多類型動態(tài)廣義出行費(fèi)用隨機(jī)用戶平衡模型＊

李小靜 劉林忠

（蘭州交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院 蘭州 730070）

0 引 言

城市交通網(wǎng)絡(luò)上的路段和路徑的通行能力因各隨機(jī)因素影響不會永久保持它們的設(shè)計(jì)容量值，而是時刻處于一個隨機(jī)的、動態(tài)的環(huán)境中并造成不同程度的下降，最終會導(dǎo)致城市整體或局部交通網(wǎng)絡(luò)的通行能力隨機(jī)動態(tài)降級變化.隨機(jī)因素除了影響路網(wǎng)通行能力外，也會使得交通的OD需求量發(fā)生變化.在這樣的供需不確定環(huán)境下，隨著人們時間價值觀念的加強(qiáng)，行程時間可靠性已經(jīng)成為人們出行中第一或第二位要考慮的因素［1］.Lam［2］經(jīng)過調(diào)查計(jì)算得到行程時間可靠性的價值要明顯高于行程時間的價值.實(shí)際出行中，人們不僅希望減少行程時間，而且更期待提高行程時間可靠性.除了這2個因素外，貨幣費(fèi)用在某些情況下也是一個需要考慮的因素.這3個因素是影響出行者選擇路徑最重要的因素［3］.但是目前的研究多以行程時間及其可靠性為主建立綜合指標(biāo)［4］，而且指標(biāo)多以靜態(tài)來描述，從動態(tài)角度研究的比較少見.

為了更真實(shí)的體現(xiàn)出行者在隨機(jī)路網(wǎng)上的出行行為，建立行程時間、行程時間可靠性和貨幣費(fèi)用的廣義出行費(fèi)用指標(biāo)，并將之動態(tài)化，提出“動態(tài)廣義出行費(fèi)用”，建立隨機(jī)用戶平衡模型.并根據(jù)出行者對路況熟悉程度劃分為多個類型，在不確定條件下研究多類型出行者的路徑選擇行為.

1 符號定義及時間分布

1.1 符號定義

文中的常用符號定義如下.

N，A為交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)集合和路段集合，路段a∈A；W 為OD對集合，OD對ω∈W；Kω為OD對ω間所有路徑集合，路徑k∈Kω；xa，Ca，ˉca為路段a上的交通流量、實(shí)際通行能力和設(shè)計(jì)通行能力，ηa為路段a通行能力最大降級系數(shù)和實(shí)際降級系數(shù)，0＜ˉηa≤1，ηa≥，Ta為路段a的自由流行程時間和實(shí)際行程時間為路段a的行程時間均值和標(biāo)準(zhǔn)差；為OD對ω間路徑k上實(shí)際行程時間為路段路徑關(guān)聯(lián)系數(shù)，如果路段a在路徑k上，其值為1，否則為0；為OD對ω間路徑k上的路徑行程時間均值和標(biāo)準(zhǔn)差；I為不同出行者類型的集合；i為第i類出行者，i∈I.

1.2 時間分布

受交通供需隨機(jī)變化影響，路段和路徑的行程時間均是隨機(jī)變量，下面介紹它們的分布特征.

路段實(shí)際行程時間采用BPR函數(shù)，即

式中：β和n為定值，一般β＝0.15，n＝4.

假設(shè)隨機(jī)變量Ca服從平均分布，其上、下界為和，即Ca～U），并進(jìn)一步假定各路段容量相互獨(dú)立，根據(jù)文獻(xiàn)［5］可得到行程時間均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為

根據(jù)假設(shè)可知各路段行程時間也是相互獨(dú)立的，故路徑行程時間計(jì)算公式為

由概率論中心極限定理，路徑行程時間服從正態(tài)分布，可以表示為

2 動態(tài)廣義出行費(fèi)用

2.1 動態(tài)指標(biāo)

1）動態(tài)行程時間 式（1）可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

根據(jù)對隨機(jī)路網(wǎng)的熟悉程度，將出行者分為多類，第i類出行者的行程時間可表示為

由式（9）可知，xai越大，行程時間越大；ηa越大即實(shí)際通行能力越大時，行程時間越小.故路段行程時間隨路段上的實(shí)際流量以及實(shí)際降級系數(shù)變化而變化.

2）動態(tài)行程時間可靠性 Asakura等［6］定義行程時間可靠性為出行者能夠在規(guī)定的時間內(nèi)順利到達(dá)目的地的概率.故路段、路徑行程時間可靠性R一般表示為

式中：P為概率計(jì)算；X為實(shí)際行程時間；Y為規(guī)定的時間閾值.

假設(shè)路段、路徑行程時間均服從正態(tài)分布，則第i類出行者的行程時間可靠性可以表示為

式中：Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；Yi為第i類出行者規(guī)定的時間閾值；μXi和σXi分別為第i類出行者路段或路徑的行程時間的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.因均值和標(biāo)準(zhǔn)差均受到流量的影響，故此時的行程時間可靠性是因流量而動態(tài)變化的函數(shù).

3）動態(tài)貨幣費(fèi)用 貨幣費(fèi)用也一個重要的出行指標(biāo)，文中基于式（1）得到路段a的貨幣費(fèi)用為

第i類出行者的動態(tài)貨幣費(fèi)用可以表示為

2.2 動態(tài)廣義出行費(fèi)用

出行者希望行程時間越小越好，可靠性越高越好，貨幣費(fèi)用越少越好.這3個目標(biāo)的理想狀態(tài)一般不能同時達(dá)到，可定義廣義出行費(fèi)用為3個指標(biāo)的加權(quán)平均和.

第i類出行者在路段a上的廣義出行費(fèi)用mai可表示為

式中：Tai，Rai和分別為第i類出行者在路段a上的行程時間、行程時間可靠性和貨幣費(fèi)用.φ為時間價值系數(shù)；τ為行程時間可靠性價值系數(shù).ρ1，ρ2，ρ3為權(quán)重系數(shù)且和為1，可體現(xiàn)出行者不同風(fēng)險偏好態(tài)度.

根據(jù)路徑與路段的關(guān)系，第i類出行者在OD對ω間路徑k的廣義出行費(fèi)用可以表示為

3 多類型動態(tài)廣義出行費(fèi)用隨機(jī)用戶平衡模型

3.1 模型的建立

出行者面對隨機(jī)的實(shí)際路網(wǎng)，只能根據(jù)自己的偏好估計(jì)一個最小費(fèi)用出行.本文假設(shè)出行者的路徑選擇標(biāo)準(zhǔn)是估計(jì)的最小動態(tài)廣義出行費(fèi)用，并且估計(jì)廣義費(fèi)用與實(shí)際廣義費(fèi)用之間有一個隨機(jī)誤差，各路徑相互獨(dú)立并服從甘貝爾分布.每類出行者以一定的概率選擇路徑，由離散理論OD對ω間的第i類出行者路徑k被選擇的概率為

式中：θi為第i類出行者對路況的熟悉程度，該值越大表示出行者對路況越熟悉.

各類出行者在隨機(jī)路網(wǎng)上的路徑選擇最后將達(dá)到Logit平衡狀態(tài)，所有已選路徑上的實(shí)際出行費(fèi)用不一定相同，但必須滿足以下平衡條件.

假設(shè)出行者交通需求是具有上限且與期望最小廣義出行費(fèi)用相關(guān)的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，可表示為：

多類型出行者隨機(jī)用戶平衡問題可采用下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.

式（22）～（24）為交通量守恒條件；式（25）為交通量非負(fù)約束.

模型的等價性及惟一性證明可首先構(gòu)造數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的拉格朗日函數(shù)，然后應(yīng)用Kuhn－Tucker一階最優(yōu)性條件證明，具體證明過程可參考文獻(xiàn)［7］.

3.2 模型的求解算法

步驟1 初始化 根據(jù)初始零流求出各類出行者的路段廣義出行費(fèi)用 ｛＝mai（0）｝，然后計(jì)算各類出行者的和.在路網(wǎng)G上隨機(jī)分配各類出行者OD流量，得到路段初始可行流量 ｛｝，令迭代系數(shù)g＝1.

步驟3 方向?qū)ふ?根據(jù)當(dāng)前各類出行者的路徑的廣義出行費(fèi)用 ｛｝，計(jì)算和.依次對在路網(wǎng)G上進(jìn)行隨機(jī)分配，得到各路段的附加交通流量｝.

4 算例分析

4.1 測試網(wǎng)絡(luò)

圖1為一小型測試網(wǎng)絡(luò)，包括一個OD對和3條路段.本文令τ＝1.5，φ＝1，ε＝0.001.假設(shè)有2類出行者，OD流量為qωi＝ˉqωi－1.5Sωi，ˉqωi＝50 veh·min－1，i＝1，2，2類出行者的出行量各占OD流量的50%.θ1＝2，θ2＝1，表明第一類出行者比第二類出行者對路況較熟悉.對路況熟悉的設(shè)置較小的時間閾值，不熟悉的設(shè)置較大的時間閾值：Y1＝15min；Y2＝30min.

圖1 測試網(wǎng)絡(luò)

各路段的屬性見表1.以下如無特別說明，流量的單位均為veh·min－1，時間單位為min，費(fèi)用單位為人民幣.

表1 路段屬性

初始路網(wǎng)條件假定ρ1＝0.3，ρ2＝0.5，ρ3＝0.2，可得到平衡配流結(jié)果.平衡時路段上的流量分別為：x11＝0.334 7，x21＝0.274 0，x31＝19.747 7，x12＝3.721 5，x22＝3.367 3，x32＝13.572 2.循環(huán)次數(shù)g＝82，總需求qω＝41.017 3.

從結(jié)果可知，在初始路網(wǎng)條件下，雖然路段3自由流貨幣費(fèi)用最高，但兩類出行者仍在路段3上分配了較大的流量.這主要是因?yàn)槁范?的自由流行程時間較小，而且實(shí)際通行能力較大可靠性較高，因此路段3具有最低的廣義出行費(fèi)用.x31＞x32，說明由于第一類出行者較熟悉路況，所以流量大于第二類出行者流量.

4.2 參數(shù)靈敏度分析

模型中θi體現(xiàn)不同類型出行者對路況的熟悉程度，指標(biāo)權(quán)重可以體現(xiàn)出行者的不同的風(fēng)險偏好和選擇標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定的時間閾值對行程時間可靠性也有一定的影響.故下面將對這3個參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，來驗(yàn)證出行者路徑選擇行為是否與經(jīng)驗(yàn)相符.

1）路況熟悉程度影響 參數(shù)θ1和θ2取不同值時，計(jì)算結(jié)果見表2.

由表2可知，2類出行者都聚集在自由流時間較短的路段3上.隨著θ1逐漸增大，x31逐漸增加；θ2逐漸增加時，x32逐漸增加；總需求越來越少.說明因?yàn)閰?shù)θ取值增大，出行者越來越熟悉路況，兩類出行者都有更多機(jī)會選擇到費(fèi)用最少的路段3，從而導(dǎo)致OD對之間出行者的期望最小出行費(fèi)用增加和OD需求量減少.

2）權(quán)重影響 指標(biāo)權(quán)重取不同值時的平衡分配結(jié)果見表3.

表2 不同θ時的平衡分配結(jié)果

表3 不同權(quán)重時的平衡分配結(jié)果

由表3可知，當(dāng)ρ1較大時，出行者以行程時間為主要選擇依據(jù).路段3的自由流行程時間最小，故x31和x32最大.ρ2較大時，出行者以行程時間可靠性為主要選擇標(biāo)準(zhǔn).第一類出行者在路段3上分配流量最大，路段1和2稍小，這是因?yàn)槁范?降級后通行能力較大，可靠性較高.第二類出行者對路況不熟悉，綜合考慮認(rèn)為路段1和路段3的廣義出行費(fèi)用較低，故流量稍大.ρ3較大時，出行者主要以貨幣費(fèi)用為路徑選擇標(biāo)準(zhǔn).兩類出行者分配結(jié)果類似，由于路段1自由流貨幣費(fèi)用為0，故x11和x12最大；路段2、3由于費(fèi)用較大，所以流量近似為0.不同權(quán)重分配結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)相符.

3）時間閾值影響 時間閾值取不同值時的平衡分配結(jié)果見表4.

由表4可知，當(dāng)Y1增大時，第一類出行者在路段3上的流量向路段1、2少量轉(zhuǎn)移.說明第一類出行者設(shè)定的閾值增大時，路段的可靠性均有所提高，這時會有少量的出行者放棄路段3而選擇其他路段.當(dāng)Y2減少時，第二類出行者在路段1、2的流量向路段3上少量轉(zhuǎn)移.這是因?yàn)楫?dāng)閾值減少時，可靠性減少，出行者為了提高可靠性繼續(xù)向路段3轉(zhuǎn)移，使x32增大.該結(jié)論與實(shí)際相符合.

表4 不同閾值時的平衡分配結(jié)果

5 結(jié)束語

在降級路網(wǎng)和彈性需求下，采用行程時間、行程時間可靠性和貨幣費(fèi)用的加權(quán)和定義了廣義出行費(fèi)用，并根據(jù)出行者對路網(wǎng)的熟悉程度劃分為多種類型，建立了多類型出行者隨機(jī)用戶平衡模型，并用MSA算法求解，且算例結(jié)果分析均與經(jīng)驗(yàn)相吻合.將規(guī)定的時間閾值考慮為流量的動態(tài)函數(shù)可作為下一步研究的方向.

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