求解上述問題，引導(dǎo)他們?nèi)ブ鸩秸莆者@一思想的本質(zhì)：“分割，近似，求和，取極限”。這樣細致的講解是很有必要的，一方面，上述這些物理背景都是具體的，看得見摸得著，比較淺顯易懂，能夠很好地闡釋各種抽象的積分概念，讓學(xué)生抓住各類積分定義的要點。另一方面，隨著課程的逐步深入，在多元函數(shù)積分學(xué)的物理應(yīng)用方面，像轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)心和引力等物理量將會陸續(xù)出現(xiàn)。學(xué)生可以通過對“微元法”思想的理解，自己獨立完成相關(guān)物理量計算公式的推導(dǎo)。當學(xué)生親身感受到多元函數(shù)積分學(xué)的實用性后，學(xué)習興趣自然就會得到提高。

二 教學(xué)過程中強調(diào)類比和化歸的思想方法，講透各類積分的共性和區(qū)別

多元函數(shù)積分種類繁多，計算方法復(fù)雜，學(xué)生掌握起來比較困難。教學(xué)過程中教會學(xué)生使用類比、化歸的思想去學(xué)習積分概念、性質(zhì)及計算公式就顯得尤為重要。類比和化歸的學(xué)習方法便于學(xué)生形成統(tǒng)一的知識體系、培養(yǎng)學(xué)生的主動探索意識、認清概念間的關(guān)系及概念的本質(zhì)。從各類積分的概念出發(fā)，以非均勻物體的質(zhì)量為模型，我們可以將二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分

和對面積的曲面積分四個概念統(tǒng)一表示為：

（4）取極限： ，其中λ表示所有分割

微元 中直徑的最大者。分割的幾何形體Ω的不同又體現(xiàn)出不同類型積分的自身特征。比如Ω可以為平面有界閉區(qū)域（二重積分）、空間有界閉區(qū)域（三重積分）、分段光滑曲線弧段（對弧長的曲線積分）、分片光滑有界曲面（對面積的曲面積分）； 可以表示面積元素（二重積分）、體積元素（三重積分）、弧長元素（對弧長的曲線積分）、曲面面積元素（對面積的曲面積分）等。

從各種積分計算過程來看，可以把所有的多元函數(shù)積分計算過程統(tǒng)一為三步：（1）畫區(qū)域；（2）刻畫；（3）計算。具體來說，步驟（1）的主要目的是通過作圖來確定積分區(qū)域，它是積分計算的出發(fā)點。這需要學(xué)生具備較好的空間解析幾何知識，特別是各種常見的二次曲面的圖形以及各種曲線、曲面和空間立體在坐標平面上的投影。課程的實驗教學(xué)環(huán)節(jié)和現(xiàn)實生活中的建筑物（比如發(fā)電廠的冷卻塔以及廣州電視塔等）能夠讓學(xué)生對常見二次曲面圖形的印象更加深刻，拉近與曲面圖形的距離。步驟（2）是指學(xué)生需要準確地刻畫出積分區(qū)域，比如，用不等式來刻畫出平面有界閉區(qū)域、空間有界閉區(qū)域以及空間曲面在坐標平面上的投影區(qū)域；用參數(shù)方程來刻畫出分段光滑曲線弧段等。步驟（3）是指合理地選擇計算公式，并準確地執(zhí)行。重積分的計算更多體現(xiàn)在坐標系的選擇和積分區(qū)域的不等式刻畫，不同坐標系下的計算公式也不盡相同，合理地選擇坐標系往往能夠簡化計算量；曲線積分的計算主要體現(xiàn)在曲線參數(shù)方程的確定，對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分都是化為定積分，定積分的上限和下限要分清，前者下限一定要小于上限，后者下限和上限分別對應(yīng)積分弧段的起點和終點，并且兩種曲線積分可以相互轉(zhuǎn)化。曲面積分的計算多體現(xiàn)在曲面方程和投影坐標平面的確定，對面積的曲面積分和對坐標的曲面積分都是化為二重積分，都是將曲面投影得到二重積分的積分區(qū)域，相比前者，后者需由有向曲面的側(cè)定出二重積分前的符號，并且兩種曲面積分也可以相互轉(zhuǎn)化。

三 善于歸納總結(jié)，活用各種定理，提高解題效率

能夠熟練地進行微積分的基本運算是高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標之一。因此，學(xué)生多做一些習題是很有必要的。但是，初學(xué)者不能盲目地做題，而應(yīng)當花更多的時間去思考各類積分的概念和基本定理，弄清楚解題方法的理論支撐。要善于總結(jié)和發(fā)掘解題經(jīng)驗，靈活運用各類積分的相關(guān)性質(zhì)和相關(guān)定理，提高解題效率。

第一，重積分的計算要注重坐標系的選擇和積分次序的交換。二重積分計算要注意在兩種坐標系下面積元素的不同形式；在直角坐標系下化二重積分為二次積分時，積分次序決定著計算的難易程度；選擇極坐標系計算二重積分的特征是：積分區(qū)域是與圓相關(guān)的平面區(qū)域。三重積分的計算要注意在三種坐標系下體積元素的不同形式；直角坐標系和柱面坐標系是計算時優(yōu)先選擇的對象，計算方法主要分為兩類：先一后二（投影法）和先二后一（截面法）；球坐標系的選擇要慎重（積分區(qū)域稍復(fù)雜時，球坐標系下的不等式刻畫就比較困難），選擇球坐標系進行計算的特征是：積分區(qū)域為球面和圓錐面等所圍成的立體。

第二，定積分、重積分、對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分都可以利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化計算。對坐標的曲線積分和對坐標的曲面積分也可同樣操作，但情況相對比較復(fù)雜（除了積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性外，還要考慮積分曲線弧、積分曲面的方向）。

第三，格林公式和高斯公式分別是計算對坐標的曲線積分和對坐標的曲面積分的優(yōu)先選擇。但是，使用上述公式時需要驗證它們的條件：曲線（曲面）的正向和封閉性；被積函數(shù)在積分區(qū)域上是否具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。不滿足封閉性時要求輔助線（面）的做法力求簡單有效，便于計算。比如，格林公式中多選擇平行坐標軸的直線段，而高斯公式中多選取平行坐標平面的平面，同時被積函數(shù)要求在添加輔助線（面）后的封閉區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

第四，計算對坐標的曲線積分時，當發(fā)現(xiàn)對坐標的曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件成立時，就可以選擇比較簡單的路徑替代原路徑，但需注意被積函數(shù)在新路徑與原路徑所圍積分區(qū)域上必須具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。計算對坐標的曲面積分時，當發(fā)現(xiàn)選擇高斯公式比較麻煩時，兩類曲面積分之間的轉(zhuǎn)換公式經(jīng)?？梢阅脕韲L試簡化計算。

第五，多元函數(shù)的各類積分在物理上的應(yīng)用都非常廣泛。非均勻物體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)心和引力等問題，不僅利用重積分可以求解，而且對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分也能用來計算它們，這就要求學(xué)生在計算時一定要弄清楚非均勻物體對應(yīng)的積分區(qū)域是什么樣的幾何形體Ω。比如，Ω是平面上的閉區(qū)域和空間上的立體閉區(qū)域就分別對應(yīng)二重積分和三重積分；Ω是曲線和曲面就分別對應(yīng)對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分。遇到變力沿曲線做功問題時就對應(yīng)對坐標的曲線積分，遇到流量問題時就對應(yīng)對坐標的曲面積分。

參考文獻

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〔責任編輯：龐遠燕、汪二款〕