從非周期信號(hào)的FT到周期信號(hào)的FS

宮二玲，孫志強(qiáng)，劉亞東

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410073)

0 引言

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程是國(guó)內(nèi)外高校電子信息類、控制類、計(jì)算機(jī)類等專業(yè)的基礎(chǔ)課程，它以“高等數(shù)學(xué)”、“電路分析”等前期課程為基礎(chǔ)，本身又是后續(xù)的“數(shù)字信號(hào)處理”、“通信原理”和“自動(dòng)控制原理”等課程的基礎(chǔ)，在教學(xué)環(huán)節(jié)中起著承上啟下的作用。傅里葉分析是該課程一個(gè)非常重要的部分，經(jīng)典教材中講授該部分時(shí)，一般都是按照歷史上對(duì)該問題的研究順序展開的，即先介紹周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開，然后將周期信號(hào)的周期無限擴(kuò)大，在時(shí)域上將其演變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)，同時(shí)在頻域上將離散的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜密度函數(shù)［1-3］。

反過來，可否由非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜密度函數(shù)推導(dǎo)出周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)呢?文獻(xiàn)［4］利用正交積分變換的概念，首先推導(dǎo)出連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換公式，然后基于傅里葉變換的時(shí)延性質(zhì)推導(dǎo)了理想沖激串的頻譜，將連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)看作非周期信號(hào)與理想沖激串的時(shí)域卷積，從而利用卷積性質(zhì)得到周期信號(hào)的離散譜。

本文將直接從連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換出發(fā)，嘗試從兩種不同的思路得到周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)，進(jìn)一步闡明頻譜密度函數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，這種思路有助于學(xué)生對(duì)傅里葉分析這一理論體系的深入理解。

下面兩種分析方法中均以方波信號(hào)為例，以方便作圖，其結(jié)論適用于一般的信號(hào)。假設(shè)x(t)表示位于區(qū)間［-T1，T1］之間的非周期方波信號(hào)，幅值為1，如圖1(a)所示，則其傅里葉變換為

其中Sa()為抽樣函數(shù)，頻譜X(jω)如圖1(b)所示。將x(t)以周期T0延拓成周期信號(hào)xT(t)，如圖1(c)所示，需要討論的是如何得出xT(t)所對(duì)應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)。

圖1 非周期信號(hào)和周期信號(hào)

1 時(shí)域延拓方法

將xT(t)看作是信號(hào)x(t)在時(shí)域上以T0為周期的延拓，則

其頻譜如圖2(b)所示。

圖2 N為有限值和N→∞時(shí)，F(xiàn)N(jω)對(duì)應(yīng)的頻譜

結(jié)合式(4)可得xT(t)的傅里葉變換為

可見，時(shí)域周期信號(hào)的傅里葉變換是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，其中每個(gè)沖激函數(shù)的強(qiáng)度正比于對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)傅里葉變換在相應(yīng)諧波頻率上的離散抽樣值。

正好是時(shí)域周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)求解公式。

2 時(shí)域卷積方法

可見單位周期沖激串的傅里葉變換仍然是周期沖激序列，只是沖激的強(qiáng)度均為2π/T0。

將式(16)代入到式(14)，有

式(17)與式(8)的結(jié)果相同，因此同樣可以得

其中N為周期信號(hào)的周期。只是此時(shí)X(ejω)和ak兩者均具有周期性，周期分別為2π和N。到結(jié)論:時(shí)域周期信號(hào)的傅里葉變換是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)正比于非周期信號(hào)傅里葉變換在相應(yīng)諧波頻率上的離散抽樣值X(jkω0)。

至此，我們就從兩條途徑證明了周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)和對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系。第一條途徑雖然推導(dǎo)過程略顯繁瑣，但利用了傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)和幾何級(jí)數(shù)的求值公式，有助于鞏固一些重要的基本概念，強(qiáng)化常用的數(shù)學(xué)推演練習(xí)，可以作為學(xué)生的課外作業(yè)加以要求。

要說明的是，對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)而言，非周期信號(hào)的傅里葉變換X(ejω)和相應(yīng)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)ak之間有類似的關(guān)系，即

3 結(jié)語(yǔ)

在傅里葉分析的理論體系中，非周期信號(hào)的傅里葉變換和周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，兩者在時(shí)域上是周期延拓關(guān)系，體現(xiàn)在頻域上即為對(duì)連續(xù)的頻譜密度函數(shù)進(jìn)行離散化抽樣的關(guān)系，這也證實(shí)了傅里葉分析中一個(gè)域的周期性對(duì)應(yīng)到另一個(gè)域中表現(xiàn)為離散性。本文從兩個(gè)不同的思路推演了非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜密度函數(shù)到周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)的變化過程，這有助于加深對(duì)兩者關(guān)系的理解，更好地掌握傅里葉分析理論體系的實(shí)質(zhì)。

［1］B.P.Lathi著，劉樹棠譯.線性系統(tǒng)與信號(hào)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2006.04:519-523

［2］A.V.Oppenheim著，劉樹棠譯.信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1998.03:p202-205

［3］鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，2001.04:89-113

［4］楊忠根，任蕾，陳紅亮.連續(xù)信號(hào)頻域分析的教學(xué)內(nèi)容編排方式［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2010，32(5):73-75

［5］鄭君里.教與寫的記憶-信號(hào)與系統(tǒng)評(píng)注［M］.北京:高等教育出版社，2010.11:89-91