煤層底板巖體參數(shù)概率分布及Bayes優(yōu)化

姚多喜　魯海峰　邵亞紅

摘要：正確確定煤系巖體力學(xué)參數(shù)的概率分布是承壓水上采煤底板穩(wěn)定可靠性分析的關(guān)鍵。以淮北礦區(qū)部分煤礦下組煤底板砂巖強度參數(shù)為例，以K-S檢驗法對數(shù)據(jù)進行概率分布擬合，獲取參數(shù)分布類型及統(tǒng)計量。以此大樣本概型為先驗函數(shù)，具體工作面底板巖體小樣本參數(shù)的概型為似然函數(shù)，基于Bayes方法對其優(yōu)化，得到驗后分布的概型參數(shù)。計算結(jié)果表明，下組煤底板砂巖強度參數(shù)全部接受正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布，優(yōu)化后的方差有所下降，可以提高底板采動穩(wěn)定可靠性分析結(jié)果，從而達到優(yōu)化目的。

關(guān)鍵詞：煤層底板；巖體參數(shù)；概率分布；Bayes優(yōu)化

中圖分類號：TD163文獻標(biāo)志碼：A文章編號：1672-1098（2014）04-0015-04

淮南潘三礦8煤層為其主采煤層之一，然該地區(qū)松散層下部含水層直接覆蓋在煤系地層之上，該含水層具有富水性較強、水壓高等特點，給淺部煤層的安全開采帶來嚴(yán)重的安全隱患?；诳煽啃岳碚摲治霾蓜訔l件下，頂板在高水壓作用下的穩(wěn)定性是一種行之有效的方法。而巖體力學(xué)參數(shù)的概率分布推斷是頂板穩(wěn)定可靠性分析的關(guān)鍵步驟之一。由于受地質(zhì)運動、賦存環(huán)境以及人類工程活動的影響，地質(zhì)體力學(xué)性質(zhì)非常復(fù)雜，其本身的各種力學(xué)參數(shù)具有很大的不確定性。正確選擇和建立輸入?yún)?shù)的概率模型、估計其特征參數(shù)是可靠性分析的關(guān)鍵步驟之一，它直接影響可靠性最終的計算結(jié)果和精度。 因此，巖體力學(xué)參數(shù)的概率分布特性研究始終是一項基礎(chǔ)性的重要工作。

而在計算具體工作面采動頂板穩(wěn)定可靠度問題時，由于技術(shù)或經(jīng)濟等原因，巖塊樣本數(shù)常常較少，難以對其參數(shù)進行單獨的統(tǒng)計分析。因此，在小樣本條件下如何分析數(shù)據(jù)的分布特征為愈來愈多的學(xué)者所關(guān)注。而比較可行的就是利用已有的資料獲得頂板巖體參數(shù)的概率分布，對新的工作面的小樣本數(shù)據(jù)進行優(yōu)化，具有重要意義。本文針對這一問題，引入Bayes統(tǒng)計推斷方法，利用淮南礦區(qū)潘三、顧橋以及丁集等礦8煤頂板已有資料進行統(tǒng)計分析，并利用K-S檢驗法對其概率分布進行檢驗，確定出概率分布形式，以此作為先驗分布，以小樣本參數(shù)的概型為似然函數(shù)，利用Bayes方法對概型參數(shù)進行優(yōu)化，可解決具體工作面覆巖獲取巖體參數(shù)大樣本的困難性[1-4]，對正確統(tǒng)計巖體參數(shù)概率分布函數(shù)具有重要意義。

1覆巖巖體參數(shù)先驗分布

11樣本收集及異常值判斷

礦區(qū)8煤層淺部覆巖主要為砂巖和泥巖的組合體，巖體參數(shù)具有很大的不確定性，本文以砂巖強度參數(shù)為例進行概率分布擬合分析。根據(jù)潘三、顧橋以及丁集的地質(zhì)報告和各礦所做的科研報告，收集到8煤層淺部頂板砂巖內(nèi)聚力60個樣本、摩擦角55個樣本、抗拉強度58個樣本，共173個砂巖強度參數(shù)樣本，如表1所示。表18煤層頂板砂巖強度參數(shù)

以抗拉強度為例，經(jīng)計算頂板的單軸抗拉強度均值=300 MPa，3 s=0837，上述58組數(shù)據(jù)的ei值均小于3 s，說明抗壓強度樣本中沒有異常值[5]。同理檢測出其余強度指標(biāo)值樣本皆沒有異常值。

12驗前分布的假設(shè)檢驗

根據(jù)收集到的巖體物理力學(xué)參數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時，可通過直方圖來直觀的體現(xiàn)概率密度函數(shù)的形狀。本次收集到得的巖體各項指標(biāo)樣本數(shù)皆大于25，由此可以通過直方圖分析概型。摩擦角和抗拉強度參數(shù)的直方圖如圖1所示。從直方圖中可以看出，統(tǒng)計指標(biāo)具有中間大，兩端小的特點，顯示出優(yōu)勢集中。對圖形態(tài)分析，初步擬定正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布三種概型進行檢驗。三種常見的分布函數(shù)列出如下

1） 正態(tài)分布

F（x）=12π∫e-（x-μ）22σ2dx=（x-μσ）（4）

2） 對數(shù)正態(tài)分布

F（x）=12πσ∫e-（ln x-μ）22σ2 dx=（ln x-μσ）（5）

3） 威布爾分布

威布爾分布的密度函數(shù)為

f（x）=αβ-αxα-1e（-x/β）αx≥0

0其他 （6）

式中：α為形狀參數(shù)，β為比例參數(shù)。

各種分布參數(shù)的估計采用極大似然法，采用K-S法進行假設(shè)檢驗。

K-S檢驗法是檢驗單一樣本是否來自某一特定分布的方法。它的檢驗方法是以樣本數(shù)據(jù)的累計頻數(shù)分布與特定理論分布比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分布族。

用F0（x）表示理論分布的分布函數(shù)，F(xiàn)n（x）表示一組隨機樣本的累計頻率函數(shù)。設(shè)D為F0（x）與Fn（x）差距的最大值，定義如下式

D=max|Fn（x）-F0（x）|

當(dāng)實際觀測D>D（n，α）（D（n，α）是顯著水平為α樣本容量為n時，D的拒絕臨界值），則拒絕假設(shè)，反之則接受假設(shè)。

頂板砂巖強度參數(shù)概率分布擬合的參數(shù)估計以及K-S檢驗結(jié)果如表2所示。由表2可見，在顯著水平α=005上，所有指標(biāo)全部接受正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布，全部不接受威布爾分布。另外，砂巖各強隊參數(shù)值的假設(shè)檢驗的值，正態(tài)分布比對數(shù)正態(tài)分布?。黄洳钪递^小，故在下面的Bayes優(yōu)化中，主要對強度參數(shù)的正態(tài)分布參數(shù)進行優(yōu)化。

摩擦角/（°）抗拉強度/MPa

圖1砂巖強度參數(shù)概率分布擬合圖

表28煤頂板砂巖強度參數(shù)假定模型的參數(shù)估計及假設(shè)檢驗

強度指標(biāo)正態(tài)分布uσK-S檢驗結(jié)果D對數(shù)正態(tài)分布uσK-S檢驗結(jié)果Dweibull分布αβK-S檢驗結(jié)果DD（n，005）內(nèi)聚力4580470111480110134641029×1017 摩擦角379531005365008500739921241×1018 抗拉強度3050310071090090113121201×1018 注：內(nèi)聚力、抗拉強度單位MPa，摩擦角單位（°）2概型參數(shù)優(yōu)化的Bayes 方法

Bayes公式可寫成如下形式[6]

p″（θi）=p′（θi）p（zθi）∑p′（θi）p（zθi） （7）

式中：p″（θi）為驗后概率；p′（θi）為先驗概率；p（zθi）為試驗概率。

對于是連續(xù)分布的情況，Bayes公式可寫成[7]

f″（θ）=kL（θ）f′（θ） （8）

式中：f″（θ）為驗后概率密度函數(shù)； f′（θ）為先驗概率密度函數(shù)；L（θ）為似然函數(shù)；k為歸一化常數(shù)。

若隨機變量θ的驗后分布概率與先驗分布概率分別一致時，則驗后分布的均值和方差分別為

u=∫∞-∞θf″（θ）dθ （9）

σ2=∫∞-∞（θ-u）2f″（θ）dθ （10）

如果隨機變量θ的先驗分布f′（θ）為正態(tài)分布N[u′，（σ′）2]，則似然函數(shù)L（θ）為正態(tài)分布N[u″，（σ″）2]，驗后分布f″（θ）也為正態(tài)分布N[u″，（σ″）2]，其中均值u″和方差（σ″）2分別為

u″=u*（σ′）2+u′（σ*）2（σ′）2+（σ*）2 （11）

（σ″）2=（σ′σ*）2（σ′）2+（σ*）2 （12）

式中：u*、u′分別為似然函數(shù)、先驗函數(shù)和后驗函數(shù)的均值；（σ*）2、（σ′）2、（σ″）2分別為似然函數(shù)、先驗函數(shù)和后驗函數(shù)的方差。

3頂板巖體參數(shù)Bayes方法優(yōu)化

頂板巖體參數(shù)Bayes方法優(yōu)化以潘三礦12318綜采工作面為例。12318綜采工作面位于礦區(qū)西部一采區(qū)，是該礦8煤首采面。工作面標(biāo)高-675～455 m， 走向長1 971 m， 傾斜長205 m，煤層平均厚度3. 3 m。設(shè)防的含水層主要是新生界下部含水層，下含水壓高達5 MPa，且富水較強，對工作面的安全生產(chǎn)威脅較大。工作面留設(shè)85 m防水煤巖柱，煤柱巖性主要為細砂巖。利用工作面內(nèi)探放水孔的頂板砂巖強度參數(shù)測試（見表3）為補充數(shù)據(jù)，用Bayes方法對正態(tài)分布參數(shù)（u，σ2）進行優(yōu)化。

表312318工作面砂巖強度參數(shù)測試數(shù)據(jù)

內(nèi)聚力/MPa摩擦角/（°）抗拉強度/MPa 4283715301 43628 4235276 39378321 36376298 41381308 419382318 423373302

由于表3數(shù)據(jù)與表1數(shù)據(jù)來自同一個正態(tài)整體，即似然函數(shù)L（θ）為正態(tài)分布，其均值、方差分別如表4所示。

表4似然函數(shù)的均值和方差

強度指標(biāo)均值u*方差（σ*）2內(nèi)聚力/MPa4062 50044 5抗拉強度/MPa30050022 65摩擦角/（°）37131 21071 8

表2為先驗分布的正態(tài)分布，將表2與4中的數(shù)據(jù)代入公式（5）和（6）可得正態(tài)分布的驗后概率密度函數(shù)，其均值、方差分別見表5。

表5驗后的均值和方差

強度指標(biāo)均值u″方差（σ″）2內(nèi)聚力/MPa41490037抗拉強度/MPa30050022 58摩擦角/（°）3713107

經(jīng)Bayes方法優(yōu)化后， 方差值比先驗分布和似然函數(shù)的方差值小，從而達到優(yōu)化巖土強度參數(shù)的目的。所以12318工作面的砂巖強度參數(shù)可以按表4的正態(tài)分布為母體，對頂板采動穩(wěn)定進行可靠性分析。

4結(jié)論

針對工作面頂板巖體參數(shù)測試數(shù)據(jù)較少，難以對其參數(shù)進行單獨的統(tǒng)計分析。本文引入Bayes 法對參數(shù)進行優(yōu)化處理。根據(jù)收集到的淮南礦區(qū)部分煤礦8煤頂板砂巖強度參數(shù)，以K-S檢驗法對此數(shù)據(jù)進行概率分布擬合，獲取參數(shù)分布類型及統(tǒng)計量。以此大樣本概型為先驗函數(shù)，具體工作面頂板巖體小樣本參數(shù)的概型為似然函數(shù)，基于Bayes方法對其優(yōu)化，得到驗后分布的概型參數(shù)。獲的主要結(jié)論如下：

1） 淮南潘謝礦區(qū)8煤頂板砂巖強度參數(shù)全部接受正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布，

2） 經(jīng)Bayes優(yōu)化后的方差有所下降，可以提高頂板采動穩(wěn)定可靠性分析精度。頂板巖體力學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確確定對采動頂板抗水壓能力評估研究提供了重要依據(jù)。

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（責(zé)任編輯：李麗，范君）