淺談導(dǎo)數(shù)在求解與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題中的應(yīng)用

姜海峰

函數(shù)單調(diào)性是高中階段函數(shù)的一個(gè)最基本的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)為我們提供了一套新的理論和方法，只通過簡(jiǎn)單的求導(dǎo)和解相關(guān)的不等式就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而更深入地解決問題，比如最值問題等。那么，怎樣用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)單調(diào)性的問題呢？

一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

1.定義

設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f'（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

2.說明

（1）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I內(nèi)恒有f'（x）=0，則y=（x）在區(qū)間I內(nèi)為常函數(shù)。

（2）f'（x）>0是f（x）遞增的充分不必要條件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一個(gè)點(diǎn)例外，即x=0時(shí)f'（x）=0，同樣f'（x）<0是f（x）遞減的充分不必要條件。

（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減），則先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去驗(yàn)證f'（x）=0時(shí)是否恒成立。

（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，往往要先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求解。

（5）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三個(gè)步驟：

①確定函數(shù)的定義域。

②求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）。

③令f'（x）>0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間；令f'（x）<0解不等式，得x的范圍就是遞減區(qū)間。

二、典型例題

1.判斷單調(diào)性

例：討論函數(shù) 的單調(diào)性。

題型分析：求出y'，在函數(shù)定義域內(nèi)討論y'的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。

解題歸納：在判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，在某個(gè)區(qū)間內(nèi)若出現(xiàn)個(gè)別的點(diǎn)使f'（x）=0，則不影響包含該點(diǎn)的這個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，只有在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)。

2.證明單調(diào)性

例：求證函數(shù)f（x）=在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)。

題型分析：利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)就是判斷或證明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在給定區(qū)間上恒成立，一般步驟為：求導(dǎo)數(shù)f'（x），判斷f'（x）的符號(hào)，給出單調(diào)性結(jié)論。

解題歸納：判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)時(shí)應(yīng)注意利用不等式的關(guān)系。

3.已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍

例：設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R在區(qū)間（-，-）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。

題型分析：函數(shù)解析式中含有參數(shù)，已知單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，解答本題可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定參數(shù)的取值范圍。

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-，-）內(nèi)是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈（-，-）時(shí)，f'（x）≤0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象可以知道f'（-）≥0且f'（-）≤0，解得a≥2。

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=2時(shí)也成立，所以a≥2。

解題歸納：本題一定要注意最后的驗(yàn)證，了解導(dǎo)數(shù)符號(hào)和單調(diào)性的非充要關(guān)系，做到知識(shí)掌握的準(zhǔn)確性和做題邏輯的嚴(yán)密性。

變式：若函數(shù)f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在區(qū)間（1，4）上是減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

題型分析：本變式給出了兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該得出兩個(gè)導(dǎo)數(shù)不等式，再求參數(shù)范圍。

解：f'（x）=x2-ax+（a-1），令f'（x）=0得x=1或x=-1，結(jié)合函數(shù)圖象可知4≤a-1≤6，故a∈[5，7]。

解題歸納：本題也可轉(zhuǎn)化為f'（x）≤0，x∈（1，4）恒成立且 f'（x）≥0，x∈（6，+∞）恒成立，再驗(yàn)證等號(hào)的方法來求解。

4.利用單調(diào)性證明不等式

例：求證當(dāng)x>0時(shí)，ln（x+1）>x-x2。

題型分析：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法是通過移項(xiàng)或者變形后再移項(xiàng)來構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用新函數(shù)單調(diào)性再求最值的方法來證明。

證明：設(shè)f（x）=ln（x+1）-（x-x2）=ln（x+1）-x+x2

函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）

則f'（x）=-1+x=，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f'（x）>0

所以，f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)。

所以，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0

即當(dāng)x>0時(shí)，ln（x+1）>x-x2

解題歸納：通過考查函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的一種常用方法，也是證明不等式的一種巧妙方法。

總之，導(dǎo)數(shù)在求解與單調(diào)性有關(guān)問題中有廣泛應(yīng)用，在以后的工作和學(xué)習(xí)中我將不斷探索和積累。

（責(zé)任編輯 馮 璐）