具有非局部源和邊界流拋物型方程組解的性質(zhì)

摘要：研究了一類具有非局部源及邊界流拋物型組解的性質(zhì)， 通過構造方程組的上、下解及運用比較定理，得到了方程組解整體存在及解在有限時刻爆破的充分條件。由此得到，當反應項和擴散項的指數(shù)滿足不同條件時，方程組的解具有不同的性質(zhì)。

關鍵詞：拋物型方程組；非局部源及邊界流；比較原理；整體存在；爆破

中圖分類號：O17526 文獻標志碼：A文章編號：1672-1098（2014）04-0042-04

式中：ΩRN是有界光滑區(qū)域，mi>1，pi>0，i（x，y）（i=1，2，3）是Ω×Ω上的非負連續(xù)函數(shù)，初值u0（x），v0（x）∈C2+α（Ω—）（0<α<1）非負，且在邊界上滿足相容條件。

式（1）～式（3）可以用來描述化學反應中反應物的反應情況， 或者三種混合固體燃燒的熱傳導問題， 其中，u， v， w分別代表三種燃料的溫度。 近幾年來， 許多學者對拋物型方程組中反應項為非局部源及邊界流的問題做了大量的研究[1-6]。文獻[7]考慮了如下方程組：

ut-Δu=-∫Ωg（u）dxx∈Ω，t>0

u（x，t）=∫Ωf（x，y）u（y，t）dyx∈Ω，t>0

u（x，0）=u0（x）x∈Ω （4）

得到了式（4）解的爆破條件和爆破速率估計。文獻[8]研究了式（5）～式（7）解的整體存在和有限時刻爆破以及爆破速率問題。

ut=Δum1+vp2

vt=Δvm2+wp3

wt=Δwm3+up1（x∈Ω，t∈（0，T））（5）

具有連續(xù)有界初值

u（x，0）=u0（x）

v（x，0）=v0（x）

w（x，0）=w0（x）（x∈Ω）（6）

邊界

u（x，t）=v（x，t）=w（x，t）=1

（x∈Ω，t>0）（7）

文獻[9]研究了式（8）～式（10）

ut=Δum1-∫Ωuαvpdx，vt=Δvm2-∫Ωuqvβdx

x∈Ω，t>0 （8）

u（x，t）=∫Ω（x，y）u（y，t）dy，v（x，t）=

∫Ωψ（x，y）v（y，t）dyx∈Ω，t>0 （9）

u（x，0）=u0（x），v（x，0）=v0（x）x∈Ω （10）

得到解的整體存在和在有限時刻爆破的充分條件。

基于以上工作，研究了式（1）～式（3）解的整體存在及有限時刻爆破的充分條件。

1預備知識

定義1令T>0，正函數(shù)u—（x，t），v—（x，t），w—（x，t）∈C1，0（Ω—×[0，T））∩C2，1（Ω×[0，T）） 且滿足

u—t≥Δu—m1+∫Ωv—p1dx，v—t≥Δv—m2+∫Ωw—p2dx，

w—t≥Δw—m3+∫Ωu—p3dx（x∈Ω，t>0）（11）

具有連續(xù)有界初值

u—（x，0）≥u0（x）

v—（x，0）≥v0（x）

w—（x，0）≥w0（x）（x∈Ω） （12）

和邊值

u—（x，t）≥∫Ω1（x，y）u—（y，t）dy

v—（x，t）≥∫Ω1（x，y）v—（y，t）dy

w—（x，t）≥∫Ω1（x，y）w—（y，t）dy

（x∈Ω，t>0） （13）

則稱（u—（x， t）， v—（x， t），w—（x，t））為式（1）～式（3）的上解。 改變不等號的方向，類似可以定義下解。

由文獻[10]，有如下的比較引理。

引理1設（u—（x，t），v—（x，t），w—（x，t））和（u（x，t），v（x，t），w（x，t））是式（1）～式（3）在Ω—×[0，T）上的一對有序上、下解，則式（1）～式（3）存在唯一古典解（u（x，t），v（x，t），w（x，t））在Ω—×[0，T）上有定義且滿足：

u（x，t）≤u（x，t）≤u—（x，t），v（x，t）≤v（x，t）≤v—（x，t），w（x，t）≤w（x，t）≤w—（x，t）（x，t）∈Ω—×[0，T）。

引理2設（u（x， t）， v（x， t）， w（x，t））>（0，0，0）是式（1）的下解，如果（u，v，w）在有限時刻爆破，則式（1）～式（3）的解（u（x，t），v（x，t），w（x，t））在有限時刻爆破。

2解的整體存在

定理1如果m1m2m3>p1p2p3時，對于小初值u0（x），v0（x），w0（x），式（1）～式（3）的解整體存在。

證明設（x）滿足：

-Δ=ε0x∈Ω

（x）=∫Ωτ（x，y）dyx∈Ω（14）

式中：τ（x，y）=max{1（x，y），2（x，y），3（x，y）}是定義在Ω×Ω上的非負連續(xù)函數(shù)，ε0>0使0≤（x）≤1，記K1=maxx∈Ω （x），K2=minx∈Ω （x），令u—=a1/m1（x），v—=b1/m2（x），w—=c1/m3（x），則有

u—t-Δu—m1-∫Ωv—p1dx=am1ε0-bp1∫Ωp1m2（x）dx≥am1ε0-bp1Kp1m21|Ω|

v—t-Δv—m2-∫Ωw—p2dx=bm2ε0-cp2∫Ωp2m3（x）dx≥bm2ε0-cp2Kp2m31|Ω|

w—t-Δw—m3-∫Ωu—p3dx=cm3ε0-ap3∫Ωp3m1（x）dx≥cm3ε0-ap3Kp3m11|Ω|

邊界：

u—Ω=a（∫Ωτ（x，y）dy）1m1≥a∫Ωτ（x，y）dy≥a∫Ω1（x，y）dy≥a∫Ω1（x，y）1m1（x）dy=∫Ω1（x，y）u—（x，y）dy。

同理：v—Ω≥∫Ω2（x，y）v—（x，y）dy

w—Ω≥∫Ω3（x，y）w—（x，y）dy

初值：

u—（x，0）=a1/m1（x）≥aK1/m12，v—（x，0）=

b1/m2（x）≥bK1/m22，w—（x，0）=b1/m3（x）≥bK1/m32。

綜上可知，只要存在a，b，c，使得

am1ε0-bp1Kp1m21|Ω|≥0，bm2ε0-cp2Kp2m31|Ω|≥0，cm3ε0-ap3Kp3m11|Ω|≥0

aK1/m12≥u0（x），bK1/m22≥v0（x），cK1/m32≥w0（x） （15）

成立，則（u—，v—，w—）是式（1）～式（3）的上解， 而（0，0，0）是式（1）～式（3）的下解， 由引理1知， 式（1）～式（3）的解整體存在。下證這樣的a，b，c存在。令bp1=am1ε0K-p1m21|Ω|-1， 則可得關于a的不等式：

am1m2m3/p1p2p3≥ε-（m2+p1+m3p1p2）/p10K1（1+p2/m3+p3/m1m3）

|Ω|（m2+1/m3+1） （16）

由定理1的條件m1m2m3>p1p2p3知，只要取a充分大時，可使得式（16）成立。另只要a，b，c充分大，又對于小初值u0（x），v0（x），w0（x），就可以保證式（15）成立。定理1證畢。

3解的有限時刻爆破

引理3設θ>λ>1，k，l>0，h（t）是問題h′（t）=-khλ（t）+lhθ（t），t>0

h（0）=h0>0的解，則當h0充分大時，h（t）在有限時刻爆破。

引理4設λ2>λ1>1，θ2>θ1>1，則存在如引理3的h（t）是滿足

h′（t）≤-khλ1（t）+lhλ2（t）

h′（t）≤-khθ1（t）+lhθ2（t）

引理3及引理4的證明如文獻[3]所示。

定理2如果p1>m1，p2>m2，p3>m3，則當初值u0（x）， v0（x）， w0（x）充分大時， 式（1）～

式（3）的解在有限時刻爆破。

證明設（x）是滿足方程

-Δ=1x∈Ω

（x）=0x∈Ω （17）

的解，則存在C>0，使得0≤（x）≤C。令

u（x，t）=hl1（t）l1（x），v（x，t）=hl2（t）l2（x），w（x，t）=hl3（t）l3（x），h（t）待定，記

k=max{m1C（m1-1）l1-1，m2C（m2-1）l2-1，m3C（m3-1）l3-1}

l=min{1l1Cl1∫Ωl2p1（x）dx，1l2Cl2∫Ωl3p2（x）dx，1l3Cl3∫Ωl1p3（x）dx}

ut-Δum1-∫Ωvp1dx=l1hl1-1（t）l1（x）h′（t）-

l1m1hl1m1（t）l1m1-1（x）Δ（x）-hl1p1（t）∫Ωl2p1（x）dx=

l1hl1-1（t）l1（x）[h′（t）+m1hl1m1-l1+1（t）l1m1-l1-1（x）-

1l1l1（x）hl1p1-l1+1（t）∫Ωl2p1（x）dx]≤l1hl1-1（t）l1（x）

[h′（t）+kh（m1-1）l1+1（t）-lh（p1-1）l1+1（t）]

由定理假設條件p1>m1知，（p1-1）l1+1>（m1-1）l1+1>0，由引理4知，存在滿足引理3的h（t）使得

h′（t）≤-kh（m1-1）l1+1（t）+lh（p1-1）l1+1（t）

所以，ut≤Δum1+∫Ωvp1dx。

同理，vt≤Δvm2+∫Ωwp2dx，wt≤Δwm3+∫Ωup3dx。

邊界：由式（17）知，（x）=0，x∈Ω，有

u（x，t）=0≤∫Ω1（x，y）u（y，t）dy

v（x，t）=0≤∫Ω2（x，y）v（y，t）dy

w（x，t）=0≤∫Ω3（x，y）w（y，t）dy（x∈Ω×（0，T））

初值：當初值u0（x），v0（x），w0（x）充分大時，有

u（x，0）=hl1（0）l1（x）≤u0（x），v（x，0）=hl2（0）l2（x）≤v0（x）

w（x，0）=hl3（0）l3（x）≤w0（x） （x∈Ω）

故（u，v，w）為式（1）～式（3）的下解，而且（u，v，w）在有限時刻爆破。由引理2知，式（1）～式（3）的解在有限時刻爆破。定理2證畢。

參考文獻：

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[10]PAO C V.Nonlinear parabolic and elliptic equations[M].New York，London：Plenum Press，1992：192.

（責任編輯：何學華）