數(shù)學(xué)與地理整合教學(xué)的兩個(gè)案例

【摘 要】學(xué)習(xí)地理離不開(kāi)理性邏輯思維，地理知識(shí)的表征或?qū)W習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)科的推理計(jì)算、空間思維、邏輯分析，數(shù)學(xué)在地理學(xué)科某些知識(shí)的理解中顯得非常重要，譬如地球經(jīng)度、緯度的概念和測(cè)定，時(shí)差的概念及其理解。地理教學(xué)需要重點(diǎn)做好案例剖析引導(dǎo)，組織活動(dòng)讓學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、推理計(jì)算，能有效增強(qiáng)對(duì)地理知識(shí)的理解。用好某些數(shù)學(xué)工具是學(xué)好地理的必要條件，地理教師需要將地理教學(xué)與數(shù)學(xué)工具進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼?，以便提高地理教學(xué)效率。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識(shí)方法 地理教學(xué) 整合教學(xué) 案例教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）29-0021-03

高中學(xué)生在政治、歷史、地理三個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)中，最困難的是地理學(xué)科。政治、歷史傾向于形象思維，勤奮學(xué)習(xí)，多讀多記憶，總能夠收到較好的效果。地理學(xué)科離不開(kāi)形象思維，但很多內(nèi)容的分析或?qū)W習(xí)更傾向于理性邏輯思維，地理學(xué)科在中學(xué)劃歸為文科范疇，但在大學(xué)里地理學(xué)科被劃歸為理科范疇。實(shí)際上，地理學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)聯(lián)度很強(qiáng)，地理知識(shí)的表征或?qū)W習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)科的推理計(jì)算、空間思維、邏輯分析，這是學(xué)生對(duì)地理學(xué)科學(xué)習(xí)感到困難的主要原因。因此，高中地理教師不僅要精通地理知識(shí)，還要掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，在地理學(xué)科教學(xué)中要將數(shù)學(xué)學(xué)科與地理學(xué)科的教學(xué)進(jìn)行必要的恰當(dāng)?shù)恼?，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)方法對(duì)于地理學(xué)科研究與學(xué)習(xí)的工具作用，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)方法來(lái)學(xué)習(xí)處理某些地理問(wèn)題。如何將地理教學(xué)與數(shù)學(xué)知識(shí)方法進(jìn)行合理整合，仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智，作為筆者的實(shí)踐研究與教學(xué)見(jiàn)解，本文介紹分析兩個(gè)教學(xué)案例。

案例一：使用簡(jiǎn)易工具測(cè)算某地的經(jīng)緯度

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法測(cè)算某地的坐標(biāo)，不借助諸如GPS之類(lèi)的地理工具進(jìn)行測(cè)量，而是僅借助竹竿、皮尺、手表等簡(jiǎn)易工具在室外進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，并通過(guò)數(shù)學(xué)的方法計(jì)算出某地的經(jīng)度及緯度?？梢越M織學(xué)生進(jìn)行一次戶外實(shí)驗(yàn)（如測(cè)量我校坐標(biāo)），在此之前，應(yīng)該明確該實(shí)驗(yàn)的原理和過(guò)程。

實(shí)驗(yàn)原理：某地的坐標(biāo)包括經(jīng)度和緯度，經(jīng)度可以利用當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)刻地方時(shí)與北京時(shí)間（120°E）的時(shí)差來(lái)推算，相對(duì)容易；緯度則可利用正午太陽(yáng)高度的計(jì)算公式H=90°-兩點(diǎn)緯度差（“兩點(diǎn)”指太陽(yáng)直射點(diǎn)和所求點(diǎn)）列方程計(jì)算，問(wèn)題在于應(yīng)先求得當(dāng)天太陽(yáng)直射的緯度，還要運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)測(cè)算出當(dāng)天的正午太陽(yáng)高度H，如此才可求出當(dāng)?shù)鼐暥取?/p>

實(shí)驗(yàn)工具：竹竿、皮尺、手表、紙筆、計(jì)算器等。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程：筆者曾組織學(xué)生進(jìn)行“測(cè)算我校坐標(biāo)”的戶外實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)就以這次實(shí)驗(yàn)為例，詳細(xì)說(shuō)明實(shí)驗(yàn)的過(guò)程。

實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2015年6月16日。

實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：云南省曲靖市第一中學(xué)校園。

1 前期準(zhǔn)備

1.1 明確實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)、原理、過(guò)程。

1.2 準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)工具。

1.3 計(jì)算當(dāng)天太陽(yáng)直射緯度。

選擇的日期最好是二分二至日，因?yàn)樘?yáng)直射緯度是已知的，但勢(shì)必對(duì)日期的選擇造成了很大的限定，能夠做到選擇任意一天都可以嗎？答案是肯定的，關(guān)鍵在于計(jì)算當(dāng)天太陽(yáng)直射的緯度。因?yàn)樘?yáng)直射點(diǎn)在南北回歸線之間做往返的回歸運(yùn)動(dòng)，完成一個(gè)回歸運(yùn)動(dòng)的周期約一年（以365天計(jì)算），移動(dòng)的緯度總計(jì)為回歸線度數(shù)（23°26′）的4倍，即93°44′，那么我們就可以估算出每天太陽(yáng)直射點(diǎn)移動(dòng)的緯度數(shù)，進(jìn)一步就可以估算出任意一天太陽(yáng)直射的緯度。根據(jù)計(jì)算得出，太陽(yáng)直射點(diǎn)每天移動(dòng)約15′，據(jù)此算出當(dāng)天（6月6日）太陽(yáng)直射的緯度約為21°56′N(xiāo)。

2 具體過(guò)程

2.1 測(cè)量竹竿的長(zhǎng)度h，測(cè)量得h約為210cm。

2.2 將竹竿垂直地固定在水平面上。

2.3 校準(zhǔn)手表時(shí)間：將手表的時(shí)間調(diào)整為準(zhǔn)確的北京時(shí)間。

2.4 測(cè)量與記錄：根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)在當(dāng)?shù)卣缜暗囊欢螘r(shí)間開(kāi)始測(cè)量，每隔1～2分鐘測(cè)量一次竹竿影長(zhǎng)并記錄對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間。當(dāng)天實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為：

2.5 找到當(dāng)天竿影最短的時(shí)刻，即為當(dāng)?shù)卣纾ǖ胤綍r(shí)12∶00）。

2.6 計(jì)算經(jīng)度：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)?shù)卣?2∶00時(shí)，對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間（120°E地方時(shí)）為13∶05，說(shuō)明當(dāng)?shù)氐胤綍r(shí)比北京時(shí)間晚1小時(shí)5分鐘（相當(dāng)于16°12′的經(jīng)度差），即當(dāng)?shù)匚挥?20°E以西16°12′的經(jīng)線上，求得當(dāng)?shù)亟?jīng)度為103°48′E。

2.7 計(jì)算正午太陽(yáng)高度H：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，正午時(shí)竿影長(zhǎng)度L為13.0cm，又知竹竿長(zhǎng)度h≈210cm，則在直角三角形中（如圖1），正午太陽(yáng)高度角為H，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)，tanH=h/L=13.0/210，則arctanH≈86°26′，故當(dāng)天正午太陽(yáng)高度為86°26′。

2.8 計(jì)算緯度：將太陽(yáng)直射緯度21°56′以及正午太陽(yáng)高度角86°26′代入公式：H=90°-|φ±δ|（φ為當(dāng)?shù)鼐暥龋臑樘?yáng)直射的緯度），得一元一次方程（已知兩地均位于北半球，時(shí)間為夏季）：90°-（φ-21°56′）=86°26′，解此方程，得：φ≈25°30′。

綜上所述，該中學(xué)的地理位置坐標(biāo)為（25°30′N(xiāo)，103°48′E）。

在這個(gè)地理問(wèn)題當(dāng)中，我們應(yīng)用了數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的方法以及方程的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)學(xué)科在解決地理實(shí)際問(wèn)題中的巧妙使用，將不可能變?yōu)榭赡堋?/p>

案例二：數(shù)學(xué)方法在時(shí)差問(wèn)題中的應(yīng)用

時(shí)差是由地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的，由于地球在自西向東自轉(zhuǎn)，就使得東邊的地點(diǎn)要比西邊的地點(diǎn)時(shí)間早，這便產(chǎn)生了時(shí)差。時(shí)差問(wèn)題會(huì)延伸出地方時(shí)、時(shí)區(qū)、區(qū)時(shí)、日期劃分等概念，還涉及各種計(jì)算，學(xué)生感覺(jué)易混淆、頭疼。因此，我們引入數(shù)學(xué)方法，力求將時(shí)差問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，幫助學(xué)生理解和掌握。以下通過(guò)兩個(gè)例題加以說(shuō)明。

例題1，已知云南曲靖（約104°E）所在時(shí)區(qū)的區(qū)時(shí)為正午12∶00，求此時(shí)的北京時(shí)間和紐約（約74°W）所在時(shí)區(qū)的區(qū)時(shí)。

該題是區(qū)時(shí)計(jì)算類(lèi)問(wèn)題。首先明確三地所屬的時(shí)區(qū)：曲靖：東七區(qū)，北京：東八區(qū)，紐約：西五區(qū)。此類(lèi)問(wèn)題的一般做法為：先求兩地間的時(shí)區(qū)差，再根據(jù)“東加西減”的原則進(jìn)行計(jì)算。在該題中，我們?cè)谟?jì)算兩地的時(shí)區(qū)差時(shí)，可以引入數(shù)學(xué)中有理數(shù)的思想，以0°經(jīng)線為中線，東時(shí)區(qū)視為“+”，西時(shí)區(qū)視為“-”（如圖2），設(shè)兩地的時(shí)區(qū)分別為x、y，則兩地時(shí)區(qū)差即為|x-y|個(gè)時(shí)區(qū)，故曲靖與北京的時(shí)區(qū)差為1個(gè)時(shí)區(qū)，曲靖與紐約的時(shí)區(qū)差為12個(gè)時(shí)區(qū)，進(jìn)一步求得當(dāng)曲靖區(qū)時(shí)為12∶00時(shí)，北京時(shí)間為13∶00，紐約區(qū)時(shí)為0∶00。該題引入了數(shù)學(xué)中的有理數(shù)的思想。

例題2，如圖為全球經(jīng)緯線展開(kāi)示意圖，圖中AS虛線代表晨昏線，D點(diǎn)為晨昏線與赤道的交點(diǎn)，同時(shí)也是GF的中點(diǎn)；陰影與非陰影部分代表6日和7日兩個(gè)不同的日期。讀圖（圖3），回答下列兩道題。

1.此時(shí)甲地的地方時(shí)為（ ）。

A.6日9時(shí) B.6日21時(shí)

C.7日9時(shí) D.7日21時(shí)

2.關(guān)于該圖的說(shuō)法，正確的是（ ）。

A.AS線為晨線

B.BC線為國(guó)際日期變更線

C.赤道上西半球的白晝長(zhǎng)于黑夜

D.赤道上東、西半球的白晝之比為23∶13

解題過(guò)程為：第1小題，根據(jù)題意圖中陰影與非陰影部分分別代表6日和7日兩個(gè)不同的日期，但并沒(méi)有明確指出各自的對(duì)應(yīng)關(guān)系，此時(shí)需要使用分類(lèi)討論法，假設(shè)兩種可能的情況。若假設(shè)陰影為6日，非陰影為7日，又知?jiǎng)澐謨蓚€(gè)日期的界線是0時(shí)經(jīng)線和180°經(jīng)線（0時(shí)經(jīng)線向東到180°經(jīng)線為新的一天，0時(shí)經(jīng)線向西到180°經(jīng)線為舊的一天），則此時(shí)左側(cè)日界線為0時(shí)經(jīng)線，右側(cè)日界線為180°經(jīng)線。這種情況成立嗎？讓我們來(lái)驗(yàn)證一下，據(jù)題意可知，AS線為晨昏線，D點(diǎn)為晨昏線與赤道的交點(diǎn)，故D點(diǎn)的地方時(shí)為6時(shí)或18時(shí)，而D點(diǎn)距左側(cè)日界線的經(jīng)度間隔為45°（3個(gè)小時(shí)），可求得左側(cè)日界線地方時(shí)應(yīng)為3時(shí)或15時(shí)，與假設(shè)矛盾，故這種假設(shè)是不成立的。若假設(shè)陰影為7日，非陰影為6日，則此時(shí)左側(cè)日界線為180°經(jīng)線，右側(cè)日界線為0時(shí)經(jīng)線，甲地位于BC線以西45°，所以其地方時(shí)為21時(shí)，又因甲地位于非陰影部分，即6日范圍內(nèi)。綜上，甲地的地方時(shí)應(yīng)為6日21時(shí)。

在本小題中，我們使用了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

第2小題，A選項(xiàng)，D點(diǎn)位于0時(shí)經(jīng)線（BC線）以西90°（6個(gè)小時(shí)），可求得D點(diǎn)的地方時(shí)為18時(shí)，故AS線應(yīng)為昏線。B選項(xiàng)，BC線為0時(shí)經(jīng)線，國(guó)際日期變更線（180°經(jīng)線）應(yīng)為左側(cè)日界線。C選項(xiàng)，可以應(yīng)用數(shù)學(xué)中的集合以及圖形化的方法，使問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單。我們可以將赤道上西半球的范圍和白晝的范圍視為兩個(gè)集合，而二者的交集即為所求。已知赤道上西半球的范圍為20°W向西至160°E，又據(jù)題意求得晨、昏線與赤道的交點(diǎn)的經(jīng)度分別為45°E、135°W，故赤道上屬于白晝的范圍為45°E向東至135°W。下一步，分別將這兩個(gè)集合表示在數(shù)軸上（如圖4），從圖中可直觀地讀出二者的交集，即：160°E向東至135°W，跨65°，所以赤道上西半球的白晝與黑夜的經(jīng)度跨度分別是65°、115°。D選項(xiàng)，依然參照上圖，得到東、西半球白晝的經(jīng)度跨度分別為115°、65°，約分后得兩者之比為23∶13，故D選項(xiàng)正確。在本題中，我們使用了集合和圖形化（數(shù)軸）的思想與方法。

在地理時(shí)差計(jì)算的問(wèn)題中，我們引入了數(shù)學(xué)中的有理數(shù)、分類(lèi)討論、集合、圖形化（數(shù)軸）的思想和方法，使看似復(fù)雜的地理問(wèn)題變得直觀、清晰、易于理解，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科在解決地理實(shí)際問(wèn)題中的重要作用。

高中地理離不開(kāi)數(shù)學(xué)，學(xué)生用好必要的數(shù)學(xué)工具是學(xué)好地理的必要條件，地理教師將地理教學(xué)與數(shù)學(xué)工具進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼?，這是提高地理教學(xué)效率的重要環(huán)節(jié)。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕、汪二款〕