基于變載荷間隔的MSD結構疲勞可靠性研究*

薛小鋒 鄭香偉 馮蘊雯 馮元生

(1.西北工業(yè)大學 航空學院， 中國 西安 710072; 2.中國航空工業(yè)集團公司 第一飛機設計研究院， 陜西 西安 710089)

基于變載荷間隔的MSD結構疲勞可靠性研究*

薛小鋒1鄭香偉2馮蘊雯1馮元生1

(1.西北工業(yè)大學 航空學院， 中國 西安 710072; 2.中國航空工業(yè)集團公司 第一飛機設計研究院， 陜西 西安 710089)

多部位損傷(MSD)會使結構的強度大幅降低，為了防止由此造成的災難性破壞，必須對MSD結構在整個壽命周期內(nèi)的裂紋擴展情況及可靠性水平進行準確評估.文中在假設MSD結構斷裂韌性和應力強度因子服從對數(shù)正態(tài)分布的基礎上，結合應力強度干涉模型和二階窄邊界理論，建立了MSD結構的裂紋擴展可靠性模型；考慮MSD結構多裂紋擴展過程中的兩類影響因素，推導了疲勞載荷作用下的裂紋擴展增量遞推公式；結合變載荷間隔分段處理方法，提出了MSD結構隨載荷循環(huán)次數(shù)變化的失效概率計算方法.通過對一受遠場均勻載荷作用的含共線孔邊裂紋的MSD壁板結構的分析計算，得到了MSD壁板結構失效概率隨疲勞載荷作用次數(shù)的變化趨勢，并將其與試驗值進行比較，較為準確地反映了MSD壁板的失效趨勢.

多部位損傷；裂紋擴展；可靠性；應力強度因子；概率

飛行器結構經(jīng)常會出現(xiàn)一些由多裂紋造成的多部位損傷(MSD)，其中的多裂紋擴展、連通會使結構強度大幅降低[1- 2]，造成低應力水平下結構的突然破壞[3- 4]，引發(fā)安全事故.工程中為了實時了解結構的安全水平及制定合理的檢修周期，必須對MSD結構在其整個壽命周期內(nèi)的裂紋擴展情況及可靠性水平進行準確的評估[5- 6].MSD結構在疲勞載荷作用過程中的可靠性計算主要有兩方面的困難[7- 8]：一是MSD結構中多裂紋的發(fā)生和擴展機理很復雜，導致很難準確得到單次載荷作用下MSD結構的失效概率；二是在整個疲勞壽命期內(nèi)逐步求解每個載荷循環(huán)下MSD結構失效概率的計算量頗為巨大.對于確定性裂紋擴展問題，目前常采用的方法是將應力強度因子求解組合模型、斷裂準則以及多裂紋擴展中的相互影響處理方法(載荷循環(huán)分間隔法)綜合在一起，來完成疲勞裂紋擴展分析[9- 12]；而在裂紋結構疲勞可靠性方面，主要還是針對單裂紋結構來進行分析[13].不同于單裂紋結構，多裂紋相互影響的特性使得按照單裂紋分析方法得到的結果偏于危險[14]，但目前鮮見針對MSD結構的考慮裂紋間相互影響的疲勞可靠性分析[15].

文中以MSD結構的疲勞多裂紋擴展壽命為研究對象，將其視為隨機變量，建立MSD結構的疲勞可靠性模型；針對前述兩方面困難，首先采用結構系統(tǒng)可靠性理論結合二階窄邊界法計算某一載荷循環(huán)下的MSD結構失效概率，然后通過裂紋綜合構型系數(shù)來考慮循環(huán)載荷間隔內(nèi)多裂紋擴展的相互影響，并采用變間隔分段方法來處理大量循環(huán)載荷間隔帶來的計算量，在此基礎上形成一種新的MSD結構疲勞可靠性分析方法.

1 MSD結構的疲勞可靠性分析

1.1 疲勞可靠性模型的建立

隨著疲勞循環(huán)載荷作用次數(shù)的增加，MSD結構的可靠性出現(xiàn)逐漸降低的趨勢，量化該降低趨勢對于實時了解結構的安全水平和制定維修計劃有著重要的意義.對于圖1所示的含有s條裂紋的結構，其破壞是在疲勞載荷作用下由s條裂紋中最大應力強度因子超過材料的斷裂韌性引起相應的裂紋失穩(wěn)擴展所造成的.每條裂紋失穩(wěn)擴展的概率可通過建立應力強度因子與斷裂韌性的干涉模型計算得到.當疲勞載荷作用下的裂紋處于穩(wěn)態(tài)疲勞擴展時，結構中的裂紋擴展量應采用相應材料的裂紋擴展速率曲線及公式進行計算.

圖1 有s條裂紋的MSD結構

MSD結構的疲勞可靠性模型用來研究疲勞載荷作用過程中每次疲勞載荷作用下由多裂紋擴展導致的結構失效概率.假設MSD結構的疲勞壽命為n次，則在第i次疲勞載荷作用下，對于MSD結構中的第p條裂紋，以I型裂紋為例，發(fā)生裂紋擴展的安全邊界方程可以表示為

(1)

圖2 應力強度因子干涉模型

(2)

(3)

結構在受載狀態(tài)下，每條裂紋失穩(wěn)擴展的失效概率可由上述干涉模型計算得到.按照結構系統(tǒng)可靠性理論，此時結構在任意第i次疲勞載荷作用下的失效概率為

(4)

1.2 二階窄邊界法

(5)

該模型只是針對MSD結構受疲勞載荷作用下的一個狀態(tài)進行可靠性分析，如果要應用到MSD結構的整個疲勞壽命分析，還需要考慮多裂紋的相互影響，計算得到每次疲勞載荷間隔內(nèi)各裂紋的擴展長度，然后按照新的裂紋長度計算其應力強度因子及對應的失效概率，最終得到MSD結構的疲勞失效概率曲線.下面將通過變載荷間隔分析方法來計算MSD結構中的裂紋擴展過程，然后進行可靠性分析和計算.

2 基于變載荷間隔方法的MSD結構疲勞壽命計算

2.1 多裂紋擴展量的計算

由Paris公式[16]可知，在第i次疲勞載荷作用下,裂紋兩端的擴展量可表示為

Δli=c(ΔKi)m

(6)

基于上述推導，可知相鄰循環(huán)載荷間隔下的應力強度因子增量為ΔKi=f1if2iΔKi-1，據(jù)此可以對式(6)作進一步的簡化.在某一載荷間隔ΔN內(nèi)，裂紋在第i次循環(huán)載荷作用下的擴展量為

Δli=(f1if2i)mΔli-1，

(7)

(8)

這一替代將使結果偏于保守.其中， f2i可以由近似量f2e代替[17]，則有

(9)

此式可作為一個載荷間隔內(nèi)f2的近似量.

綜上，第n次至第n+ΔN次載荷間隔下的裂紋擴展長度可由下式計算得到：

(10)

當裂紋擴展到不同狀態(tài)時，選取適當?shù)妮d荷間隔，可以使上述替代對最終結果的影響變得很小.

2.2 變載荷間隔方法

MSD結構中多裂紋擴展的相互影響帶來了分析上的復雜性和過大的計算量，若每一次載荷間隔都進行相互影響分析，則計算量太大.以計算結果精度和計算效率合理配置為原則，可采用變載荷間隔方法，即將結構的疲勞循環(huán)載荷進行合理分段，在每個分段中盡量用統(tǒng)一的參數(shù)或方法進行計算，最后將全部分段綜合考慮得到最終的疲勞裂紋擴展壽命.具體方法是：計算出預先劃分好的載荷間隔ΔNi中各條裂紋的擴展量，假定在ΔNi間隔內(nèi)各裂紋的綜合構形系數(shù)F不發(fā)生相互作用，當ΔNi次加載結束后，求出此時各裂紋相應的綜合構形系數(shù)，再對下一個循環(huán)間隔ΔNi+1進行計算，直至滿足最終的破壞條件.變載荷間隔分段考慮了MSD結構中多裂紋之間的相互影響，不同的載荷間隔分段對多裂紋擴展預測的精度和計算效率有很大影響，需要合理配置.對于飛行器MSD壁板結構，裂紋擴展初期的載荷間隔數(shù)可選取得稍大一些，如選取壽命的1%左右的間隔數(shù)；接近裂紋連通或破壞時則選取得稍小一些，如選取壽命的1‰左右的間隔數(shù).

3 MSD結構疲勞可靠性分析算例

為驗證文中提出的MSD結構疲勞可靠性分析方法的合理性和可行性，對一受遠場均勻載荷作用的含共線孔邊多裂紋的MSD試樣進行了擴展壽命可靠性分析，并與試驗結果進行了比較.按照不同裂紋長度，結構形式包括3種類型，如圖3所示，孔邊裂紋長度分別為a1、a2、a3.

圖3 MSD結構的3種裂紋形式

主要計算步驟如下：

步驟1 針對MSD結構的裂紋形式，計算第一次加載開始時各裂紋的初始參數(shù)，包括各裂紋的綜合構形系數(shù)F(a0)和初始裂紋擴展量Δl0，并確定初步的變載荷間隔及對應的f2e.變載荷間隔數(shù)可按剩余韌帶長度選定，韌帶長度為初始長度的70%以上時變載荷間隔取為1 000，韌帶長度為初始長度的40%～70%時變載荷間隔取為100，韌帶長度為初始長度的40%以下時變載荷間隔取為10.

步驟2 按所提工程簡化算法，計算該載荷間隔ΔN內(nèi)的各裂紋擴展長度ΔaΔN，

累加到各裂紋長度后，按照步驟1繼續(xù)計算下一個變載荷間隔的各裂紋擴展長度.

步驟3 當相鄰裂紋連通、裂紋與鄰孔連通或發(fā)生失穩(wěn)擴展時，計算完成，記錄所有間隔數(shù)目及每個間隔中各裂紋的擴展長度，得到該MSD結構的裂紋擴展壽命.

步驟4 計算每條裂紋在各間隔下的實際長度，根據(jù)加載情況計算各裂紋的應力強度因子，并根據(jù)文獻[5]中的應力強度因子變異系數(shù)求解方法得到變異系數(shù).

步驟5 將各裂紋的應力強度因子及其變異系數(shù)、MSD結構的斷裂韌性及其變異系數(shù)代入文中所建立的疲勞可靠性模型中，求解得到MSD結構的失效概率.

表1給出了采用文中方法計算得到的各MSD結構的疲勞多裂紋擴展壽命，并將裂紋擴展壽命與試驗結果進行了對比.

由表1可知，改進后算法的計算精度基本滿足要求.隨著疲勞載荷加載次數(shù)的增加，MSD結構的失效概率逐漸增加，4種構型的MSD結構的失效概率隨循環(huán)載荷次數(shù)的變化情況如圖4所示.可知，在加載的后期，失效概率增加很快，最終達到0.5，即達到MSD結構臨界破壞的狀態(tài)(應力強度因子等于斷裂韌性的狀態(tài)).由MSD1_20和MSD1_40兩種多裂紋配置的疲勞可靠性計算結果可知(分別對應于圖4中的曲線1和4)，裂紋間的韌帶越長，結構的疲勞壽命越長，載荷作用次數(shù)相同時的失效概率越小.

表1 MSD結構裂紋疲勞壽命計算值與試驗值的對比1)

1)a1r、a2r、a3r分別為與裂紋擴展壽命相對應的裂紋尺寸.

圖4 MSD結構失效概率隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化

Fig.4 Failure probability of MSD structure varying with fatigue load cycle

4 結語

在裂紋疲勞擴展過程中，MSD結構的裂紋間存在著明顯的相互影響，難以對其疲勞壽命及可靠性進行準確的定量分析，因此有必要采用一些數(shù)學手段來克服因多裂紋相互影響而造成的MSD結構疲勞壽命及可靠性分析困難.鑒于此，文中根據(jù)MSD結構中多裂紋的擴展特性給出了裂紋擴展過程中裂紋失穩(wěn)擴展的失效概率計算公式，該式需要在各裂紋長度和隨循環(huán)載荷次數(shù)之間關系明確的前提下才能使用.在考慮兩類因素對裂紋擴展速度影響的前提下，推導了多裂紋擴展長度的近似算法，提出了更合理的變載荷間隔分段方法來計算孔邊共線MSD結構的疲勞擴展壽命，所得最終計算值偏于保守.

采用文中方法，可最終得到MSD結構隨疲勞載荷作用次數(shù)增加的失效概率變化情況，進一步可得到給定失效概率下的疲勞載荷作用次數(shù)，即一定可靠度下的MSD結構壽命，從而為MSD結構的檢修周期制定提供依據(jù).后續(xù)將針對變幅載荷作用下MSD結構的疲勞可靠性問題開展研究，使本項研究更具工程實際意義.

[1] Ooi E T,Yang Z J.A hybrid finite element-scaled boundary finite element method for crack propagation modeling [J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2010,199(17/18/19/20):1178- 1192.

[2] Pryl Dobromil,Cervenka Jan,Pukl Radomir,et al.Mate-rial model for finite element modelling of fatigue crack growth in concrete [J].Procedia Engineering,2010,2(1):203- 212.

[3] Stanislav Seitl,Zdenek Knesl.Two parameter fracture mechanics:fatigue crack behavior under mixed mode conditions [J].Engineering Fracture Mechanics,2008,75(3):857- 865.

[4] Wu X R,Xu W.Strip yield crack analysis for multiple site damage in infinite and finite panels—a weight function approach [J].Engineering Fracture Mechanics,2011,78(14):2585- 2596.

[5] 薛小鋒,馮蘊雯,馮元生.基于隨機有限元法的平面多裂紋結構可靠性研究 [J].西北工業(yè)大學學報,2012,30(4):508- 511. Xue Xiao-feng,Feng Yun-wen,Feng Yuan-sheng.Exploring theoretically reliability of multiple-crack structure by applying Taylor stochastic finite element method(TSFEM) [J].Journal of Northwestern Polytechnical University,2012,30(4):508- 511.

[6] Xue X F,Feng Y W,Feng Y S.Residual strength of multiple-site damage structure on aged aircraft using interactions of Dugdale-type cracks and stable tearing [J].Advanced Materials Research,2012,487(1):539- 543.

[7] Yan X Q.Multiple crack fatigue growth modeling by displacement discontinuity method with crack-tip elements [J].Applied Mathematical Modeling,2006,30(6):489- 508.

[8] Adib A M L,Baptista C A R P.An exponential equation of fatigue crack growth in titanium [J].Materials Science and Engineering,2007,452/453:321- 325.

[9] Pidaparti R M V,Palakal M J,Rahman Z A.Simulation of structural integrity predictions for panels with multiple site damage [J].Advances in Engineering Software,2000,31(2):127- 135.

[10] Lucas F M S,Gon?alves J P M,Oliveira F M F,et al.Multiple-site damage in riveted lap-joints:experimental simulation and finite element prediction [J].International Journal of Fatigue,2000,22(4):319- 338.

[11] De Matos P F P,Nowell D.Numerical simulation of plasticity-induced fatigue crack closure with emphasis on the crack growth scheme:2D and 3D analyses [J].Engineering Fracture Mechanics,2008,75(8):2087- 2114.

[12] Labeac G,Diamantakos J,Kermanidis T.Crack link-up for multiple site damage using an energy density approach [J].Theoretical and Applied Fracture Mecha-nics,2005,43(2):233- 243.

[13] Xue Xiaofeng,Feng Yunwen,Ying Zhongwei,et al.Research of plane multiple cracks stress intensity factors based on stochastic finite element method [J].Chinese Journal of Aeronautic,2009,22(3):257- 261.

[14] Chang D,Kotousov A.A strip yield model for two colli-near cracks [J].Engineering Fracture Mechanics,2012,90(8):121- 128.

[15] Edson Denner Leonel,Wilson Sergio Venturini.Multiple random crack propagation using a boundary element formulation [J].Engineering Fracture Mechanics,2011,78(6):1077- 1090.

[16] 劉文珽.KIC實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理 [J].固體力學學報,1981,2(1):92- 98. Liu Wen-ting.Statistical treatment of KIC test data [J].Acta Mechanica Solida Sinica,1981,2(1):92- 98.

[17] 應中偉,馮蘊雯,薛小鋒,等.改進的載荷循環(huán)分間隔法計算工程問題中MSD裂紋擴展問題的研究 [J].航空學報,2008,29(4):898- 902. Ying Zhong-wei,Feng Yun-wen,Xue Xiao-feng,et al.Improved division of cyclic loading method for MSD fatigue crack growth in engineering [J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2008,29(4):898- 902.

[18] Pártl O,Schijve J.Multiple-sit damage in 2024-T3 alloy sheet [J].International Journal of Fatigue,1993,15(4):293- 299.

Investigation into Fatigue Reliability of MSD Structure by Modifiable Division of Cyclic Loading Method

XueXiao-feng1ZhengXiang-wei2FengYun-wen1FengYuan-sheng1

(1.College of Aeronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,Shaanxi,China;2.The First Aircraft Institute,Aviation Industry Corporation of China,Xi’an 710089,Shaanxi,China)

MSD (Multiple Site Damage) can cause the structure strength to degrade, which may lead to a catastrophic failure. In order to avoid the failure, the crack growth and reliability of the MSD structure in its whole life cycle should be exactly evaluated. In this paper, assuming that the fracture toughness and stress intensity factor of the MSD structure follow the lognormal distribution, a multiple-crack propagation reliability model of the MSD structure is constructed by combining the stress-strength interference model and the second boundary theory. In view of two influencing factors related to the crack growth of the MSD structure, a recursion relation of crack growth length under fatigue load is deduced. Then, by drawing on the modifiable division of the cyclic loading method, a calculation method of the failure probability of the MSD structure with changing load cycles is proposed. Finally, by analyzing and calculating a MSD panel with collinear hole-edge cracks under far-field uniform load, the variation trends of the failure probability of the MSD panel with fatigue load cycles are obtained, and the calculation results are compared with the experimental ones. It is found that the proposed method can reflect the failure trends of the MSD panel more accurately.

multiple site damage; crack growth; reliability; stress intensity factor; probability

2014- 04- 18

國家自然科學基金資助項目(10577015) Foundation item: Supported by the National Natural Science Foundation of China(10577015)

薛小鋒(1982-),男,博士,講師,主要從事飛行器結構可靠性分析與設計研究.E-mail: xuexiaofeng@mail.nwpu.edu.cn

1000- 565X(2015)11- 0145- 06

O 346.2

10.3969/j.issn.1000-565X.2015.11.020