求逆矩陣的幾種方法

俞美華

（東南大學(xué)成賢學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 南京210088）

1 定義法

對于n階矩陣A,如果存在一個(gè)n階矩陣B,使AB＝BA＝E,則稱矩陣A是可逆的，把矩陣B稱為A的逆矩陣，并且當(dāng)矩陣可逆時(shí)，逆矩陣是唯一的，故B＝A－1。

例1 已知A3＋3A2－2A－E＝0，求證A可逆，并求出A－1。

證明：由A3＋3A2－2A－E＝0得A（A2＋3A－2E）＝E,且（A2＋3A－2E）A＝E，所以A可逆，且A－1＝A2＋3A－2E。

2 伴隨矩陣求逆法

定理：n階方陣A可逆的充要條件是｜A｜≠0，且當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，有A－1，其中A*是A的伴隨矩陣，A*＝，Aij是元素aij在｜A｜中的代數(shù)余子式。

證明：

且

即AA*＝A*A=｜A｜E；

充分性：因?yàn)椋麬｜≠0，由AA*＝A*A=｜A｜E，得，由逆矩陣的定義得，A是可逆的，并且；

必要性：因?yàn)锳是可逆的，由逆矩陣的定義知，AB＝BA＝E，所以|AB|=｜A｜｜B｜=1?｜A｜≠0且｜B｜≠0，并且，所以。

（2）B－1＝，其中｜B｜=6,，

由此可見，對二階矩陣A來講，利用伴隨矩陣求逆法，簡便，快捷，因?yàn)槎A矩陣的伴隨矩陣A*與矩陣A之間存在一定關(guān)系，將A的主對角線元素互換且副對角線元素變成相反數(shù)可得A*；但是對于三階以及三階以上的矩陣來說，利用伴隨矩陣來求逆，需要計(jì)算9個(gè)以及9個(gè)以上的代數(shù)余子式，并且符號容易出錯(cuò)，其計(jì)算量太大，所以不易采用這種方法來求逆。

3 利用伴隨矩陣求逆矩陣定理的推論求逆

推論 設(shè)A，B都是方陣，且AB=E（或BA=E），則A，B互為逆矩陣。

證明：由于AB=E，所以｜A｜｜B｜=1,故｜A｜≠0，｜B｜≠0因此A－1，B－1均存在，且唯一，在AB=E的兩邊左乘以A－1得B=A－1，或者在AB=E的兩邊右乘以B－1得A＝B－1，因此A，B互為逆矩陣；同理也可以證明，當(dāng)BA=E時(shí)，A，B互為逆矩陣。

由此可見，當(dāng)A，B都是方陣時(shí)，證明B是A的逆矩陣只需要驗(yàn)證AB=E或BA=E中的一個(gè)成立即可，比用定義驗(yàn)證簡單一些。

由推論得A是可逆的且A－1＝B，即

此結(jié)論可以推廣到n階對角陣：

由此可見，對角陣當(dāng)對角元均不為零時(shí)，對角陣是可逆的，并且它的逆矩陣仍是對角陣且對角元是原來矩陣對角元相應(yīng)的倒數(shù)。

由推論得C是可逆的且C－1=D，即

此結(jié)論也可以推廣到n階矩陣：

例5 已知A是方陣，滿足A2-3A+E=0,求證A-E可逆，并求出(A-E)-1。

證明：A2-3A+E=0?(A-E)(A-2E)=E，且A-E,A-2E均是方陣，由推論得A-E可逆且(A-E)-1=A-2E。

4 利用逆矩陣的性質(zhì)求逆矩。

性質(zhì)：若A，B為同階可逆矩陣，則AB也可逆，且：

(AB)-1=B-1A-1。

證明：∵|AB|=｜A｜｜B｜≠0，故｜A｜≠0，｜B｜≠0,∴A，B均可逆,又因?yàn)锳B、B-1A-1均是方陣，且(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=E，∴(AB)-1=B-1A-1。

推廣：若A1,A2,…,An為同階可逆矩陣，則A1·A2·…An可逆，并且。

例6 設(shè)方陣A,B,C滿足ABC=E，問A,B,C是否可逆？為什么?如果可逆，分別求它們的逆。

解：可知A,B,C為同階方陣，ABC=E?A(BC)=E，故A可逆，且A-1=BC；又因?yàn)椋ˋB）C=E，故C可逆，且C-1=A B；在ABC=E的兩邊左乘以A-1，右乘以C-1，得B＝A-1E C-1＝A-1C-1，所以B-1＝（A-1C-1）－1＝CA。

例7 設(shè)矩陣E＋A及A均可逆，B＝E－（E＋A）－1，求證B也可逆，并求B-1。

解：利用逆矩陣的定義對矩陣B作恒等變形，

B＝E－（E＋A）－1＝（E＋A）－1（E＋A）－（E＋A）－1＝（E＋A）－1A。

∵（E＋A）－1及A可逆，∴B可逆，且：

B-1＝[（E＋A）－1·A]－1＝A－1·（E＋A）＝A－1＋E。

5 初等變換求逆矩陣

可逆矩陣A可以寫成一系列初等矩陣的乘積，設(shè)矩陣A是可逆的，則A＝P1·P2·…Ps，其中Pi（i=1,2,…s）是初等矩陣，因?yàn)槌醯染仃嚩际强赡娴?，并且初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣，又因?yàn)樵诰仃嚨淖筮叧艘砸粋€(gè)初等矩陣就相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行了一次初等行變換，于是就得到(A|E)→行變換(E|A-1)，即將矩陣A放在左邊，與A同階的單位矩陣E放在右邊，對它們進(jìn)行初等行變換，當(dāng)左邊的矩陣A化為單位矩陣E時(shí)，右邊的矩陣E就化為A-1；另外，在矩陣的右邊乘以一個(gè)初等矩陣就相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行了一次初等列變換，于是就得到

如果利用初等行（列）變換的方法求逆矩陣時(shí)，矩陣A的最下（右）邊一行是零行，即矩陣A不能化為單位矩陣E，這說明矩陣A是不可逆的，所以，利用初等變換求逆矩陣時(shí)，不需要去計(jì)算矩陣的行列式是否為零。

解：（方法一）利用初等行變換求逆矩陣

所以A-1＝

（方法二）利用初等列變換來求逆矩陣

所以A-1＝由此可見，利用初等行變換或者初等列變換都可以求逆矩陣，并且計(jì)算的結(jié)果是一樣的，但是習(xí)慣上我們還是利用初等行變換來求逆矩陣，因?yàn)槌醯刃凶儞Q更常用。

6 分塊對角陣求逆矩陣

對矩陣進(jìn)行分塊是矩陣運(yùn)算中常用的一種方法，有時(shí)可以簡化運(yùn)算，如果矩陣分塊以后是分塊對角陣，則計(jì)算就相當(dāng)簡便。

先將矩陣進(jìn)行分塊，如果分塊后的矩陣是如下形式（即分塊對角陣），其中每一個(gè)Ai(i=1,2,…,s)都是方陣，并且每一個(gè)Ai(i=1,2,…,s)均可逆，則

可見A1，A2均可逆，則A-1＝

由此可見，如果直接利用伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣，就要計(jì)算9個(gè)代數(shù)余子式，計(jì)算量比較大，而利用分塊的方法將其化為分塊對角陣，只需要計(jì)算一個(gè)二階方陣的逆，從而簡化了計(jì)算。

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組,王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社,2003：177-193.