基于hp自適應偽譜法的多脈沖導彈彈道優(yōu)化設計①

明 超，孫瑞勝，白宏陽，孫傳杰

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院 ,南京 210094;2.工程物理研究院總體工程研究所，綿陽 621900)

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基于hp自適應偽譜法的多脈沖導彈彈道優(yōu)化設計①

明 超1，孫瑞勝1，白宏陽1，孫傳杰2

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院 ,南京 210094;2.工程物理研究院總體工程研究所，綿陽 621900)

針對多脈沖導彈非連續(xù)助推的特點，基于hp自適應偽譜法研究了多約束多階段的彈道優(yōu)化設計問題。結合多脈沖導彈的工作過程，給出了彈道的分段準則, 在考慮過載、動壓及終端彈道參數(shù)等約束條件下，建立了運動學模型以及多約束多階段全彈道優(yōu)化模型。為解決Radau偽譜法處理復雜優(yōu)化問題時存在的局限性，提出了一種基于hp自適應偽譜法的求解策略，對其最大射程的彈道進行了優(yōu)化設計，并與傳統(tǒng)的最大升阻比方案所得的結果進行了比較分析。仿真結果表明，該方法能有效解決多脈沖導彈彈道優(yōu)化問題，射程比最大升阻比方案提高了7.8%，研究結果可為多脈沖導彈的彈道總體設計提供參考。

多脈沖導彈；彈道優(yōu)化；最大射程；hp自適應偽譜法

0 引言

在未來戰(zhàn)爭中，隨著作戰(zhàn)范圍和作戰(zhàn)空間的逐漸擴大,對導彈的飛行性能提出了更高的要求。多脈沖導彈通過調節(jié)各脈沖發(fā)動機之間的間隔時間，來減少導彈空氣阻力消耗，改善導彈的機動性能，增加導彈的射程，提高導彈的生存能力。其中，具有代表性的是德國近距離內(nèi)防空導彈LFK-NG和美國防區(qū)外發(fā)射的近程攻擊導彈SRAM-A[1-2]。為了充分發(fā)揮多脈沖彈飛行性能的優(yōu)勢，對多脈沖導彈進行彈道優(yōu)化具有重要的理論研究意義和工程應用價值。

多脈沖導彈彈道優(yōu)化問題是一個始端固定、終端時刻自由且含有路徑約束和終端約束的多階段最優(yōu)控制問題[3]。一般軌跡優(yōu)化數(shù)值方法，主要包括直接法和間接法[4]。由于間接法在求解過程中還存在諸多不足，近年來直接法廣泛用于各種軌跡優(yōu)化問題[5-6]。偽譜法為直接法最活躍的分支，由于具有結構簡單、精度高及收斂速度快的特點，且使得非線性規(guī)劃(NLP)的解滿足傳統(tǒng)間接法的一階最優(yōu)性必要條件，而備受關注[7-9]。但在處理一些復雜問題時也呈現(xiàn)出一定的局限性。hp自適應偽譜法[10]是將偽譜法與hp型有限元法結合，在計算過程中對配點數(shù)和插值多項式的階次進行自適應調整，以滿足計算精度的要求。

本文以雙脈沖導彈作為研究對象，以脈沖發(fā)動機二次點火時間和飛行攻角為優(yōu)化變量，考慮優(yōu)化變量約束，并對終端速度和落角進行一定的限制，采用hp自適應偽譜法，對雙脈沖導彈最大射程進行彈道優(yōu)化研究，并與最大升阻比方案所得的結果進行比較分析。

1 彈道優(yōu)化問題描述

1.1 雙脈沖導彈工作過程

雙脈沖導彈的飛行過程可分以下4個階段：第一階段，脈沖發(fā)動機第一次工作，將導彈加速到一定的速度后關機；第二階段，導彈無動力飛行，此時導彈速度不大，阻力所消耗的能量??；第三階段，導彈到達高空后，發(fā)動機第二次工作，速度增加到末段機動飛行所需值；第四階段，導彈無動力滑翔直至目標。其工作過程示意圖如圖1所示。

圖1 雙脈沖導彈工作過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-pulse missile working process

1.2 動力學模型

為了便于研究問題，本文只考慮多脈沖導彈縱向平面內(nèi)的運動，假設地球表面為平面且忽略地球自轉的影響。多脈沖導彈的動力學模型為

(1)

式中m為導彈質量；P為發(fā)動機推力；X=qSCx、Y=qsCy分別為阻力和升力，由動壓q和氣動特性決定，其中Cx和Cy是Ma和α的函數(shù)，可由吹風試驗和數(shù)值計算獲得；θ為彈道傾角；其他符號及具體表達式詳見文獻[11]。

1.3 約束條件

(1)邊界條件

雙脈沖導彈的初始狀態(tài)：

v(0)=v0,θ(0)=θ0,x(0)=x0

y(0)=y0,m(0)=m0

為了保證雙脈沖導彈的攻擊效果，終端彈道參數(shù)應滿足一定的約束，包括終端位置、速度和落角約束，即

vfmin≤v(tf)≤vfmax

θfmin≤θ(tf)≤θfmax

y(tf)=yf

(2)連接點約束

為使雙脈沖導彈飛行的4個階段間平滑過渡，保證上一階段結束時刻的狀態(tài)量、控制量與下一階段開始時刻的對應相等[12]，約束條件為

t0(i+1)=tf(i),s0(i+1)=sf(i),

u0(i+1)=uf(i),(i=1,2,3)

式中i為雙脈沖導彈飛行的第i階段；t為時間；s為狀態(tài)量；u為控制量；下標0、f表示開始、結束。

(3)控制約束

雙脈沖導彈的脈沖發(fā)動機二次點火時間t02和飛行攻角α的約束條件為

(4)路徑約束

1.4 目標函數(shù)

對于雙脈沖導彈總體設計初步階段，一個重要的目標就是雙脈沖導彈按照預定的方案飛行的射程最遠。因此，彈道優(yōu)化設計的目標函數(shù)為

minJ=-x(tf)

(2)

2 hp自適應偽譜法

本文所采用的hp自適應偽譜法是將Radau偽譜法[13]與hp型有限元法進行融合，在一系列離散點上，利用全局多項式近似微分方程約束，從而將最優(yōu)控制問題的求解轉化為對NLP問題的求解，其離散過程與Radau偽譜法相似。當某一離散區(qū)間的計算精度不滿足要求時，由hp自適應方法對該區(qū)間內(nèi)的配點數(shù)h和全局插值多項式的階次p進行自適應調整。當然，hp自適應偽譜法也可使用其他偽譜法(如Legendre偽譜法，Gauss偽譜法等)離散最優(yōu)控制問題，Radau偽譜法的優(yōu)點是容易滿足網(wǎng)格點的連續(xù)條件[13]。

2.1 最優(yōu)控制問題離散

Radau偽譜法對多脈沖導彈彈道優(yōu)化最優(yōu)控制問題的離散過程如下。

將最優(yōu)控制問題的為t∈[t0,tf]劃分為K個網(wǎng)格，且將時間區(qū)間轉換至τ∈[-1,1]，做映射變換有

(3)

式中 ?t∈[tk-1,tk],k=1，…,K,t0<…

狀態(tài)量在第k(k∈[1,…,K])個網(wǎng)格近似表示為

(4)

(5)

將X(k)(τ)對τ求導，代入動力學微分方程式，并在LGR點上進行離散，可得

(6)

目標函數(shù)可近似表示為

(7)

不等式約束在第k個網(wǎng)格上用Nk個LGR點離散化處理，有

(8)

邊界約束條件可近似表示為

(9)

為了保證網(wǎng)格的連續(xù)性，需滿足：

(10)

基于上述的離散過程，Radau偽譜法將多脈沖導彈彈道優(yōu)化最優(yōu)控制問題轉化為非線性規(guī)劃問題，可以利用求解NLP問題的SNOPT[14]等軟件包，對其進行求解。

2.2 hp自適應更新判定準則

2.3 hp自適應更新方式判定準則

(11)

(12)

如果rkrkmax，則增加網(wǎng)格的配點數(shù)目h。其中，rkmax>0為用戶自定義參數(shù)。

2.4 hp自適應更新變量計算公式

(1)更新后插值多項式的階次Dnew

(13)

(2)更新后配點數(shù)Mnew

(14)

式中Mnew為更新后網(wǎng)格內(nèi)的配點數(shù);B為用戶自定義參數(shù)。

2.5 hp自適應偽譜法計算流程

hp自適應偽譜法計算步驟如下所示，其流程圖如圖2所示。

(1)按照劃分好的網(wǎng)格，利用Radau偽譜法將最優(yōu)控制問題離散，轉化為NLP問題，并采用序二次規(guī)劃法對NLP問題進行求解；

Begin：fork=1,2,…,K

(3)如果rkrkmax，則網(wǎng)格的配點數(shù)目增加為Mnew；

End：fork=1,2,…,K

(4)如果狀態(tài)量和路徑約束的相對誤差滿足允許的相對誤差，則優(yōu)化結束；不滿足，則返回步驟(1)。

圖2 hp自適應偽譜法流程圖Fig.2 Flow chart of hp-adaptive pseudo-spectralmethod

3 仿真分析

表1 優(yōu)化結果比較Table1 Comparison of optimization results

由仿真結果可看出，在給定的仿真條件下，采用hp自適應偽譜法優(yōu)化后，雙脈沖導彈的發(fā)動機二次點火時間為26 s，攻角曲線平滑，所有的設計約束條件均能滿足，最大射程較傳統(tǒng)的最大升阻比滑翔方案提高了7.8%，說明該方法能夠獲得較優(yōu)的彈道。在普通的PC機上，hp自適應偽譜法優(yōu)化計算的時間為30 s左右，表明該方法具有較高的計算效率。仿真驗證了該方法處理多脈沖導彈飛行過程中狀態(tài)量以及控制量不連續(xù)問題的可行性。

圖3 彈道曲線Fig.3 Curves of ballistic

圖4 速度變化曲線Fig.4 Change curves of velocity

圖5 彈道傾角變化曲線Fig.5 Change curves of trajectory inclination angle

圖6 攻角變化曲線Fig.6 Change curves of angle of attack

圖7 法向過載變化曲線Fig.7 Change curves of normal acceleration

圖8 動壓變化曲線Fig.8 Change curves of dynamic pressure

4 結論

(1)針對多脈沖導彈彈道優(yōu)化問題，建立了多階段、多約束的彈道優(yōu)化模型，引入連接點約束條件處理各階段狀態(tài)量、控制量的不連續(xù)問題，方法簡單，且效果好。仿真結果表明，所建立的優(yōu)化模型是合理的。

(2)為解決Radau偽譜法在處理復雜優(yōu)化問題時存在的局限性，提出了一種基于hp自適應偽譜法的求解策略，并以射程最大為性能指標，對多脈沖導彈多階段多約束彈道進行了優(yōu)化設計。仿真結果表明，hp自適應偽譜法能有效解決多脈沖導彈彈道優(yōu)化問題，具有較高的計算效率，優(yōu)化方案的射程比傳統(tǒng)的最大升阻比飛行方案提高了7.8%，在提高射程方面具有明顯優(yōu)勢。

(3)研究結果能提供近實時最優(yōu)解，可為多脈沖導彈制導律的優(yōu)化設計和軌跡的在線生成提供一定的參考。

[1] Naumann K W,Stadler L J.Double-pulse solid rocketmotor

technology-applications and technical solutions[C]//the 46th AIAA/ASME/SAE/ASWW,2010.2345-2353.

[2] 龔世杰,戴耀松.多脈沖固體火箭發(fā)動機述評[J].飛航導彈,1993(1):32-39.

[3] 唐國金,羅亞中,雍恩米.航天器軌跡優(yōu)化理論、方法及應用[M].北京:科學出版社,2012.

[4] Betts J T.Survey of numerical methods for trajectory optimization[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,1998,21 (2):193-206.

[5] Benson D A,Huntington,G T,Thorvaldsen T P,et al.Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(6):1435-1440.

[6] 陳聰,關成啟,史宏亮. 飛行器軌跡優(yōu)化的直接數(shù)值解法綜述[J].戰(zhàn)術導彈控制技術,2009,31(2):33-40.

[7] Gong Q,Kang W,Ross I S.A pseudo-spectral method for optimal control of constrained feedback linearizable systems[J].IEEE Transaction on Automatic Control,2006,51(7):1125-1129.

[8] Williams P.Application of pseudo-spectral methods for receding horizon control[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2004,27(2):310-314.

[9] Rao A V,Garg D,Hager WW.Pseudo-spectral method for solving infinite-horizon optimal control problems[J].Automatic,2011,47(4): 829-837.

[10] Darby C L,Hager W W,Rao A V.An hp-adaptive pseudo-spectral method for solving optimal control problems[J].Optimal Control Applications and Methods,2011,32(4):476-502.

[11] 錢杏芳,林瑞雄,趙亞男. 導彈飛行力學[M].北京理工大學出版社,2000.

[12] Rao A V,Benson D A,Darby C L,et al. Algorithm 902:GPOPS,A MATLAB Software for solving multiple-phase optimal control problems using the gauss pseudo-spectral method [J].ACM Transactions on Mathematical Software,2010,37(2):22:1-22:39.

[13] Darby C L,Hager W W,Rao A V. Direct trajectory optimization using a variable low-order adaptive pseudo-spectral method[J].Journal of Spacecraft and Rockets,2011,48(3):433-445.

[14] Gill P E,Murray W,Saunders M A.SNOPT:an SQP algorithm for large scale constrained optimization[J].SIAM Journal on Optimization,2002,12(4):979-1006.

(編輯：呂耀輝)

Optimizing design of trajectory for multiple-pulse missiles based on hp-adaptive pseudo-spectral method

MING Chao1,SUN Rui-sheng1,BAI Hong-yang1,SUN Chuan-jie2

(1.School of Energy and Power Engineering, NUST,Nanjing 210094, China;2.Institute of Systems Engineering,CAEP,Mianyang 621900,China)

According to the characteristics of the discontinuous boost for multiple-pulse missiles, the multi-constraints and multi-phase trajectory optimization problem based on hp-adaptive pseudo-spectral method was researched.The trajectory segment criterion was presented combining with the missile working process.The dynamic model and multi-constraints multi-phases trajectory optimization model were established concerning the constraints of overload,dynamic pressure,and terminal trajectory parameters.A maximum range optimization calculation case based on hp-adaptive pseudo-spectral method solving strategy was given,so as to tackle the constraints when using Radau,pseudo spectral method to deal with complicated optimization problem.Moreover,the results were compared with that of the traditional maximum lift-to-drag ratio method.The simulation results show that the algorithm can efficiently solve the problem of multiple-pulse missile trajectory optimization and improve the maximum range by 7.8% in comparison to the maximum lift-to-drag ratio method. The results can provide a reference to the overall design of multiple-pulse missiles.

multiple-pulse missiles;trajectory optimization;maximum range;hp-adaptive pseudo-spectral method

2014-04-03；

：2014-05-16。

國家自然科學基金委員會和中國工程物理研究院聯(lián)合基金(11176012)；航天一院高校聯(lián)合創(chuàng)新基金(CALT201302)。

明超(1989—)，男，博士，研究方向為先進彈道優(yōu)化理論與控制技術。E-mail：mcnust@126.com

孫瑞勝(1976—)，男，副教授，研究方向為新型彈箭制導與控制技術。E-mail：srscom@163.com

V412.4

A

1006-2793(2015)02-0151-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.001