弱Taft代數(shù)

程東明，賈鵬鵬，周佳惠

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023)

?

弱Taft代數(shù)

程東明，賈鵬鵬，周佳惠

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023)

引入對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)，分別刻畫了它們的代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)。作為代數(shù)，對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)可分解為兩個代數(shù)的直和，其中一個直和項(xiàng)就是Taft代數(shù)。用Ext箭圖刻畫了這些弱Hopf代數(shù)的余代數(shù)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)它們都有一個子Hopf代數(shù)與Taft代數(shù)同構(gòu)。

弱Hopf代數(shù)；Taft代數(shù)；Ext箭圖

0 引言

作為Hopf代數(shù)的推廣，文獻(xiàn)[1-3]引入了弱Hopf代數(shù)的概念。隨后,文獻(xiàn)[4]發(fā)現(xiàn)了最初的兩個弱Hopf代數(shù)的例子，即對應(yīng)于Uq(sl2)的弱Hopf代數(shù)。文獻(xiàn)[5]組合了文獻(xiàn)[4]的兩種方法,并推廣到了對應(yīng)于Uq(sln)的弱Hopf代數(shù)。文獻(xiàn)[5]總共有4種不同構(gòu)的對應(yīng)于Uq(sl2)的弱Hopf代數(shù)。文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步考慮了生成元的乘法和余乘法的16種組合,經(jīng)逐一計(jì)算得知其中有9個構(gòu)成弱Hopf代數(shù)。文獻(xiàn)[7]又將這一結(jié)果推廣到對應(yīng)于Uq(sln)的弱Hopf代數(shù)。另一方面，文獻(xiàn)[8]用同樣的方法研究對應(yīng)于Sweedler代數(shù)的弱Hopf代數(shù)。文獻(xiàn)[9]也提供了構(gòu)造弱Hopf代數(shù)的其他方法。

Taft代數(shù)是Sweedler代數(shù)的推廣，Sweedler代數(shù)是Taft代數(shù)的特例。本文構(gòu)造所有可能的對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù),總共有3個不同構(gòu)的對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)，分別研究了它們的代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)。

1 對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)

首先，回顧一下Taft代數(shù)的定義。令n>2是一個整數(shù)，q是n次本原單位根。Taft代數(shù)Hn2(q)是由G和X生成的，滿足關(guān)系Gn=I,GX=qXG,Xn=0的代數(shù)。它的余乘法由下式定義：

△(G)=G?G, △(X)=G?X+X?I。

而余單位定義為:

ε(G)=1=ε(I),ε(X)=0。

它的對極S定義為：

S(G)=G-1,S(I)=1,S(X)=-G-1X。

對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)有多種可能的定義。令n>2是一個整數(shù)，q是n次本原單位根。對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)有兩個生成元x，g，它們滿足

gn+1=g,xn=0。

(1)

對于x和g之間的關(guān)系，有兩種選擇。如果x和g滿足關(guān)系

gx=qxg,

(2)

就說x的乘法是第一類的。如果x和g滿足關(guān)系

gxgn-1=qx,

(3)

就說x的乘法是第二類的。余代數(shù)結(jié)構(gòu)由以下算式所誘導(dǎo)：△(g)=g?g,ε(1)=ε(g)=1,ε(x)=0。而x的余乘法有兩種方式:如果△(x)=g?x+x?1，就說x的余乘法是第一類的;如果△(x)=g?x+x?gn，就說x的余乘法是第二類的。無論x的乘法和余乘法是什么類型，弱對極總是由以下算式所誘導(dǎo)：

T(1)=1,T(g)=gn-1,T(x)=-gn-1x。

2 弱Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)

本節(jié)驗(yàn)證上節(jié)所述,對應(yīng)于Taft代數(shù)的Hopf代數(shù)關(guān)于所定義的乘法和余乘法的確構(gòu)成弱Hopf代數(shù)。無論x的乘法是什么類型的，式(2)總是成立。事實(shí)上,如果x的乘法是第一類的,式(2)就是定義。當(dāng)x的乘法是第二類的時候,x=q-1gxgn-1,因此,

xgn=(q-1gxgn-1)gn=q-1gx(gn-1gn)=q-1gxgn-1=x。

(4)

由式(3)和式(4)可得：

qxg=gxgn=gx。

下列的定理給出對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

定理1 令W是任何類型的對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)。

(Ⅰ)如果x的乘法是第一類的,那么x的余乘法可能是第一類的或第二類的。

(Ⅱ)如果x的乘法是第二類的,那么x的余乘法只可能是第二類的。

證明 由于W是由g，x所生成，W的余乘法是由生成元g，x的余乘(△(g)=g?g，△(x)=g?x+x?1)所誘導(dǎo)。要證明它的確誘導(dǎo)了W上的滿足余結(jié)合律的余乘運(yùn)算，只需證明它保持關(guān)系(1)、(2)和(3)。

易見g余乘法保持關(guān)系(1)、(2)、(3)。容易證明，無論x的乘法是什么類型,余乘法總保持關(guān)系(1)。

(Ⅰ)如果x的乘法是第一類的,而且x的余乘法是第一類的,那么，

△(gx)= (g?g)(g?x+x?1)=

gg?gx+gx?g=

gg?(qxg)+(qxg)?g=

q(g?x+x?1)(g?g)=

△(qxg)。

如果x的乘法是第一類的,而且x的余乘法是第二類的,那么，

△(gx)= (g?g)(g?x+x?gn)=

g2?gx+gx?ggn=

g2?(qxg)+(qxg)?ggn=

q(g?x+x?gn)(g?g)=

△(qxg)。

(Ⅱ)如果x的乘法是第二類的,而x的余乘法是第二類的,那么，

△(gxgn-1)= (g?g)(g?x+x?gn)(gn-1?gn-1)=

gggn-1?gxgn-1+gxgn-1?ggngn-1=

g?(qx)+(qx)?gn=

q(g?x+x?gn)=

△(qx)。

如果x的乘法是第二類的,而x的余乘法是第一類的,那么，

△(gxgn-1)= (g?g)(g?x+x?1)(gn-1?gn-1)=

gggn-1?gxgn-1+gxgn-1?ggn-1=

g?(qx)+(qx)?gn=

q(g?x+x?gn)。

但是，

△(qx)=q(g?x+x?1)。

所以，如果x的乘法是第二類的,而x的余乘法是第一類的，則它不能誘導(dǎo)W上的余乘法。

現(xiàn)在證明T誘導(dǎo)了W上的弱對極，即T×id×T=T,id×T×id=id。首現(xiàn)將它們作用在生成元g，x上。有：

T×id×T(g)=M(T?id?T)(g?g?g)=gn-1ggn-1=gn-1=T(g)。

id×T×id(g)=M(id?T?id)(g?g?g)=ggn-1g=g=id(g)。

T×id×T(x)=M(T?id?T)(g?g?x+g?x?1+x?1?1)=

gn-1g(-gn-1x)+gn-1x+(-gn-1x)=

-gn-1x+gn-1x-gn-1x=-gn-1x=T(x)。

id×T×id(x) =M(id?T?id)(g?g?x+g?x?1+x?1?1)=

ggn-1x+g(-gn-1x)+x=x=id(x)。

為了證明T誘導(dǎo)了W上的弱對極，還需證明它保持關(guān)系(1)、(2)、(3)，即:

T(gn+1)=T(g),T(xn)=0,T(gx)=T(qxg),T(gxgn-1)=T(qx)。

前3個等式較容易，而第4個等式證明如下：注意到T是反代數(shù)同態(tài)，

T(gxgn-1) =T(gn-1)T(x)T(g)=(gn-1)n-1(-gn-1x)(gn-1)=

-gn(n-2)gn-1(gxgn-1)=-gn-1(qx)=T(qx)。

這樣就完成了定理的證明。

表1 對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)

把這3個對應(yīng)于Taft代數(shù)的弱Hopf代數(shù)稱為弱Taft代數(shù)。

3 代數(shù)結(jié)構(gòu)

定理2W可被寫成雙邊理想的直和：W=W1⊕W2,而且作為代數(shù)

(Ⅰ)W1同構(gòu)于Taft代數(shù)Hn2(q)。

(Ⅱ)如果x的乘法是第一類的,那么W2同構(gòu)于由單個元素y生成的n-維代數(shù)An，滿足yn=0。

(Ⅲ)如果x的乘法是第二類的,那么W2同構(gòu)于平凡代數(shù)k。

(Ⅱ)因?yàn)?x(1-gn))n=xn(1-gn)n=0。并且

(x(1-gn))n-1=xn-1(1-gn)n-1=xn-1(1-gn)≠0。

(Ⅲ)因?yàn)閤是第二類的,xgn=q-1gxgn-1gn=q-1gxgn-1=x。因此,x(1-gn)=0。

證明 因?yàn)椤?1-gn)=1?1-gn?gn=1?1-gn?1+gn?1-gn?gn=(1-gn)?1+gn?(1-gn),以及

T(1-gn)=T(1)-(T(g))n=1-(gn-1)n=1-gn，

4 余代數(shù)結(jié)構(gòu)

△(gx)=△(g)△(x)=(g?g)(g?x+x?1)=g2?gx+gx?g，

△(gix)=△(gi)△(x)=(gi?gi)(g?x+x?1)=gi+1?gix+gix?gi，i=1,2,…,n。

△(gx)=△(g)△(x)=(g?g)(g?x+x?gn)=g2?gx+gx?g，

△(gix)=△(gi)△(x)=(gi?gi)(g?x+x?gn)=gi+1?gix+gix?gi,i=1,2,…,n。

△(gx)=△(g)△(x)=(g?g)(g?x+x?gn)=g2?gx+gx?g，

△(gix)=△(gi)△(x)=(gi?gi)(g?x+x?gn)=gi+1?gix+gix?gi，i=1,2,…,n。

下面證明3個弱Taft代數(shù)都有同構(gòu)于Taft代數(shù)Hn2(q)的子Hopf代數(shù)。圖4、圖5和圖6分別是圖1、圖2和圖3子箭圖，它們所對應(yīng)的子Hopf代數(shù)分別記為U1、U2和U3。

定理4 U1、U2、U3均同構(gòu)于Taft代數(shù)Hn2(q)。

圖1 H1n2(q)的Ext箭圖 圖2 H2n2(q)的Ext箭圖 圖3 H3n2(q)的Ext箭圖圖4 H1n2(q)的子Ext箭圖圖5 H2n2(q)的子Ext箭圖圖6 H3n2(q)的子Ext箭圖

5 結(jié)論

按現(xiàn)有的方法，把Taft代數(shù)作弱擴(kuò)張。乘法和余乘法各有兩種定義，得到4種可能的弱Taft代數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)有3種構(gòu)成弱Hopf代數(shù)。作為代數(shù)，這3個弱Hopf代數(shù)均有一個直和項(xiàng)，它同構(gòu)于Taft代數(shù)。作為余代數(shù)，這3個弱Hopf代數(shù)均有一個子Hopf代數(shù)，它同構(gòu)于Taft代數(shù)。

[1] Li F.Weak Hopf Algebras and Some New Solutions of Yang-Baxter Equation[J].J Algebra,1998,208(1):72-100.

[2] Li F.Weak Hopf Algebras and Regular Monoids[J].J Math Research and Exposition,1999,19(2):325-331.

[3] Li F.Solutions of Yang-Baxter Equation in Endomorphism Semigroup and Quasi-(co)braided Almost Bialgebras[J].Comm Algebra,2000,28(5):2253-2270.

[4] Li F,Duplij S.Weak Hopf Algebras and Singular Solutions of Quantum Yang-Baxter Equation[J].Comm Math Phys,2002,225(1):192-217.

[5] Aizawa N,Isaac P S.Weak Hopf Algebras Corresponding toUq[sln][J].J Math Phys,2003,44(11):5250-5267.

[6] Cheng D,Li F.The Structure of Weak Hopf Algebras Corresponding toUq(sl2)[J].Comm in Algebra,2009,37(3):729-742.

[7] 程東明.對應(yīng)于Uq(sln)的弱Hopf代數(shù)的分類[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2012,32(3):662-669.

[8] Cheng D.The Structure of Weak Quantum Groups Corresponding to Sweedler Algebra[J].JP Journal of Algebra,Number Theory and Applications,2010,16(2):89-99.

[9] Yang S L.Weak Hopf Algebras Corresponding to Cartan Matrices[J].J Math Phys,2005,46(073502):1-18.

[10] Chin W.A Brief Introduction to Coalgebra Representation Theory[J].Lecture Notes in Pure and Appl Math,2004,237:109-131.

[11] Chin W,Montgomery S.Basic Coalgebras,in Modular Interfaces[J].AMS/IP Stud Adv Math,1997,4:41-47.

[12] Montgmery S.Indecomposable Coalgebras,Simple Comodules and Pointed Hopf Algebras[J].Proc Amer Math Soc,1995,123(8):2343-2351.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171296)

程東明(1961-),男,福建福州人,副教授,博士,研究方向?yàn)榱孔尤?

2014-07-06

1672-6871(2015)03-0086-04

O153

A