數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學中的應(yīng)用研究

葉旭丹

摘 要：文章主要研究了數(shù)形結(jié)合思想方法在學習數(shù)學中的應(yīng)用，以提高學生數(shù)學的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；創(chuàng)新精神；觸類旁通

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2015）33-0073-02

一、引言

可以說數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個中學數(shù)學的學習過程中，在七年級學習的數(shù)軸與實數(shù)成一一對應(yīng)關(guān)系中，學生初步體會了數(shù)形結(jié)合的思想方法；在八九年級的反比例及一二次函數(shù)的學習及運用函數(shù)的思想求方程的解、求不等式的解集中，學生初步理解了數(shù)形結(jié)合的思想方法；在高中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的學習中，學生對它有了進一步的理解；在解析幾何的學習中，讓學生深刻體會其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，反過來用圖形去解決代數(shù)中的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學思想。

二、數(shù)形結(jié)合思想的含義、表現(xiàn)形式

（1）數(shù)學思想的認識是對數(shù)學知識本質(zhì)的認識，是數(shù)學中的精髓之一。只有重視培養(yǎng)學生對數(shù)學思想的認識，才能學會活用知識，達到促進遷移的效果；思想要以知識為載體，知識要以思想為活化劑，知識要通過思想去理解、去激化、去構(gòu)建，沒有思想，知識是空洞的，沒有活力的，也是沒有意義的。然而令人遺憾的是，在數(shù)學教學過程中，很多教師并沒有對思想方法的重要性引起足夠的重視，還是傳統(tǒng)的教學思想，注重對知識的傳授，而忽視了知識發(fā)生過程中數(shù)學思想的滲透，導(dǎo)致一些學生對知識無法舉一反三、觸類旁通。由此可見，做好數(shù)學思想方法的教學，可以讓學生輕松快樂地學好數(shù)學，提高學生數(shù)學的能力，更能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。中學數(shù)學蘊含著很多的數(shù)學思想，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)換化歸思想、分類討論思想、方程與函數(shù)思想、類比聯(lián)想思想、集合思想、歸納推理思想、抽象概括思想等，抓住突出這些基本思想，就相當于抓住了中學數(shù)學知識的本質(zhì)和精髓。

（2）“數(shù)”與“形”是數(shù)學的兩大基本概念，然而它們之間又是相輔相成的。著名數(shù)學大師華羅庚先生寫了一首詩： 數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫分離。法國數(shù)學家拉格朗日認為，只要代數(shù)和幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄；但當兩門科學結(jié)合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，就可以快速的步伐走向完善。這里的“數(shù)”是指數(shù)量關(guān)系，“形”是指空間形式。數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最基本的概念。數(shù)學的內(nèi)容和方法都是圍繞對這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的。數(shù)學科學的發(fā)展，形與數(shù)常常是結(jié)合在一起的，內(nèi)容上相互滲透的，方法上相互聯(lián)系，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)學史表明，早在數(shù)學的萌芽時期，人們計算長度、面積、體積，就把數(shù)與形聯(lián)系在一起了。我國從北宋到元代前期，系統(tǒng)地引進了幾何問題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系表達成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀上半葉，法國數(shù)學家笛卡爾通過引入坐標系，建立了數(shù)與形的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學。之后，幾何學中許多長期沒有解決的問題，如著名的尺規(guī)作圖中的“立方倍積”“化圖為方”“三等分已知角”等三大問題，最終都借助于代數(shù)方法得到徹底解決。在我們的解題中，也有過這樣的體會，有些代數(shù)題用圖解法助解，常使人頓開茅塞，突破常規(guī)思維，使思維進入新的境界。有些平面幾何題，利用數(shù)量表示線段或角的大小后，可以巧妙地在紛繁的頭緒中辟出捷徑，收到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合還可以使形象思維與抽象思維協(xié)同作用，從而使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易。

（3）數(shù)形結(jié)合的途徑。1）轉(zhuǎn)化。在遇到抽象的數(shù)學問題感到酥手無策時，我們可以嘗試涉及概念的圖像表示，探索數(shù)量關(guān)系賦予的幾何特征，思考數(shù)學問題背后隱含的幾何意義，用直觀形象支撐抽象思維。如|x-a|?b的幾何意義是數(shù)軸上兩個數(shù)x和a所表示的點之間的距離小于等于b，而當x表示變數(shù)時，則表示數(shù)軸上到的a點的距離小于或等于b的動點的全體。

【典型例題】：例1：求方程sinx=lgx實解的個數(shù)。

分析：由于此題是一個超越方程，若用常規(guī)代數(shù)解方程的方法，顯然難于解答，但只要把y=sinx和y=lgx的圖像畫在同一坐標系中，原方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，答案一目了然。說明：本題充分利用了“數(shù)”背后“形”的特征，采用數(shù)形結(jié)合的解題策略。由本題可見，涉及超越方程問題時，借助函數(shù)圖像是一個?？蓢L試的念頭。

2）構(gòu)造。數(shù)形結(jié)合的思想方法，除了通過轉(zhuǎn)化，把符號語言“翻譯”為圖像語言，尋求問題背后的幾何意義外，另一種重要途徑是探求問題隱含的幾何模型，這就是構(gòu)造。如自然會聯(lián)想到平面內(nèi)（x1，y1），（x2，y2）兩點的距離。

典型例題：例2：已知a，b，cR+，求證：++?（a+b+c）。

證明：如圖，構(gòu)造邊長分別為（a+b+c），（b+c+a）型正方形，那么AB=，BC=，CD=，得++=AB+BC+CD，在等腰RtΔAPD：AD2=（a+b+c）2+（a+b+c）2，故AD=（a+b+c）。根據(jù)AB+BC+CDAD，所以原不等式成立。

例3：已知：α+β+γ=180°，且α，β，γ均為銳角。求證：sinα+sinβ+sinγ>。

證明：根據(jù)題設(shè)條件可構(gòu)造銳角三角形ABC，使∠A=α，∠B=β，∠C=γ。

設(shè)O是△ABC外心，R為外接圓半徑，由于△ABC為銳角三角形，故點O必在△ABC內(nèi)，從而a+b+c>3R。

由正弦定理知：a=2Rsinα，b=2Rsinβ，c=2Rsinγ，∴sinα+sinβ+sinγ>。

說明：此題把三角問題轉(zhuǎn)化為幾何中三角形中的邊角關(guān)系問題，使解此問題簡單易行。

3）坐標法。坐標系的建立是中學數(shù)學學習的一個轉(zhuǎn)折點，能使初等數(shù)學進入數(shù)形結(jié)合階段，并在兩個相反方向上進行應(yīng)用：一方面把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)結(jié)論獲得幾何結(jié)論；另一方面也可以把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，通過幾何結(jié)論獲得代數(shù)結(jié)論。

例4：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，則z=y+2x的最大值等于多少？

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內(nèi)的點B時，從而得到z最大值即可。

解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，最大值為y軸上的截距的最大值，當直線z=2x+y經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點B（1，2）時，z最大，最大值為4。故答案為：4。

說明：本題主要通過建立坐標系，運用平面區(qū)域來表示二元一次不等式組，通過圖像獲得目標函數(shù)的最值問題。

三、結(jié)束語

在數(shù)學教學中要貫徹數(shù)形結(jié)合的教學原則，以形數(shù)結(jié)合的觀點深入專研教材，理解數(shù)學中的有關(guān)概念、公式和法則，掌握形數(shù)結(jié)合進行分析問題和解決問題的思想方法。

參考文獻：

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