一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的同步控制

潘 紅，雷騰飛

（1.山西工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 太原 030024；2.西京學(xué)院 控制工程學(xué)院，陜西 西安 710123）

一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的同步控制

潘 紅1，雷騰飛2

（1.山西工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 太原 030024；2.西京學(xué)院 控制工程學(xué)院，陜西 西安 710123）

針對一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，研究其自適應(yīng)同步，通過設(shè)計(jì)有效控制器，給出自適應(yīng)律，使兩系統(tǒng)達(dá)到自適應(yīng)同步，理論和仿真充分地說明了自適應(yīng)同步的科學(xué)性和有效性.同時(shí)對該系統(tǒng)與超混沌chen系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)同步進(jìn)行理論分析，得到結(jié)論是：當(dāng)控制參數(shù)K越大，兩系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)同步的速度就越快，數(shù)值模擬很好地說明此結(jié)論的正確性.

超混沌；自適應(yīng)；異結(jié)構(gòu)；數(shù)值仿真

混沌系統(tǒng)具有內(nèi)連續(xù)寬譜、對初始值極端敏感性和內(nèi)隨機(jī)性等特點(diǎn),這使其更合應(yīng)用于通信保密領(lǐng)域，而混沌保密通信中的一項(xiàng)非常重要方法是混沌同步.自從1990年，混沌同步原理被Pecora和Carroll[1]兩人首次提出和實(shí)現(xiàn),這為人們通往混沌同步的應(yīng)用之路打開了大門，近年來，研究者們提出了很多混沌同步的方法，如耦合同步、反饋同步、驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步等等[2-5]，但這些方法大都運(yùn)用在低維的混沌系統(tǒng)中，而與低維的混沌系統(tǒng)比較，超混沌系統(tǒng)其動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜，在各領(lǐng)域應(yīng)用更加的廣泛，所以超混沌的同步控制研究意義更為重要.

本文針對文獻(xiàn)[6]中提出的一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，進(jìn)行自適應(yīng)同步和異結(jié)構(gòu)同步研究，對于響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)未知情況，設(shè)計(jì)控制器，給出自適應(yīng)律，使兩系統(tǒng)達(dá)到自適應(yīng)同步，理論和仿真充分的說明了自適應(yīng)同步的科學(xué)性和有效性.同時(shí)對該系統(tǒng)與超混沌chen系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)同步進(jìn)行理論分析，得到當(dāng)控制參數(shù)K越大，兩系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)同步的速度就越快，數(shù)值模擬很好地說明此結(jié)論的正確性.

1 新超混沌系統(tǒng)

在文[6]提出了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)為：

系統(tǒng)（1）中變量為xi（i=1，2，3，4），參數(shù)為a，b，c，d，當(dāng)取a=36，b=3，c=20，m=7.2時(shí)，利用LE工具箱，得到兩個(gè)正的lyapunov指數(shù)，分別為λ1=0.950，λ2=0.242，說明該系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)，吸引子相圖（見圖1）.

圖1 系統(tǒng)吸引子Fig.1 Chaotic attractor of the hyperchaotic system

2 自適應(yīng)同步

2.1 混沌同步[7]

其中 x=(x,x,…,x)T, y=(y,y,…,y)T，

12n12n為狀態(tài)變量，而α=(α1,α2,…,αm)T為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)向量，為響應(yīng)系統(tǒng)向量參數(shù)向量.Aα，Aα′是含參數(shù)α,α′的n×n的矩陣，（fx），（fy）為不含參數(shù)α,α′的n×1矩陣.u=(u1,u2,…,un)T是控制器.

令誤差向量為：e=y-s若設(shè)計(jì)控制器u，取不同初值時(shí)，有，則系統(tǒng)達(dá)到同步.

2.2 設(shè)計(jì)控制器

令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為（1式），響應(yīng)系統(tǒng)為：

（2）式中u為控制器，參數(shù)a，b，c，m為已知，b*為未知.

控制器如下：

自適應(yīng)律為：

定理1 若對于任何初值x（0），f（0），取（3）式為控制器，（4）式為自適應(yīng)律，則可是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）式和響應(yīng)系統(tǒng)（2）式達(dá)到自適應(yīng)同步.

證明 （2）式減去（1）式，得到誤差系統(tǒng)為：

其中ei=yi-x（ii=1，2，3，4）為狀態(tài)變量誤差，為參數(shù)誤差.取lyapunov函數(shù)為：

對函數(shù)兩邊求導(dǎo)得：

帶入（5）式，有

帶入（3）式和（4）式，得

同理可證明e2,e3,e4∈L2，根據(jù)Barbalat引理[8]可得，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）式和響應(yīng)系統(tǒng)（2）式達(dá)到自適應(yīng)同步.

2.3 數(shù)值仿真

利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的同步有效性.取參數(shù)a=36，c=20，m=7.2，未知參數(shù)b=3，取初值

初始值b*（0）=0得到仿真結(jié)果如圖2，由圖2可以推出當(dāng)t接近4秒時(shí)，兩系統(tǒng)達(dá)到同步.

圖2 同步過程結(jié)果圖Fig.2 The diagrams of synchronization process results

3 異結(jié)構(gòu)同步

設(shè)系統(tǒng)（1）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).

響應(yīng)系統(tǒng)為受控超混沌chen系統(tǒng)：

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的矩陣表示：

響應(yīng)系統(tǒng)的矩陣表示：

取控制器

（7）式減去（1）式，得到誤差系統(tǒng)矩陣為：

選取

則有（11）式變?yōu)椋?/p>

即為dei/dt=-kei，可解得ei=ei（0）e-kt，則有t→∞，ei（t）→0即，可推得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和超混沌chen系統(tǒng)（7）異結(jié)構(gòu)同步.

利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行仿真，來驗(yàn)證該同步有效性a=36，b=3，c=20，m=9，a1=35，b1=3，c1=12，d= 7，r=0.5.取參數(shù)取初值x1（0）=1，x2（0）=1，x3（0）=1，x4（0）=1，z1（0）=4，z2（0）=10，z3（0）=6，z4（0）=7時(shí)，誤差系統(tǒng)相圖（見圖3）.

圖3 誤差軌跡圖Fig.3 Trajectory error

4 結(jié)論

本文針對文獻(xiàn)[6]中提出的一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，進(jìn)行自適應(yīng)同步和異結(jié)構(gòu)同步研究，對于響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)未知情況，設(shè)計(jì)控制器，給出自適應(yīng)律，使兩系統(tǒng)達(dá)到自適應(yīng)同步，理論和仿真充分的說明了自適應(yīng)同步的科學(xué)性和有效性.同時(shí)對該系統(tǒng)與超混沌chen系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)同步進(jìn)行理論分析，得到當(dāng)控制參數(shù)K越大，兩系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)同步的速度就越快，數(shù)值模擬很好地說明此結(jié)論的正確性.

[1]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems [J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-824.

[2]Chua L O,Itah M,Kosarev L,et al.Chaos synchronization in Chua’s circuits[J].J Circuita Syst Comput,1993,3(1):93-108.

[3]Chen M,Han Z.Controlling and synchronizing chaotic Genesio system via nonlinear feedback control[J].Choas, Solitons&Fractals,2003,17(4):709-716.

[4]Agiza H N,Yassen M T.Synchronization of Rossler and Chen chaotic dynamical system using active control[J]. Phys Letr A,2001,278(4):191-197.

[5]Chen H K.Global chaos synchronization of new chaotic sys?tem via nonlinearcontrol[J].Choas,Solitons&Fractals,2005, 23(4):1245-1251.

[6]高智中.一個(gè)新的非線性系統(tǒng)及其超混沌控制[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,39(3):303-306.

[7]張若洵,田鋼,栗蘋,等.一類參數(shù)不確定的混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步[J].物理學(xué)報(bào),2008,57（4）:2073-2079.

[8]Wajdi M A,Ahmad M H.On nonlinear control design for autonomous chaotic systems of integer and fractional order [J].Chaos,Solitons and Fractals,2003,18:693-701.

責(zé)任編輯：畢和平

Synchronization of A New Hyperchaotic System

PAN Hong1，LEI Tengfei2
（1.Department of Basic Courses，Shanxi Engineering Vactional College，Taiyuan030024，China；2.School of Control Engineering，XijingUniversity，xi’an710123，China）

The adaptive synchronization in a new hyperchaos system is studied via the effective controller design and an adaptive law.Theoretic analysis and computer simulation illustrate the scientific nature and effectiveness of the adaptive syn?chronization.Based on synchronization analysis with different structure in the system and hyperchaos Chen system,the de?rived conclusion is that the speed of the two systems with different structure of synchronization is faster when the control pa?rameter K is greater.The results of numerical simulation shows its correction of the conclusion.

Hyperchaotic System；Adaptive synchronization；Different structure；Numerical simulation

O 415.5

：A

：1674-4942（2015）01-0005-04

2014-05-16

陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目（2013JK1068）；陜西省科技廳科技攻關(guān)項(xiàng)（2009K08-40）；西京學(xué)院科研基金（XJ130117）