破解不等式恒成立問題的一招三式
2015-04-29 00:00:00湯全麗
數學教學通訊·高中版 2015年7期
摘 要：含參變量不等式恒成立問題，在近幾年高考試卷中屢見不鮮. 因為它的試題背景可以不受內容的限制，如可以是以函數、數列、向量、三角為背景，甚至可以是以立體幾何、解析幾何為背景，所以備受命題者的青睞. 然而類型雖多樣，但各種類型的處理策略卻大同小異. 本文是通過對一個比賽試題解法的深入思考，總結歸納出不等式恒成立問題的一種破解方法——構造函數法，以及配合此法的三個不同的處理角度.
關鍵詞：不等式；恒成立；構建函數；主元；數形結合
含參變量的不等式恒成立問題，是近幾年高考命題的熱點，也是學生解題的難點. 由于此類試題中的變量個數可以不止一個，因此難以尋求一勞永逸的通性通法.本文擬在錯綜復雜的不等式恒成立問題的不同背景下，通過構建函數的視角來探討含多個參變量的不等式恒成立問題的求解策略.
2014浙江省第二屆高中數學說題比賽試題：已知函數M={（a，b）a≤-1 ，且b≤m}，其中m∈R. 若任意（a，b）∈M，均有a·2b-b-3a≥0，求實數m的最大值.
本題是以集合為背景的不等式恒成立問題，題中含有三個參變數，立意新穎，乍一看，三參數交錯在超越不等式中，感覺比較棘手，一時難以入題. 但細細琢磨之后，不難發(fā)覺，從函數的視角，本題實質上是一個以a，b為參變量的二元函數的不等式恒成立問題，從而可以構思出以下解法.
[?] 確定主元，消元破解
解決二元不等式恒成立問題的關鍵在于消去參變量，轉化為一元函數來處理.若不等式對兩個及其以上的參變量恒成立時，就會涉及消去這些參變量的次序問題. 為此，我們需要先確定好主次變元，采用逐層消元來進行破解.
