非形式化：一種提高數(shù)學教學有效性的途徑

張云

摘要：形式化是現(xiàn)代數(shù)學的特征之一，但目前數(shù)學教學中存在著過度形式化的問題，往往將豐富多彩的數(shù)學思想淹沒在形式化的海洋中。適度“非形式化”是要在數(shù)學教學中力求“來自生活”，用質樸反映數(shù)學的本源。同時，數(shù)學教學過程要教會學生在“數(shù)學思考”中優(yōu)化思維，重視學生在發(fā)現(xiàn)中詮釋數(shù)學的實質，從而在非形式化教學中提高數(shù)學教學的有效性。

關鍵詞：非形式化;數(shù)學教學;生活;數(shù)學思考

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）10A-0069-03

英國大哲學家、數(shù)學家A·N·懷特在他的教育代表作《教育目的》中指出：“在古代學校里，哲學家們渴望傳授的是智慧，而現(xiàn)代學校，我們降低了目標，教授的是學科。從神圣的智慧淪落到教材知識，標志了多少世紀以來教育上的失敗?！狈此嘉覀兊臄?shù)學教學現(xiàn)狀，學生在數(shù)學學習的過程中，不斷地被概念和法則所束縛，逐漸喪失了獨立思考和想象的能力，這是應當引起警惕的。抽象是數(shù)學的特性，然而，一味地講抽象、嚴謹，除了把不喜歡數(shù)學的學生嚇跑之外，并沒有給數(shù)學帶來多少好處。要知道，“理性”和“思維”一旦遠離了它實踐的源泉成了“無源之水”，太多“抽象”的近親繁殖，就會使數(shù)學學科處于退化的危險之中。目前，正在逐漸深入的課程改革，要求在學生數(shù)學入門階段，減少純數(shù)學語言，給予他們更多形象化的東西，“數(shù)學教學活動必須建立在學生已有的知識經(jīng)驗基礎之上”。數(shù)學課程標準在這些基本理念的觀照下，我們的數(shù)學教學正在返璞歸真。

一、來自生活，用質樸反映數(shù)學的本源

有過這樣的小事情：一個小孩子在吃飯的時候發(fā)筷子，先把筷子在桌上頓一頓，然后選出同樣長短的一雙筷子發(fā)出。這在小孩是一個平常的發(fā)現(xiàn)或者平常的做法，但在他的作為數(shù)學老師的祖父看來，卻大有深意。于是，他在教兩條線段長短比較的時候，舉了孫子頓筷子的例子，在教通分的時候，又舉了這個例子。在他看來，這樣頓一頓就把原來筷子兩頭的矛盾面轉化為一個矛盾面，它反映了一種思想方法。在不同分子，不同分母的分數(shù)大小比較問題上，只要像把筷子的一頭頓齊一樣，然后，要比較的只有分子了，問題就簡化了。對生活中事件的感悟，可以形成觀察事物的觀點，數(shù)學的學習同樣如此。

解決一個數(shù)學問題，首先不是邏輯，而是對這個問題的某種感悟。

分數(shù)的意義教學片斷：

教師：當我們看到一個分數(shù)的時候，我們可以將下方的數(shù)字看成“可能是什么，”上方的數(shù)字看成“是什么”。那么，請同學們解釋一下，當一杯橙汁中維生素C的含量是我們每天對維生素C需求量1/2的時候，它指的是什么意思？（板書1/2）

（學生有些茫然）

教師：我們可以用什么詞來描述上方的數(shù)字？

學生：一杯橙汁“可能是什么”。

教師：下方的數(shù)字呢？

學生：我們每天的需求量“是什么”。

教師：那么，請同學們考慮一個與自身有關的例子。

學生：上一節(jié)課我們進行了“英譯漢”比賽，一節(jié)課總共40分鐘，我用20分鐘就完成了試卷。

教師：那么，你用怎樣的數(shù)來表示這個時間？

學生：用20表示“是什么”，40表示“可能是什么”，上方的數(shù)字是下方的一半。哦，我明白了，上面這個1/2的意思是，一杯橙汁可以提供人一天維生素C需求量的一半。

教師：好的，下面我們進行下一個內(nèi)容。

數(shù)學知識盡管表現(xiàn)為形式化的符號，但它可視為具體生活經(jīng)驗和常識的系統(tǒng)化，它可以在學生的生活背景中找到實體模型。上述案例，教師通過追隨可讓學生回憶起來的心理步驟，讓學生對數(shù)學知識進行感悟，而不是就分數(shù)的概念講分數(shù)的意義。數(shù)學的思考是怎樣產(chǎn)生的？學生在做一道題的時候，他的思維是怎樣的？數(shù)學家迪厄多內(nèi)說：“富有創(chuàng)造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對所研究的對象有活生生的構想和深刻的了解。”這些構想與了解結合起來，就是所謂的直覺或感悟。事實上，學生可能的數(shù)學現(xiàn)實空間比我們想象的大得多，問題是我們沒有使學生對所學的數(shù)學知識進行感悟。回顧一下我們自己的教學過程，我們在教學分數(shù)大小比較的時候，可曾讓學生在“頓一頓筷子”這樣質樸的事件里去領悟通分的必要性;我們在教學分數(shù)的意義時，又是否利用學生獨特的生活經(jīng)歷來建構他們自己的回答，從而總結出一個過程，以便在類似情境中獨立地使用。也許我們忘了從這樣最質樸的感悟開始，去為學生提供一根木樁，使學生能夠把自己提升至高一級的階梯之上。

感悟所強調(diào)的，是體驗、融合、自得，它不是知識的分割和堆積，是對記憶的升華。什么叫“兩個相關聯(lián)的量？”只要釣過魚就知道，浮標沉浮的狀態(tài)反映著魚吃不吃餌的狀態(tài)——非常生動的相關聯(lián)現(xiàn)象;把食物放在小狗前面不遠處，小狗箭也似地飛奔過去，跑的決然是一條直線——兩點之間，線段最短。義務教育數(shù)學課程標準指出：要把學生從單純的解題技巧和證明中解放出來，讓學生學習真正的數(shù)學。西方數(shù)學教育界也提出“非形式化的數(shù)學教學”。這些都在提醒我們的數(shù)學教學要擺脫過度形式化的束縛，聯(lián)系學生的日常生活實際，把數(shù)學呈現(xiàn)為學生容易接受的“教育形態(tài)”。

我們所強調(diào)的感悟，正是要把深刻的數(shù)學原理附著在生活中淺顯的事例上。

二、數(shù)學思維，用發(fā)現(xiàn)詮釋數(shù)學的實質

德波諾曾經(jīng)有過這樣一個說法：當我們驅車從A地到B地的時候，常常是因為車速過快，而始終忽視了路旁還有一個C點，C點那里還有一條很好的路，由A到B的路越順暢，忽視C點的可能性就越大。就小學數(shù)學教學的現(xiàn)狀分析，課堂教學設計和進行教學的一般程序，首先是設定教學目標，其中最具體的是學科知識的認識性目標，淺者要求達到講清知識，深者要求達到發(fā)展能力;其次是設計教學過程，其中除了設計課堂教學的程序之外，重點是按教材邏輯，分解設計一系列問題及練習。課堂上，教師常常為完成教案，無論是問題還是練習，都在培養(yǎng)學生的條列式思維，而不是培養(yǎng)輻射式思維，總在盡可能努力引導學生達到預定文案。沿用德波諾所說，我們總竭力想使學生從A到B走得順暢，而不注意路旁的C。

數(shù)學的學習，優(yōu)化思維應放在第一位，掌握概念或建立法則應放在第二位，訓練同優(yōu)化思維相比，層次要低得多。

二十以內(nèi)的加法課堂教學片斷：

教師：（出示口算）1+9=？ 2+8=？ 3+7=？ ?4+6=？ 5+5=？

（學生口答）

教師：（出示7+5=？）這一道題我們怎么計算呢？

學生A：我把7分解為5和2，5+5=10，10+2=12。

教師：很好。請小朋友積極開動腦筋，看還有沒有其它算法，也能“湊十”以后算出結果。

學生B：我把5分解為3和2，7+3=10，10+2=12。

教師：真聰明。（發(fā)現(xiàn)還有學生舉手）

學生C：我把7分解為4和3，把5分解為3和2，3+3=6，4+2=6，而最后6+6=12。（這位學生回答后長吁了一口氣。）

教師：哦，太復雜了，不過是對的。

課程改革強調(diào)數(shù)學學習活動應當是生動活潑、主動的和富有個性的過程，基于理念的轉變和更新，許多教師也鼓勵學生在解決數(shù)學問題時使用不同的策略（案例中“還有沒有其它算法”）。但很多情況下，我們的教學一直是以我們成人認為的最優(yōu)方法為目標進行的，即使讓學生自己尋找結果，也總在使用暗示使之放松“感悟”（案例中“也能湊十”）這不禁讓筆者想起了“霍布森選擇效應”，他在販馬時把馬匹放出來讓顧客挑選，可條件是只允許挑選最靠門邊的那匹馬。你希望學生選擇多種算法，而又限定其“湊十”，學生豈不同樣陷入霍布森選擇效應的困境？

反思我們的教學，就以上案例所呈現(xiàn)的教學內(nèi)容，我們的教學一直在為“湊十”作準備，于是，教學進程便線性地“循序漸進”。這樣做看似分散難點，學生容易學習，但如果我們僅僅規(guī)定“湊十”，就會抹殺掉很多獨有的東西。因為我們限定了“湊十”，學生做了幾個嘗試后，就不用思考了，完全可以依樣畫葫蘆。然而，學生的回答，哪怕時有錯誤，總蘊藏著他的合理性，學生完全有可能有一種特定的情況，如案例中的學生C，他會對6+6情有獨鐘！我們不能總想著讓學生一學就會，一蹴而就，不想有什么地方為難學生，二十以內(nèi)的加法就“湊十”，那么，等“湊十”湊完了，數(shù)學所蘊涵的樂趣也就消退得無影無蹤了。其實，學生在創(chuàng)造了自己的方法和認識了眾多相應方法之后，會高屋建瓴地認識湊十法，在適合的時候自覺地運用湊十法。我們當然也排斥在算法上低水平的重復，只是強調(diào)珍視學生獨特的感悟，畢竟湊十也罷，不湊十也罷，對于未來的計算都會變成歷史陳跡，但學生在渴望中的尋找會成為他們永遠的財富。因此，我們應該把重點放在揭示數(shù)學知識的本質上（案例中的內(nèi)容就是分與合方法），在從A往B的路上，不斷思考路旁的C點，而不僅局限于“湊十”這樣的“單打一”。

數(shù)學教育家陳仲穆先生早就提出了“淡化形式，注重實質”的主張。確實，局限于類似“湊十”這樣違背學生天性的做法，一旦強化為學生的“第二天性”，那么，學生形成了“路徑依賴”，就無益于學生數(shù)學學習時“基?！钡臄U展。我們要防止這種“浮滑”的教學，而把學生在探求知識路上的數(shù)學思考當作學習數(shù)學新的“基礎”。

“學習數(shù)學唯一正確的方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學生本人把學習的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來?！焙商m著名數(shù)學家弗賴登塔爾所強調(diào)的，正是要求我們教師幫助學生進行這種再創(chuàng)造，而不是把現(xiàn)成的東西灌輸給學生。綜觀國際數(shù)學課程改革，許多國家和地區(qū)的數(shù)學課程目標都在強調(diào)養(yǎng)成主動地從自己的經(jīng)驗中建構和理解數(shù)學的概念。實踐中，我們嘗試著在非形式化教學中提高數(shù)學教學的有效性，正是要求學生在頭腦中對數(shù)學問題進行重新建構，它其實就是創(chuàng)新。巴赫的音樂充斥著數(shù)學的對稱，埃及的金字塔也凝聚著“黃金分割”，當我們的學生在足球比賽時運動員的下底傳中認識了角，在“山上有座廟”的故事里明白了數(shù)的循環(huán)……那么，他們必將會在滴水成河的情景中領略到貝克萊悖論的“無窮”，也會在“理發(fā)師不給自己理發(fā)”的事實里欣賞到羅素悖論的奧秘。當我們把數(shù)學教學與學生的生活緊密聯(lián)系起來，不斷地在教學中促進學生的感悟，培養(yǎng)學生一雙能用數(shù)學觀察世界的眼睛，一個能用數(shù)學思維思考世界的頭腦，那么，數(shù)學課堂教學必將成為“溝通教育理想此岸和學生發(fā)展彼岸的具有轉換功能的橋梁”！

責任編輯：石萍