索賠額服從指數(shù)分布的聚合模型條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值研究

杜 燕,彭可歌

根據(jù)市場(chǎng)特點(diǎn)和投資理論,條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Conditional Value-at-Risk,CVaR)在度量短期模型的風(fēng)險(xiǎn)大小中有重要作用[1,2].2003年,Landsma等給出了基于總理賠額正態(tài)近似分布的CVaR的計(jì)算結(jié)果[3].個(gè)別索賠額服從指數(shù)分布是一類(lèi)重要的保險(xiǎn)模型,在個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型中,總理賠額服從伽馬分布.2005年,Landsma等給出了伽馬分布的CVaR計(jì)算結(jié)果[4].筆者通過(guò)卷積法計(jì)算聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中總理賠額,進(jìn)而得到聚合風(fēng)險(xiǎn)模型的CVaR的計(jì)算公式.

定義1[5]損失變量L在置信水平α下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Value-at-Risk,VaR)為

定義2[6]損失變量L在置信水平α下的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVa R)為

引理[7]損失變量L的分布函數(shù)為FL(x),有,其中πα為FL(x)的α分位點(diǎn).

定理 在短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中,若個(gè)體索賠額服從均值為θ的指數(shù)分布,理賠次數(shù),則總理賠額S在置信水平α下的CVa R為

證 根據(jù)卷積方法,由全概率公式

其中F*n(x)為個(gè)別索賠額X的n重卷積分布函數(shù).

N=n時(shí),X1,X2,...,Xn服從,由伽馬分布的可加性,X1+X2+...+Xn的分布為,即X1+X2+...+Xn的分布函數(shù)為

根據(jù)式(1)、(2),有

根據(jù)伽馬函數(shù)的性質(zhì)[8],

下面計(jì)算積分

記

有

將式(8)代入式(9)得到

又根據(jù)伽馬函數(shù)的性質(zhì)

將式(11)代入式(9)得

將式(12)代入式(6)得

而根據(jù)引理,有

將式(13)代入式(12)得

其中,πα為FS(x)的α分位點(diǎn),根據(jù)式(14)和式(5),有

參考文獻(xiàn):

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