概率論中加法定理的教學(xué)與思考

【摘 要】加法定理是概率論中一個非常重要的定理，主要應(yīng)用于求復(fù)雜事件的概率。應(yīng)用加法定理的關(guān)鍵是將所求事件直接或間接分解為若干簡單事件的和。如何利用加法定理，是很多學(xué)生感到困惑的一個難題。本文通過幾個典型例題來分析如何運(yùn)用加法定理來計(jì)算概率。

【關(guān)鍵詞】加法定理 事件分解 概率計(jì)算

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）29-0046-02

加法定理是組合數(shù)學(xué)中的容斥原理在概率論中的應(yīng)用。在組合數(shù)學(xué)中，計(jì)算某個給定集合的元素個數(shù)是一個非常重要的問題，而且非常困難。在組合計(jì)數(shù)中有一種非常重要的計(jì)數(shù)思想，其基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既沒有疏漏也沒有重復(fù)。這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。容斥原理的思想相當(dāng)簡單，是一種很自然的計(jì)數(shù)思考方法，但卻是數(shù)學(xué)中非常重要的思想。在組合論、集合論、概率論等學(xué)科都有很深的應(yīng)用，本文主要關(guān)注容斥原理在概率論上的應(yīng)用——加法定理。

二 應(yīng)用加法定理計(jì)算概率

在概率論中，很多比較困難的概率計(jì)算要借助于加法定理。利用加法定理計(jì)算這些復(fù)雜事件的概率，關(guān)鍵在于將所求事件表示成若干簡單事件的和，然后套用加法公式。如何運(yùn)用這一個非常有用的定理，對學(xué)習(xí)概率論的學(xué)生來說非常困難，這需要對具體實(shí)際問題進(jìn)行分析。我們依據(jù)教學(xué)實(shí)踐總結(jié)出了利用加法定理計(jì)算概率的一般步驟，下面通過幾個典型例題來進(jìn)行說明。

步驟1：判定所求事件能否表示成若干簡單事件的和，若不能，則考慮其對立事件。

步驟2：考慮所得的簡單事件的概率是否容易計(jì)算，如果容易計(jì)算，則直接利用加法定理，否則進(jìn)行步驟3。

步驟3：給出該事件的其他表示方法，進(jìn)行步驟2。

例1，對某份雜志的1000名訂閱者的調(diào)查得出了如下數(shù)據(jù)：考慮到他們的工作、婚姻和教育狀況，有312名專業(yè)人員，470名已婚人士，525名大學(xué)畢業(yè)生，42名大學(xué)畢業(yè)的專業(yè)人員，147名已婚大學(xué)畢業(yè)生，86名已婚專業(yè)人員，25名已婚且大學(xué)畢業(yè)的專業(yè)人員。證明這些數(shù)據(jù)是不正確的。

分析：要證明這些數(shù)據(jù)是不正確的，需要找到矛盾。該問題實(shí)質(zhì)是問上述計(jì)數(shù)結(jié)果是否正確，可以使用容斥原理計(jì)數(shù)集合{專業(yè)人員或已婚人士或大學(xué)畢業(yè)生}所包含的人數(shù)來判斷。這里我們使用加法定理計(jì)算概率來找到矛盾。

解答：現(xiàn)從1000名訂閱者中任取一名，設(shè)A表示“該訂閱者為專業(yè)人員”，B表示“該訂閱者為已婚人士”，C表示“該訂閱者為大學(xué)畢業(yè)生”，則

這與概率的定義矛盾，所以上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不正確。

例2，（整除問題）在1～2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù)，問取到的數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

分析：此問題初看起來可以直接通過計(jì)數(shù)來算概率，不過具體計(jì)算時發(fā)現(xiàn)不能被6整除的數(shù)和不能被8整除的數(shù)有重復(fù)，此時就可以嘗試?yán)眉臃ǘɡ?。那么設(shè)事件A表示“所取數(shù)不能被6整除”，事件B表示“所取數(shù)不能被8整除”，則題目所求的事件為AB。由步驟1知，其對立事件 ?？梢员硎境?∪ ，且 和 的概率容易求得，由步驟2，可直接利用加法定理。

解答：設(shè)A表示“所取數(shù)不能被6整除”，B表示“所取數(shù)不能被8整除”，則所求事件為AB。先求其對立事件的概率P（ ）=P（ ∪ ）。由于1～2000的整數(shù)中能被6整除的數(shù)有2000/6=333個，能被8整除的數(shù)有2000/8=250個，同時能被6和8整除的數(shù)，即能被24整

例3，（撲克牌問題）從52張撲克牌中隨機(jī)抽取18張牌，問抽取的牌中有炸彈（相同數(shù)字的4張牌）的概率是多少？

分析：容易判斷抽取的18張牌中最多有4個炸彈。如果設(shè)Ai表示“18張牌中恰好有i個炸彈”（i=0，1，2，3，4），則所求的概率為P（ ），根據(jù)步驟1，可以發(fā)現(xiàn)P（ ）=P（A1∪A2∪A3∪A4）。由于Ai互不相容，此時加法公式有如下簡單形式：P（A1∪A2∪A3∪A4）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）。利用步驟2，我們發(fā)現(xiàn)每個P（Ai）的計(jì)算都比較麻煩，因此由步驟3，我們需要考慮其他表示方法。

我們換一種思考方法：抽取的18張牌中可能包含炸彈1，2，…，13，且每個數(shù)字的炸彈最多1個。設(shè)A表示“抽取18張牌中包含炸彈”，即為所求事件。進(jìn)一步設(shè)事件Ai表示“抽取的18張牌中包含炸彈i”（i=1，2，…，13），則A=A1∪A2∪…∪A13，我們得到了另一種表示方法。再次考慮步驟2，我們可以直接利用加法定理來計(jì)算。

解答：設(shè)A表示“抽取的18張牌中包含炸彈”，Ai表示“抽取的18張牌中包含炸彈i”（i=1，2，…，13），則P（A）=P（A1∪A2∪…∪A13）。由于18張牌中最多包含4個炸彈，所以任意5個Ai的積事件為空事件。因此，加法公式展開得到：

例4，（配對問題）設(shè)n個球1～n號隨機(jī)地放入n只盒子（標(biāo)號為1～n）中去，一只盒子裝一只球，若一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，試求至少有1個配對的概率。

分析：設(shè)A表示事件“至少有1個配對”。利用上述我們的解題步驟，首先考慮A的一種直觀表示方法：Ai表示事件“恰好有i個配對”，則A=A1∪A2∪…∪An，且Ai互不相容，此時加法公式可簡化為P（A）=P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+…+P（An），但是求P（Ai）比較困難，根據(jù)步驟2，我們要考慮A的其他表示方法。此時我們設(shè)Ai表示事件“第i只球和第i號盒子配對”，則我們得到新的表示方法：A=A1∪A2∪…∪An。此時根據(jù)步驟2，Ai的概率的計(jì)算相對容易，可以直接應(yīng)用加法定理求解。

三 結(jié)束語

關(guān)于加法定理的具體應(yīng)用，本文給出了三個步驟，并且通過具體例子闡釋了如何基于這三個步驟來思考問題。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕、汪二款〕