單通道控制的旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究①

石忠佼,謝浩怡,林 蔚,趙良玉,3

(1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院,北京 100081；2. 中國(guó)北方工業(yè)公司,北京 100053；3.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

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單通道控制的旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究①

石忠佼1,謝浩怡1,林 蔚2,趙良玉1,3

(1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院,北京 100081；2. 中國(guó)北方工業(yè)公司,北京 100053；3.飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

錐形運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)的基本形式，其穩(wěn)定性問(wèn)題一直是旋轉(zhuǎn)彈領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。以一對(duì)鴨舵作用下的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈為研究對(duì)象，給出了彈體坐標(biāo)系下的線性化角運(yùn)動(dòng)模型，通過(guò)數(shù)值仿真，揭示了一對(duì)鴨舵帶來(lái)的氣動(dòng)不對(duì)稱對(duì)其角運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律。利用勞斯判據(jù)，給出了解析形式的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件，該條件可等效為錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件下的轉(zhuǎn)速范圍，不同轉(zhuǎn)速下的仿真結(jié)果證明了該穩(wěn)定條件的正確性。在相同的轉(zhuǎn)速條件下，正弦式鴨舵的控制頻率在慢模態(tài)衰減頻率附近時(shí)，可誘發(fā)強(qiáng)烈的共振不穩(wěn)定。研究結(jié)果可為一對(duì)鴨舵作用下的旋轉(zhuǎn)彈總體設(shè)計(jì)及制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考。

旋轉(zhuǎn)彈；氣動(dòng)不對(duì)稱；穩(wěn)定性；錐形運(yùn)動(dòng)；鴨舵

0 引言

旋轉(zhuǎn)彈是指在飛行過(guò)程中繞自身縱軸連續(xù)滾轉(zhuǎn)的一類彈箭飛行器，具有簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和組成、避免不對(duì)稱燒蝕、放寬加工制造誤差容限、提高突防能力等一系列優(yōu)勢(shì)，廣泛用于各類常規(guī)兵器、制導(dǎo)兵器、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈和再入飛行器等，代表著國(guó)內(nèi)外裝備發(fā)展過(guò)程中的一個(gè)重要方向。常見(jiàn)的以空氣舵為控制力產(chǎn)生裝置的旋轉(zhuǎn)彈主要有2種：一種是以一對(duì)鴨舵為控制面的單通道控制方式，如美國(guó)的RAM防空導(dǎo)彈等；另一種是以2對(duì)鴨舵為控制面的雙通道控制方式，如國(guó)內(nèi)的BRE3型制導(dǎo)火箭彈等。與非旋轉(zhuǎn)彈相比，旋轉(zhuǎn)彈俯仰和偏航通道間的氣動(dòng)交聯(lián)、慣性交聯(lián)和控制交聯(lián)使其具有一些特殊的動(dòng)力學(xué)特性，典型地表現(xiàn)在除了彈體繞自身縱軸的旋轉(zhuǎn)外，彈體縱軸還會(huì)繞其速度矢量做周期式劃圓運(yùn)動(dòng)，也就是常說(shuō)的錐形運(yùn)動(dòng)。旋轉(zhuǎn)彈在飛行過(guò)程中的不穩(wěn)定現(xiàn)象多數(shù)以不收斂的錐形運(yùn)動(dòng)形式出現(xiàn)，即彈體縱軸和速度矢量之間的夾角與其設(shè)計(jì)值的偏差不斷增大或維持一個(gè)較大的值不變。不收斂錐形運(yùn)動(dòng)引起的誘導(dǎo)阻力，將會(huì)大幅度削弱旋轉(zhuǎn)彈的設(shè)計(jì)性能，降低其完成預(yù)定任務(wù)的能力，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)鸬魪棥＿@類現(xiàn)象在諸多無(wú)控和有控的旋轉(zhuǎn)彈上均有體現(xiàn)，如西班牙的140 mm火箭彈，在28次飛行試驗(yàn)中出現(xiàn)了9次不收斂的錐形運(yùn)動(dòng)，使飛行速度在1.5 s內(nèi)降低了60%[1]。國(guó)內(nèi)在無(wú)控火箭彈[2]、有控火箭彈[3]的研制過(guò)程中也曾受到過(guò)不收斂錐形運(yùn)動(dòng)的困擾。因此，錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的研究一直是旋轉(zhuǎn)彈領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

目前，圍繞無(wú)控旋轉(zhuǎn)彈和雙通道控制旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題已取得了豐富的研究成果，如Murphy[4]以一類無(wú)控對(duì)稱旋轉(zhuǎn)彈為例，創(chuàng)造性地在非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系內(nèi)建立了其動(dòng)力學(xué)模型，并基于線性系統(tǒng)理論，獲得了錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定條件。楊樹(shù)興等[5]針對(duì)一類雙通道控制的旋轉(zhuǎn)體制火箭彈，在詳細(xì)揭示控制交聯(lián)產(chǎn)生機(jī)理的基礎(chǔ)上，分別建立了旋轉(zhuǎn)彈在多種類型自動(dòng)駕駛儀作用下的彈體角運(yùn)動(dòng)方程，給出了錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的解析式條件，并指出執(zhí)行機(jī)構(gòu)的延遲，將嚴(yán)重影響控制回路設(shè)計(jì)參數(shù)的穩(wěn)定邊界。但在單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究方面，研究成果尚顯不足。任天榮等[6]在RAM構(gòu)型的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈飛行實(shí)驗(yàn)中，觀測(cè)到了足以影響性能指標(biāo)的不收斂錐形運(yùn)動(dòng)。Cooper等[7]指出一對(duì)鴨式舵面存在的氣動(dòng)不對(duì)稱，將導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)彈出現(xiàn)不收斂的錐形運(yùn)動(dòng)，并采用數(shù)值方法，給出了其不穩(wěn)定區(qū)域。

本文以Cooper等[7]的研究成果為基礎(chǔ)，利用勞斯判據(jù)，直接給出了一對(duì)鴨舵作用下的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件，并采用數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證，為單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究提供了另一種思路。同時(shí)，本文還修正了參考文獻(xiàn)[7]中的部分疏漏，研究成果對(duì)于單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)具有重要參考價(jià)值。

1 單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的動(dòng)力學(xué)特性

1.1 坐標(biāo)系的定義

對(duì)于單通道控制的旋轉(zhuǎn)彈來(lái)說(shuō)，由于其一對(duì)鴨舵的相位角之差為180°(大于2π/3)，將不能忽略彈體旋轉(zhuǎn)引起的氣動(dòng)不對(duì)稱性[8]。為了描述這種不對(duì)稱性對(duì)其角運(yùn)動(dòng)的影響，需要在隨彈體旋轉(zhuǎn)的彈體坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱為彈體坐標(biāo)系，下同)內(nèi)建立角運(yùn)動(dòng)方程。彈體坐標(biāo)系的定義可描述為原點(diǎn)O位于彈體瞬時(shí)質(zhì)心，Ox軸沿彈體對(duì)稱軸，且指向彈體頭部為正，Oy軸垂直于彈體對(duì)稱面，Oz軸由右手定則確定，且指向下為正，如圖1所示。

圖1 彈體坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Sketch of body coordinates

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

采用Cooper等[7]建立一對(duì)鴨舵控制旋轉(zhuǎn)彈的動(dòng)力學(xué)建模方法，假設(shè)：

(1)彈體速度、轉(zhuǎn)速、質(zhì)量以及空氣動(dòng)力系數(shù)在小段時(shí)間內(nèi)均保持不變；

(2)小角度假設(shè)，即有sinα=α，cosα=1，u≈V；

(3)攻角和側(cè)滑角可近似用式(1)計(jì)算：

(1)

由此得單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的線性化角運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

其中，系統(tǒng)矩陣T可表示為

A=πρD3CNA/(8m)，B=πρpD5CYPALMAG/(16ITV)

C=πρD4CNALCO/(8IT)，E=πρD5CMQ/(16IT)

F=pDIX/ITV，V2=-πρD3CNAC/(4m)

V3=πρD2ΔxcCNAC/(4m)，M2=πρD4ΔxcCNAC/(4IT)

M3=-πρD3Δxc2CNAC/(4IT)

詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程可參考文獻(xiàn)[7]。

式(2)中，V2、V3、M2和M3是非對(duì)稱氣動(dòng)力的數(shù)學(xué)表現(xiàn)，如果將此4項(xiàng)設(shè)為0，就是對(duì)稱氣動(dòng)布局旋轉(zhuǎn)彈的六自由度運(yùn)動(dòng)方程；δ為正弦式鴨舵偏轉(zhuǎn)函數(shù)，可表示為

δ=Δsin(kt),Δ=10°

(3)

分別對(duì)對(duì)稱旋轉(zhuǎn)彈(同時(shí)忽略非對(duì)稱氣動(dòng)力和式(2)右邊第二項(xiàng)表示的非對(duì)稱控制力)、固定鴨舵旋轉(zhuǎn)彈(僅僅忽略非對(duì)稱氣動(dòng)力)和具有活動(dòng)鴨舵旋轉(zhuǎn)彈(完整式(2))的角運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值仿真。選取轉(zhuǎn)速p=30 rad/s，控制頻率k=p。

圖2為上述3種情況下的角運(yùn)動(dòng)特性曲線，為便于觀察，將攻角和側(cè)滑角在非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系上表示。非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系上的攻角αN和側(cè)滑角βN可通過(guò)彈體坐標(biāo)系上的攻角α和側(cè)滑角β變換得到，變換公式為

(4)

式中αN和βN為非旋轉(zhuǎn)彈體坐標(biāo)系內(nèi)的攻角和側(cè)滑角；φ為彈體滾轉(zhuǎn)角。

(a) 對(duì)稱旋轉(zhuǎn)彈 (b) 一對(duì)固定鴨舵旋轉(zhuǎn)彈 (c) 一對(duì)活動(dòng)鴨舵旋轉(zhuǎn)彈

圖2 旋轉(zhuǎn)彈的角運(yùn)動(dòng)特性

Fig.2 Angular motion of spinning missiles

由圖2可見(jiàn)，在同樣的初始條件下，完全忽略氣動(dòng)非對(duì)稱性時(shí)的穩(wěn)態(tài)攻角為0°，僅僅考慮固定鴨舵產(chǎn)生的非對(duì)稱氣動(dòng)力時(shí)的穩(wěn)態(tài)攻角約為2°，正弦式鴨舵造成的穩(wěn)態(tài)攻角約為3°。即對(duì)于這類一對(duì)鴨舵控制下的單通道旋轉(zhuǎn)彈來(lái)說(shuō)，氣動(dòng)非對(duì)稱性對(duì)其角運(yùn)動(dòng)特性具有重要影響，在研究其角運(yùn)動(dòng)特性時(shí)，必須考慮其氣動(dòng)非對(duì)稱性?；诰€性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，可將式(2)右端第二項(xiàng)看作受迫擾動(dòng)，通過(guò)系統(tǒng)矩陣T來(lái)考察其穩(wěn)定性。

2 錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

2.1 穩(wěn)定條件

由式(2)，系統(tǒng)矩陣可表示為如下格式：

(5)

特征方程可寫(xiě)作：

Δ(λ)=b4λ4+b3λ3+b2λ2+b1λ+b0

(6)

式(6)中，各項(xiàng)系數(shù)如下：

(7)

根據(jù)勞斯判據(jù)，可得系統(tǒng)穩(wěn)定的解析式充要條件為

(8)

由式(2)、式(5)、式(6)及式(7)可看出，對(duì)于指定的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈來(lái)說(shuō)，b4、b3、b2、b1和b0都是轉(zhuǎn)速p的函數(shù)，可將式(8)所示的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件等價(jià)為錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定情況下的轉(zhuǎn)速取值范圍。

將表1所示的某型單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的特征參數(shù)代入式(8)，經(jīng)轉(zhuǎn)換可得，錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件下的轉(zhuǎn)速范圍為

(9)

為驗(yàn)證上述求解方法的正確性，選取不同的轉(zhuǎn)速進(jìn)行數(shù)值仿真，相應(yīng)的角運(yùn)動(dòng)特性如圖3所示。可看出，在p=12 rad/s時(shí)，旋轉(zhuǎn)彈的角運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間內(nèi)快速發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；在p=30 rad/s時(shí)，旋轉(zhuǎn)彈的角運(yùn)動(dòng)在一段時(shí)間內(nèi)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定；在p=80 rad/s時(shí)，旋轉(zhuǎn)彈的角運(yùn)動(dòng)逐漸發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)比p=12 rad/s和p=80 rad/s時(shí)的發(fā)散速度，可推測(cè)系統(tǒng)這兩種轉(zhuǎn)速情況下具有不同的特征根實(shí)部，且p=12 rad/s時(shí)的特征根實(shí)部明顯更大。

表1 彈體參數(shù)Table1 Parameters of a spining missile

(a)p=12 rad/s (b)p=30 rad/s (c)p=80 rad/s

轉(zhuǎn)速p與特征根實(shí)部的關(guān)系如圖4所示。其中，慢模態(tài)曲線的尖點(diǎn)對(duì)應(yīng)虛部為零的情況。需要指出的是本文快、慢模態(tài)的變化趨勢(shì)與文獻(xiàn)[7]不同。經(jīng)分析可知，快模態(tài)的衰減幅度較大。所以，其實(shí)部絕對(duì)值應(yīng)該大于慢模態(tài)實(shí)部絕對(duì)值，而不是文獻(xiàn)[7]中的慢模態(tài)實(shí)部絕對(duì)值大于快模態(tài)實(shí)部絕對(duì)值。

圖4 快模態(tài)和慢模態(tài)特征值實(shí)部vs轉(zhuǎn)速pFig.4 Real parts of fast and slow modes vs spin rate p

根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征根的實(shí)部為負(fù)數(shù)可知，在轉(zhuǎn)速滿足0

2.2 控制頻率對(duì)穩(wěn)定性的影響

圖5 控制頻率k與全攻角曲線圖Fig.5 Change of full angle of attack with control frequency k

同樣，與文獻(xiàn)[7]不同，本文所得結(jié)論是當(dāng)控制頻率k在慢模態(tài)衰減頻率附近時(shí)，將引起系統(tǒng)強(qiáng)烈的共振不穩(wěn)定。從過(guò)渡過(guò)程角度分析，慢模態(tài)運(yùn)動(dòng)將主導(dǎo)過(guò)渡過(guò)程，故本文結(jié)果更符合物理事實(shí)。因此，在選擇旋轉(zhuǎn)彈的控制頻率時(shí)，要避開(kāi)慢模態(tài)運(yùn)動(dòng)的衰減頻率，以避免系統(tǒng)出現(xiàn)共振不穩(wěn)定。

3 結(jié)論

(1)本文通過(guò)數(shù)值仿真，揭示了單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的氣動(dòng)非對(duì)稱性對(duì)彈體角運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律，一對(duì)正弦式鴨舵造成的穩(wěn)態(tài)攻角約為3°。

(2)通過(guò)勞斯判據(jù)，給出了解析形式的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件，該穩(wěn)定條件可方便的等價(jià)為錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定情況下的旋轉(zhuǎn)彈轉(zhuǎn)速范圍，為單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究提供了另外一種思路，不同轉(zhuǎn)速下的數(shù)值仿真結(jié)果證明了該方法的正確性。

(3)單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定主要表現(xiàn)為慢模態(tài)運(yùn)動(dòng)的失穩(wěn)，當(dāng)控制頻率k在慢模態(tài)衰減頻率附近時(shí)，將引起系統(tǒng)強(qiáng)烈的共振不穩(wěn)定。

[1] Morote J,Liao G.Stability analysis and flight trials of a clipped wrap around fin configuration[C]//AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit.Providence,Rhode Island,August 2004.

[2] 趙良玉,楊樹(shù)興,焦清介.提高卷弧翼火箭彈圓錐運(yùn)動(dòng)漸近穩(wěn)定性的幾個(gè)方法[J].固體火箭技術(shù),2010,33(4):369-372.

[3] Yan Xiao-yong,Yang Shu-xing,Zhang Cheng.Coning motion of spinning missiles induced by the rate loop[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2010,33(5):1490-1499.

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(編輯：呂耀輝)

Research on coning motion stability of a spinning missile with one pair of canards

SHI Zhong-jiao1, XIE Hao-yi1, LIN Wei2, ZHAO Liang-yu1,3

(1.School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;2.China North Industries Corp., Beijing 100053, China;3.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle, Ministry of Education, Beijing 100081, China)

The coning motion is a basic angular behavior of spinning missiles,and the research on the stability of coning motion has been the heated topic in the field of spinning missle.The linearized 6-DOF equations of angular motion for a spinning missile with one pair of canards were established in the rolling body frame. The influence of aerodynamic asymmetry due to the canards on the angular motion was revealed via numerical simulations.The analytical stability condition of coning motion was given by Routh criterion, which can be transformed to be an equivalent of rotation rate with stable coning motion. Simulations under different spinning rate demonstrate that the stability condition was reliable.In the case of a given spinning rate,the sinusoidal canard with activating frequency in the neighborhood of the slow mode can induce strong resonance instability.The research results can provide references to the system design, guidance and control design of spinning missiles with one single pair of canards.

spinning missiles;aerodynamic asymmetry;stability;coning motion;canards

2014-04-12；

：2014-05-21。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11202023)。

石忠佼(1991—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)與控制。E-mail:371088433@bit.edu.cn

趙良玉(1981—)，男，博士/副教授，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。E-mail:zhaoly@bit.edu.cn

V411

A

1006-2793(2015)02-0156-04

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.002