不確定性原理在光波衍射中的表象

陳海燕

(長江大學物理與光電工程學院，湖北荊州 434023)

0 引言

眾所周知，光波具有波—粒二象性［1，2］。人們能從波動與粒子兩方面描述光的本性，光波模式和光子態(tài)是等價的。從波動觀點看來，光波是橫電磁波，可用干涉和衍射現象來證明其波動性;另一方面，從粒子觀點看來，光波是由光子組成的粒子流，光子的運動行為與其它微觀粒子一樣遵守量子力學不確定性原理［3，4］。理論上講，光波傳輸的衍射規(guī)律與微觀粒子所遵從的量子力學不確定性關系具有一致性。然而，現有《激光原理》及《激光原理與技術》兩本教材都沒用表達式描述兩者之間的一致性。筆者在此給出了光波衍射規(guī)律與不確定性原理之間對應的關系式。

1 基模高斯光束的衍射規(guī)律

現以一維基模高斯光束在空間傳輸情形為例，導出光波空間衍射規(guī)律，如圖1所示。

光束的光腰半徑為ω0，，在光束傳播方向上距離光腰z處的光斑半徑為［5］

這里λ為光波波長。距離光腰無限遠處，光束的發(fā)散角(即衍射角)為

令光腰直徑D=2ω0。從式(3)可得到基模高斯光束的遠場發(fā)散角與光腰直徑的乘積為

這里，β是一個常數，其大小依賴于光場振幅分布，式(4)又稱為衍射極限。

2 基模高斯光束傳輸的不確定性描述

另一方面，我們可將基模高斯光束的傳輸看作是光子通過直徑為D(光腰直徑)的圓孔的運動過程，當光子作為粒子處理時，其運動行為遵從量子力學不確定性原理，令光子在位置x處的動量為P，根據量子力學不確定性原理，光子的動量和位置不能同時確定，在二維相空間下滿足不確定關系

式中h為約化普蘭克常數，Δx和Δpx分別為光子位置和動量的不確定量。根據德布羅意公式

比較式(4)和式(7)，可得β=1/(2π)。

3 結語

公式(4)和(7)表明:基模高斯光束在空間的傳輸過程遵守量子力學不確定原理，其遠場發(fā)散角與光腰直徑的乘積即為量子力學不確定原理在衍射中的具體表象。本文所得結論適用于任何光束(如高價高斯光束)的傳播問題。

［1］L.Mandel，E.Wolf，Optical coherence and quantum optics［M］，New York.，Cambridge University Press，1995

［2］Orazio Svelto，Principles of lasers(4th)［M］，New York，Springer Science+Business Media，Inc，1998.

［3］M.A.Grado-Caffaro，M.Grado-Caffaro，The quantum potential for photons［J］，Optik，2013，124(17):3013-3014.

［4］M.A.Grado-Caffaro，M.Grado-Caffaro，A qualitative estimation of the photon rest-mass and related topics［J］，Optik，2003，114(5):239-240.

［5］陳海燕、羅江華、黃春雄編著，激光原理與技術［M］，武漢:武漢大學出版社，2011.