一類單值變分不等式非零解的存在性

王雅婧

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030013）

一類單值變分不等式非零解的存在性

王雅婧

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030013）

主要利用不動點的指數(shù)方法與廣義投影算子的相關(guān)性質(zhì)，研究了自反Banach空間中一類單值變分不等式非零解的存在性.得到了這一類單值變分不等式的非零解的存在性結(jié)果.

單值變分不等式；不動點指數(shù)；廣義投影算子；非零解

變分不等式的相關(guān)理論在非線性分析中具有很重要的作用，在力學(xué)、經(jīng)濟管理、微分方程、理論物理、優(yōu)化與控制理論等學(xué)科中都有非常廣泛的應(yīng)用.非零解的存在性是變分不等式的相關(guān)理論研究中的一個重要組成部分，許多學(xué)者對此進行了深入的研究[1-4].

1 預(yù)備知識

文中設(shè)X為光滑的自反Banach空間，X*是X的對偶空間，‖X‖是X上的范數(shù)，記〈·，·〉為X*和X間的配對.

設(shè)K是X中的非空閉凸子集.對于常數(shù)r>0，記Kr={x|x∈K,‖X‖

存在x∈K，使得

其中A∶K→X*為單值全連續(xù)映射.J∶K→X*為正規(guī)對偶映射.

本文是在A∶K→X*為單值全連續(xù)映射的條件下，研究變分不等式（1）非零解的存在性.利用廣義投影算子的不動點指數(shù)理論，證明自反Banach空間中上述單值變分不等式非零解的存在性.

定義1 如果A連續(xù)，并且將X中的有界集映成X*中的相對緊集，則稱A∶K→X*是全連續(xù)的.

定義2 定義J∶K→2X*為X上的正規(guī)對偶映射：

容易得知若X為光滑的自反Banach空間，則J是單值映射且是*連續(xù)的.關(guān)于J的更多性質(zhì)可參考文獻[5].

定義3 定義

為K的退化錐.顯然，退化錐是閉凸錐，且對任意的x∈K,x0∈rc(K)，都有x+x0∈K.

定義4 任取一點φ∈X*，由

定義的算子πK∶X*→2K稱為廣義投影算子，其中

引理1[6]設(shè)X為光滑的自反Banach空間，X*是X的對偶空間，‖X‖是X上的范數(shù)，設(shè)K為X中的非空閉凸子集，那么對任意給定的?∈X*,x∈πk?的充要條件是.

引理2[6]設(shè)X是嚴格凸的自反Banach空間，X*是X的對偶映射空間，‖X‖是X上的范數(shù)，K是X中的非空閉凸子集，則廣義投影算子πK∶X*→K是連續(xù)的.

設(shè)U是X中的有界開子集，并且UK=U∩K≠?，分別記和?(UK)為關(guān)于UK的閉包和邊界.假設(shè)全連續(xù)，若對任意的 x ∈?(UK)，且x≠T(x)，那么不動點指數(shù)i（KT，U）有意義（詳見參考文獻[7]）.

引理3[7]設(shè)K為實Banach空間X的非空閉凸子集，設(shè)U是X中的有界開子集.假設(shè)全連續(xù)，且對任意的x∈?(UK),x≠T(x)，則不動點指數(shù)i（KT，U）滿足：

（i）若iK（T，U）≠0，那么T在UK中存在不動點；

（ii）若x ∈?((U1)K)??((U2)K)，且x≠T(x)，其中U1和U2是X中兩個互不相交的開子集，那么

2 主要結(jié)論

首先，根據(jù)引理1，可得下面結(jié)論.

定理1 設(shè)X是光滑的，嚴格凸的自反Banach空間，K是X中的非空閉凸子集，且0∈K.假設(shè)A∶K→X*是單值的全連續(xù)映射，則x*是變分不等式（1）的解當(dāng)且僅當(dāng)x*=πK（Ax*）.

接下來，主要運用Banach空間中廣義投影算子的不動點指數(shù)的相關(guān)理論來研究變分不等式（1）非零解的存在性.

定理2 設(shè)X是光滑的、嚴格凸的自反Banach空間，K是X中的非空閉凸子集，且0∈K.假設(shè)A∶K→X*是單值的全連續(xù)映射.若

成立；

（b）存在x0∈rcK{0}以及0點的某個鄰域V（0），使得對?x∈K∩V(0)，有.

則變分不等式（1）存在非零解.

證明 由引理2可知，πK連續(xù).定義一個新的映射πKA∶K→K為：

因為A是全連續(xù)映射，所以πKA是全連續(xù)映射.

再證明對于充分大的R，有iK（πKA，KR）=1，而對于充分小的r，有iK（πKA，Kr）=0.

首先，定義一個映射H1∶[0，1]×K→K為：

易知H在上[0，1]×H是全連續(xù)映射.

現(xiàn)在證明存在對于充分大的數(shù)R>0，使得對所有的t∈[0,1]，x≠H（1t，x），有x ∈?(KR).若假設(shè)不成立，則存在序列{tn}和{xn}滿足{tn}∈[0,1],{nx}∈?(KR),‖xn‖→+∞，使得

那么

在（2）中令y=0得到

由于tn∈[0,1]，所以

故當(dāng)‖xn‖→+∞時，有

這與條件（a）矛盾.

另外，因為J（0）=0，故

這表明0=πK（0）.所以得到

令r>0為充分小的數(shù)，使得.由條件（b）可知，存在x0∈rcK{0},對于任意的有

再證iK（πKA，Kr）=0.假設(shè)iK（πKA，Kr）≠0.由引理3（i）可知，πKA存在一個不動點x∈Kr，即x=πK（A（x））.由πK的定義和引理1可得，

由于 x0∈rc(K),x∈K.所以 x0+x∈K.在（4）中令y=x0+x，則

這與（3）矛盾.所以iK（πKA，Kr）=0.

推論 設(shè)是光滑的、嚴格凸的自反Banach空間，K是X中的非空閉凸子集且0∈K.假設(shè)A∶K→X*是單值的全連續(xù)壓縮映射.若存在x0∈rcK{0}，使得

則變分不等式（1）存在非零解.

證明 只需證明定理2的條件滿足即可.

首先，由于A是壓縮的，所以有，‖Ax-A(0)‖<‖x-0‖.0=A（0）結(jié)合可得，‖Ax‖<‖x‖.

所以

其次，由（5）可知

故

因為A為全連續(xù)映射，由上式可知，存在0點的一個鄰域V（0），對任意的x ∈K∩V(0)，

這表明，對任意的x∈K ∩V(0)，有

證明完畢.

[1]賴義生.用集值映象的不動點指數(shù)方法討論一類變分不等式非零解的存在性[D].武漢:華中師范大學(xué),1999.

[2]Lai Y S,Zhu Y G,Deng Y B.The existence of nonzero so?lutions for a class of variational inequalities by index[J].Ap?pl Math Lett,2003,16:839-845.

[3]Lai Y S,Zhu Y G,Deng Y B.Fixed point index approach for solutions of variational inequalities[J].Internat J Math Sci,2005,12:1897-1887.

[4]Fan J H,Wei W H.Nonzero solutions for a class of set-val?ued variational inequalities in reflexive Banach spaces[J].C-omput Math Appl,2008,56:233-241.

[5]Takahashi W.Nonlinear Functional Analysis[M].Yokohama Publishers,2000.

[6]Li J L.The generalized projection operator on reflexive Ban?ach spaces and its application[J].Math Anal Appl,2005,306: 55-71.

[7]Lloyd N G.Degree Theory[M].Cambridge University Press, Cambridge,1975.

責(zé)任編輯：畢和平

The Existence of Nonzero Solutions for a Class of Single-valued Variational Inequalities

WANG Yajing
（School of Mathematical Sciences，Shanxi University，Taiyuan030013，China）

In this paper,we study the existence of nonzero solutions for a class of single-valued variational inequalities in reflexive by using the fixed the author point index approach and the properties of generalized projection operator in reflexive. Some new existence theorems of nonzero solutions for this class of Single-valued variational inequalities are established.

Single-valued Variational inequality；Fixed point index；Generalized projection operator；Nonzero solutions

O 29

：A

：1674-4942（2015）01-0022-03

2015-01-11