關(guān)注數(shù)學(xué)模型扣住問題本源
——勾股定理“總統(tǒng)證法”模型題探析

☉江蘇省宿遷市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李軍

關(guān)注數(shù)學(xué)模型扣住問題本源
——勾股定理“總統(tǒng)證法”模型題探析

☉江蘇省宿遷市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李軍

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（中）2011年第6期刊登了謝曉嶸的一篇文章《“總統(tǒng)證法”模型在復(fù)習(xí)教學(xué)中的再思考》（以下簡稱“文1”），文1重點(diǎn)從教學(xué)層面就發(fā)現(xiàn)模型、探究模型、應(yīng)用模型等思路進(jìn)行撰寫，揭示要從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì).認(rèn)真研讀后，深受啟發(fā)（平時(shí)教學(xué)中也時(shí)常關(guān)注此模型），生發(fā)出許多想法.現(xiàn)結(jié)合日常的點(diǎn)滴積累，就這個(gè)基本模型（圖形）再做些許探索及賞析，以期拋磚引玉.

一、模型簡介

如圖1是伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表他對勾股定理的證法的圖形.這種證法直觀、簡捷、易懂、明了.1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)以來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”.

圖2

圖1

其實(shí)上述“證法圖”也可以看成畢達(dá)哥拉斯“勾股圖”的一半［1］（如圖2），兩者有相通之處，利用面積關(guān)系均可證明勾股定理.

二、模型分析

勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對象——數(shù)與形的第一定理.利用“總統(tǒng)證法”模型可得出非常簡明的證法，同時(shí)，由它就會很自然聯(lián)想到另一個(gè)圖形（補(bǔ)全“正方形圖”），另一證法也便隨之而至.真可謂一箭雙雕.

觀察圖形便知，模型圖為直角梯形，其中含有兩個(gè)全等的直角三角形、一個(gè)等腰直角三角形，隱藏著正方形；蘊(yùn)含著角相等、角互余、角互補(bǔ)、線垂直、線平行等多種特殊關(guān)系.同時(shí)還不難得出，等腰直角三角形的面積.因此，以該模型為背景編制的數(shù)學(xué)題讓人爽心悅目，沉醉忘返.

三、模型探析

（一）拓展“模型”，精彩紛呈

1.橫向“串聯(lián)”

例1如圖3，在直線l上依次擺放著四個(gè)正方形和三個(gè)等腰直角三角形（陰影圖形），已知斜著放置的三個(gè)等腰直角三角形的面積分別為1、2、3，正著放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4=（）.

圖3

A.4B.5C.6D.8

說明：本題是將“模型圖”橫向擴(kuò)展，形成“圖形鏈”，給人綿延不斷，意猶未盡之感.根據(jù)上述面積關(guān)系，易知S1+S2是第一個(gè)等腰直角三角形面積的2倍，S3+S4是第三個(gè)等腰直角三角形面積的2倍，故答案是D.此題運(yùn)用全等三角形、勾股定理、面積公式等知識，問題便可迎刃而解.這里培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、分辨能力、聯(lián)想能力及轉(zhuǎn)化能力.其關(guān)鍵是能快速分辨出“基本模型”，拎出“原型”，抓住“本質(zhì)”，便可化多為少，以小解大.

2.縱向“補(bǔ)形”

例2如圖4，在直線l上依次擺放著三個(gè)正方形，已知水平放置的兩個(gè)正方形的邊長依次是a、b，中間斜著放置的正方形的面積為S.

（1）如圖5，小正方形的面積S1=1，斜著放置的正方形的面積S=4，求圖中兩個(gè)鈍角三角形的面積m1和m2，并給出圖中四個(gè)三角形面積的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖6是由五個(gè)正方形所搭成的平面圖，T和S分別表示所在的三角形與正方形的面積，試寫出T與S的關(guān)系式，并說明理由.

圖4

圖5

圖6

解析：（1）由面積S1=1，S=4可求得直角三角形一條直角邊和斜邊的長，便可發(fā)現(xiàn)直角三角形兩銳角分別為30°和60°，求出兩個(gè)鈍角三角形的底和高，然后根據(jù)面積公式求解，可得而判斷四個(gè)三角形的面積相等.

說明：本題是在“模型圖”上“增補(bǔ)圖形”，仿佛生成“圖形樹”，給人枝繁葉茂，生機(jī)勃勃之景象.它綜合運(yùn)用了全等三角形、勾股定理、解直角三角形、面積公式、圖形旋轉(zhuǎn)等知識，著力訓(xùn)練學(xué)生的識圖、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、運(yùn)算能力以及分析問題和解決問題的能力.其關(guān)鍵是以“基本模型”為突破口，化繁為簡，緊緊抓住圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系（包括角、邊、面積等）.

3.左右“相生”

例3（2011年鹽城市中考27題刪改）問題探究：

如圖7，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖7

圖8

拓展延伸：

如圖8，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析：問題探究：

結(jié)論：EP=FQ.

簡證：由Rt△ABG≌Rt△EAP，得AG=EP.

同理AG=FQ，所以EP=FQ.

拓展延伸：

結(jié)論：HE=HF.

理由：如圖9，過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.

因?yàn)樗倪呅蜛BME是矩形，所以∠BAE=90°.所以∠BAG+∠EAP=90°.

因?yàn)锳G⊥BC，所以∠BAG+∠ABG=90°，

所以∠ABG=∠EAP.

因?yàn)椤螦GB=∠EPA=90°，所以△ABG∽△EAP，所

圖9

因?yàn)椤螮HP=∠FHQ，所以Rt△EPH≌Rt△FQH，所以HE=HF.

說明：本題是“模型圖”左右相立，形成“模型柱”，給人以兩側(cè)呼應(yīng)、厚重豐實(shí)、層次分明之感.此題證法多樣，除上題所說知識點(diǎn)外，它還承載著等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形變換等知識，有一定的效度；本題以“總統(tǒng)證法”模型為背景建構(gòu)問題，要求學(xué)生能與圖形對話，對有用的信息加以篩選、整合、加工，形成對“基本圖形、基本知識、基本方法”的認(rèn)識，由“全等”到“相似”，實(shí)現(xiàn)了從“特殊到一般”的過渡，對學(xué)生的思維訓(xùn)練又提升了一個(gè)高度.考查了學(xué)生知識遷移、應(yīng)用、變通、分析及推理的能力，為學(xué)生思維發(fā)展搭建了很好平臺.

（二）探究“模型”，精深挖掘

探究1：如圖10是“總統(tǒng)證法”模型圖，Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，若以AE為直徑畫⊙O，試判斷⊙O與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由.

由于我們經(jīng)?？吹街苯翘菪闻c圓相結(jié)合命制問題，所以想到引入圓加以探究.經(jīng)觀察、幾何畫板操作、推理論證得出：⊙O與直線CD相交.（當(dāng)b=a時(shí)，⊙O與直線CD相切）

圖10

思路1：如圖11，過點(diǎn)O作ON⊥CD，過點(diǎn)E作EM⊥AC，垂足分別為點(diǎn)N、M.則線心距ON為梯形中位線，ON=ON小于⊙O的半徑.因此，⊙O與直線CD相交.

思路2：如圖11，過點(diǎn)O作ON⊥CD，過點(diǎn)E作EM⊥ AC，垂足分別為點(diǎn)N、M.則ON為梯形中位b）.設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)O到直線CD的距離為d，則r2-d2=

①當(dāng)b=a時(shí)，⊙O與直線CD相切；②當(dāng)b≠a時(shí)，⊙O與直線CD相交.

圖11

圖12

探究2：如圖12，在直線CD上找一點(diǎn)P，使PA+PE最小.通過探究發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P就是以AE為直徑的⊙O與CD的另一個(gè)交點(diǎn)（一個(gè)交點(diǎn)是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)B）.

思路：設(shè)以AE為直徑的⊙O與CD的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連接AP并延長交ED延長線于點(diǎn)Q，連接EP.設(shè)CP=x，因?yàn)椤鰽CP∽△PDE，

解得x1=a（舍去），x2=b.

所以△PAC、△PDE、△PDQ均為等腰直角三角形.

所以點(diǎn)E與點(diǎn)Q關(guān)于直線CD對稱.

所以⊙O與CD的另一個(gè)交點(diǎn)P就是所要找的點(diǎn).

注：還可探究以CD為直徑的圓與直線AE的位置關(guān)系.

說明：本探究是通過“模型”展開聯(lián)想，如想到最美圖形“圓”，想到“求最短，用對稱”等，不斷思考，輔之幾何畫板操作，發(fā)現(xiàn)了很多有價(jià)值的問題.從而將一些基本圖形相串聯(lián)，把相關(guān)知識進(jìn)行融合，豐富了“基本模型”，開闊了思維，讓人耳目一新.其實(shí)，只要用心琢磨，關(guān)注“模型”的變化與探究，就能收獲別樣的精彩.

（三）建構(gòu)“模型”，精巧應(yīng)用

例4（2013年湖北孝感中考題改編）如圖13，已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在邊BC上，以E為直角頂點(diǎn)，AE為腰作Rt△AEF，連接CF.

（1）在圖13中，若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來證明CF為正方形外角的平分線.請敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案，并指出哪兩個(gè)三角形全等（不要求證明）.

（2）如圖14，若點(diǎn)E在線段BC上滑動（不與點(diǎn)B、C重合）.

①CF為正方形外角的平分線是否總成立？請給出證明；

②在如圖14所示的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)E滑動到某處時(shí)，點(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上，寫出直線AF的函數(shù)表達(dá)式及線段AF的中點(diǎn)坐標(biāo).

圖13

圖14

分析：（1）過點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，或取AB的中點(diǎn)G，連接EG，便能得到三角形全等.（2）①由（1）知，可證得△ABE≌△EHF，即可證得FH=BE=CH，故CF為正方形外角的平分線總成立；②過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)FH=BE=CH，設(shè)BH=a，則FH=a-1，然后表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上得到有關(guān)a的方程，求得a值即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo).

解：（1）略.

（2）①略.

②過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，由①知，F(xiàn)H=BE=CH.

設(shè)BH=a，則FH=a-1，

所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（a，a-1）.

因?yàn)辄c(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上，

所以a-1=-a2+a+1，

即a2=2，解值不合題意，舍去），

說明：本題需作出垂線構(gòu)造“基本模型”，實(shí)際上是構(gòu)造“模型”中的全等直角三角形，從而將問題解決，當(dāng)然也可以采用“截取法”構(gòu)造三角形全等，這里體現(xiàn)了一題多解，一圖多思的功效.同時(shí)，題目中還關(guān)注了在“變”（點(diǎn)E在線段BC上滑動）中“不變”（CF為正方形外角的平分線及基本模型沒變）的問題本質(zhì)，并綜合運(yùn)用了二次函數(shù)、一次函數(shù)的相關(guān)知識，融會貫通，一氣呵成.其間重點(diǎn)涉及了全等與函數(shù)的知識，還滲透了方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、建模、特殊到一般等重要的數(shù)學(xué)思想，是一道既檢查知識又考查遷移、類比、分析問題、解決問題等綜合能力的好題.

四、認(rèn)識與體會

模型思想是修訂后《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念.而且關(guān)于數(shù)學(xué)模型的相關(guān)提法在書中多個(gè)部分出現(xiàn)，作為一線教師應(yīng)對《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中模型思想認(rèn)真研讀，深刻而準(zhǔn)確理解其含義，并能把相關(guān)要求落實(shí)到自己的課堂教學(xué)行為之中.所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征與關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).本例是以一個(gè)“勾股定理證明”的特定圖形作為“基本模型”進(jìn)行思考，舉例表述與剖析“數(shù)學(xué)模型”在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用及重要作用與價(jià)值.正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.

在初中數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的教學(xué)中，要用心觀察，善于捕捉并積極關(guān)注一些基本模型，及時(shí)總結(jié)，不斷滲透，讓學(xué)生在頭腦中能逐漸形成解決問題的數(shù)學(xué)“圖式”，為學(xué)生思考問題定向與導(dǎo)航，從而為學(xué)生思維發(fā)展“搭臺唱戲”.有了模型思想，學(xué)生在解決問題時(shí)，就能化繁為簡，扣住問題的本質(zhì)屬性，排減一些非本質(zhì)的東西來思考問題，為問題的解決提供了策略幫助.另外，也為教師命題或進(jìn)行變式教學(xué)開辟了一點(diǎn)思路，即可以將“基本模型”點(diǎn)線式拓展變化（用“點(diǎn)”輻射——以基本模型為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)向縱橫方面延伸；以“線”串“珠”——以線貫穿，形成聯(lián)系），讓其慢慢生長，不斷開花結(jié)果，呈現(xiàn)出別樣的精彩.為問題的智慧生成增光添新.正如波利亞所說：“在你找到第一個(gè)蘑菇（或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)）后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L的.”

1.2011 年中考：數(shù)學(xué)試題的解法薈萃［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2011（8）.

2.劉東升.例談生成性資源的生成與利用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（2）.

3.姚燕華.也談生成性資源為背景的命題導(dǎo)向［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.

4.周詠梅.精巧構(gòu)思回味無窮［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2011（9）.

5.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

6.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.H