非線性多時(shí)滯脈沖差分方程的振動(dòng)性

葛禮霞，季丹丹，劉海明

(牡丹江師范學(xué)院 理學(xué)院, 黑龍江 牡丹江 157012)

非線性多時(shí)滯脈沖差分方程的振動(dòng)性

葛禮霞，季丹丹，劉海明

(牡丹江師范學(xué)院 理學(xué)院, 黑龍江 牡丹江 157012)

對(duì)一類具有脈沖的多時(shí)滯差分方程進(jìn)行了研究.通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，借助于反證法、單調(diào)有界原理、求和及確界運(yùn)算等得到了方程振動(dòng)的兩個(gè)充分條件，將已有的某些結(jié)果在脈沖和多時(shí)滯等條件下進(jìn)行了推廣和改進(jìn)，使其應(yīng)用更加廣泛.

脈沖；差分方程；時(shí)滯；振動(dòng)性

由于差分方程所表示的離散系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界中是大量存在的，且通常的離散系統(tǒng)與相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)具有不同的性質(zhì)，因而許多學(xué)者對(duì)差分方程的定性理論進(jìn)行了研究[1-3]，文[4-5]研究了一類變系數(shù)差分方程

所有解的振動(dòng)性.文[6-11]研究了帶有脈沖的微分及差分方程的振動(dòng)性，而這一類方程在許多實(shí)際問(wèn)題中是普遍存在的.例如，在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中就會(huì)經(jīng)常遇到帶有脈沖系統(tǒng)的差分方程模型.因此，研究脈沖對(duì)系統(tǒng)的影響是很非常有必要的.

考慮具有脈沖的非線性變系數(shù)多時(shí)滯差分方程

(1)

定義2 方程(1)的解稱為非振動(dòng)的，如果這個(gè)解最終為正或者最終為負(fù)，否則稱該解為振動(dòng)的.如果(1)的所有解為振動(dòng)的，則稱方程(1)振動(dòng).

(2)

1 幾個(gè)引理

引理1[4]若存在自然數(shù)K,當(dāng)k>K時(shí)，有bk>-1成立，則方程(1)的所有解振動(dòng)，當(dāng)且僅當(dāng)方程(2)的所有解振動(dòng).

2 主要結(jié)果

(3)

(4)

則方程(1)的所有解振動(dòng).

證明 由引理1可知，只需證方程(2)的所有解振動(dòng)即可.

fi(y(n-ki))≥y(n-ki)>0

(5)

由式(2)，當(dāng)n≥n1時(shí)

從而可知，y(n)是單調(diào)非增的，特別有y(n-ki)≥y(n-k*)≥y(n)>0,i=1,2,…,m.

由式(2)，(5)和上式得

(6)

(7)

對(duì)式(7)的j從n-k*乘到n-1求積得

n≥n1+2k*.

n≥n1+2k*.

即

n≥n1+2k*

(8)

由式(3)和上式可得

這與定理中的條件(Ⅱ)矛盾，故方程(1)無(wú)最終正解.同理可證得方程(1)無(wú)最終負(fù)解，綜上可知，方程(1)的所有解振動(dòng)，證畢.

(9)

成立，則方程(1)的所有解振動(dòng).

證明 由引理1可知，只需證方程(2)的所有解振動(dòng)即可.

用反證法，不失一般性，不妨設(shè)yn是方程(2)的一個(gè)最終正解，則存在正整數(shù)n1≥N0，使得當(dāng)n≥n1時(shí)，有y(n)>0,y(n-ki)>0，從而有

fi(y(n-ki))≥y(n-ki)>0.

(10)

(11)

由引理2可知

由式(11)和上式可得

由引理3可知

這與已知條件式(9)矛盾，同理可證方程(1)也無(wú)最終負(fù)解，綜上可知，方程(1)的所有解振動(dòng)，證畢.

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(編輯：姚佳良)

Oscillation of nonlinear several delays difference equations with impulses

GE Li-xia, JI Dan-dan, LIU Hai-ming

(College of Sciences， Mudanjiang University, Mudanjiang 157012,China)

We studied the impulsive multi-delay difference equation by constructing auxiliary function, and with the help of the absurdity，monotone of function，sum，supremum and infimum.Two sufficient conditions were obtained for ocillation of all solutions，and some results under the condition of impulse and multify delays in the literatures were improved and promoted.The results can be more widely available.

impulse;difference equation;delay;oscillation

2015-02-08

黑龍江省教育廳科技項(xiàng)目(12541837)； 牡丹江師范學(xué)院省級(jí)重點(diǎn)預(yù)研項(xiàng)目(SY201323)

葛禮霞，女，gelixia99@sina.com

1672-6197(2015)06-0036-03

O175.7

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