基于PDE 的圖像去噪方法

陳 龍，蔡光程

CHEN Long,CAI Guangcheng

昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，昆明650500

Faculty of Science,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China

1 引言

圖像在各種傳輸路徑和轉(zhuǎn)換過程中會(huì)產(chǎn)生噪聲，而噪聲在很大程度上模糊了圖像的細(xì)節(jié)信息。傳統(tǒng)去噪方法有中值濾波、加權(quán)平均法和高斯濾波等[1]。此類方法強(qiáng)調(diào)濾除高頻成分，而圖像的細(xì)節(jié)如圖像的拐角、流形結(jié)構(gòu)、紋理等也分布在高頻區(qū)域，這必然造成了細(xì)節(jié)特征的模糊，所以急需發(fā)展新的去噪方法。

近年來，基于偏微分方程的圖像處理方法因其具有局部自適應(yīng)性和模型建立的靈活性等特點(diǎn)，在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。非線性擴(kuò)散方程對(duì)應(yīng)于物理學(xué)中動(dòng)力學(xué)所描述的熱擴(kuò)散過程，通過調(diào)整擴(kuò)散系數(shù)來控制擴(kuò)散程度以達(dá)到圖像細(xì)節(jié)特征不被破壞的目的。1990 年，Perona 和Malik[2]提出了保護(hù)邊緣的非線性各向異性擴(kuò)散模型，它對(duì)圖像去噪效果有了很大的改善，但該模型會(huì)產(chǎn)生“塊狀”效應(yīng)以及對(duì)圖像中孤立的強(qiáng)噪聲去除效果并不理想。自蛇模型[3]也是一種非線性濾波方法，它的特點(diǎn)在于與方向擴(kuò)散類似，因此繼承了方向擴(kuò)散沿著平行于邊緣的切線方向進(jìn)行的特性，同時(shí)該模型帶有增強(qiáng)圖像的沖擊濾波器能夠?qū)θピ雸D像起到增強(qiáng)的效果，但也存在去噪結(jié)果不理想的問題。

本文通過分析P-M 擴(kuò)散模型和自蛇模型，考慮到兩種模型各有所長(zhǎng)，遂建立了一個(gè)自蛇模型與P-M 模型的混合模型，使所建模型在圖像的不同區(qū)域根據(jù)圖像的不同特征發(fā)揮兩種模型各自的特性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種對(duì)兩種模型進(jìn)行融合的方法是有效的，達(dá)到了各自優(yōu)勢(shì)的互補(bǔ)，既獲得了較好的去噪效果，又可以較好地保留圖像邊緣等細(xì)節(jié)。

2 偏微分方程去噪模型

2.1 P-M 模型

Perona 和Malik 提出了如下的非線性各向異性擴(kuò)散模型：

其中ut為時(shí)刻t時(shí)的噪聲圖像，?ut為圖像的梯度算子，div 表示散度算子，g(|?ut|) 為擴(kuò)散函數(shù)，通常為非負(fù)的光滑單調(diào)下降函數(shù)，其值表示擴(kuò)散強(qiáng)度。P-M 非線性各向異性擴(kuò)散模型在抑制噪聲和保護(hù)邊緣兩方面取得了較好的效果，但也存在如下問題：（1）對(duì)孤立噪聲點(diǎn)處理不理想；（2）不能較好地保持紋理細(xì)節(jié)特征且會(huì)產(chǎn)生“塊狀”效應(yīng)。

2.2 自蛇模型

自蛇模型是在不含自由參數(shù)測(cè)地線活動(dòng)輪廓模型，簡(jiǎn)稱GAC 模型的基礎(chǔ)上考慮使圖像水平集按GAC 模型運(yùn)動(dòng)而得到的，非線性去噪模型如下：

對(duì)模型式（2）進(jìn)行擴(kuò)散行為分析：

上式右端第一項(xiàng)為擴(kuò)散項(xiàng)，是一個(gè)帶有邊緣停止函數(shù)的方向擴(kuò)散模型，即

其中ξ表示垂直于圖像梯度的單位矢量，由式（4）可知方向擴(kuò)散只沿著圖像邊緣的切線方向進(jìn)行擴(kuò)散，而沿梯度方向沒有任何擴(kuò)散，雖能保持圖像邊緣的銳度，但是會(huì)在圖像的光滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)，所以需要適當(dāng)?shù)脑趫D像的梯度方向加入擴(kuò)散項(xiàng)。第二項(xiàng)為為沖擊項(xiàng)，它具有增強(qiáng)邊緣的作用。綜上可知自蛇模型在實(shí)際的去噪過程中存在去噪不干凈的問題[4-5]。

3 混合去噪模型

P-M 模型利用與梯度成反比的函數(shù)為擴(kuò)散系數(shù)，根據(jù)圖像不同區(qū)域的梯度模值來控制擴(kuò)散系數(shù)的大小，但在處理細(xì)節(jié)信息時(shí)擴(kuò)散模糊了邊緣。而自蛇模型具有方向擴(kuò)散的性質(zhì)同時(shí)帶有邊緣停止函數(shù)和沖擊濾波器可以更好地保持邊緣的銳度。因此，本文融合上述兩種模型的優(yōu)點(diǎn)把它們進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)為了保留圖像中更多的紋理細(xì)節(jié)增加了忠誠項(xiàng)[6-8]，建立的混合模型如下：

式中，α∈[0，1]且β=1-α是控制參數(shù)，α是以梯度|?u|為變量的減函數(shù)，β是以梯度|?u|為變量的增函數(shù)，λ是忠誠項(xiàng)控制參數(shù)，其用于控制平滑程度。把P-M 模型與自蛇模型有機(jī)的結(jié)合，根據(jù)圖像不同區(qū)域的特征發(fā)揮兩種模型各自優(yōu)勢(shì)比單一的模型顧此失彼要好很多。

3.1 模型分析

對(duì)于去噪模型而言，既能使去噪后的圖像保持原有邊緣信息，又能很好地消除噪聲是最好的。因此需要清楚地知道模型在擴(kuò)散過程中沿各個(gè)方向擴(kuò)散時(shí)的控制因素，下面對(duì)上述混合模型的擴(kuò)散項(xiàng)進(jìn)行分析。

式中η是梯度方向的單位向量，ξ是垂直于梯度方向的單位向量，且

令邊緣停止函數(shù)以及控制參數(shù)分別為：

其中k為梯度閾值它的選取參照Canny 算子提取邊緣的高閾值，把它們帶入式（6）得：

式（7）中邊緣方向擴(kuò)散系數(shù)H(|?u|)為：

梯度方向擴(kuò)散系數(shù)G(|?u|)為：

根據(jù)式（7）分析整個(gè)擴(kuò)散過程中在圖像不同區(qū)域的擴(kuò)散行為，首先希望在圖像的邊緣區(qū)域，即梯度模值|?u|較大的區(qū)域，沿邊緣方向擴(kuò)散系數(shù)盡可能的大以保證消除邊緣附近的噪聲，即擴(kuò)散系數(shù)H滿足大于零的常數(shù)，而垂直邊緣的方向希望擴(kuò)散系數(shù)盡可能的小，當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)有助于邊緣的銳化[9-12]，而擴(kuò)散系數(shù)G亦滿足這一要求；其次在圖像的漸變區(qū)域，即|?u|較小的區(qū)域，希望沿邊緣方向擴(kuò)散系數(shù)較大，而沿梯度方向的擴(kuò)散以能保護(hù)紋理細(xì)節(jié)為最好，即H(|?u|)≈1，G(|?u|)?1。

3.2 模型的離散化

利用有限差分法對(duì)模型（5）進(jìn)行求解，采用如下“半點(diǎn)離散化”方案迭代實(shí)現(xiàn)，設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為Δt，空間步長(zhǎng)均為1。

式中每一項(xiàng)可用u和g在整點(diǎn)處的值近似表示，如

由于mi，j=div(g?u|?u|)i，j可能為正，也可能為負(fù)，故采用迎風(fēng)格式。而P-M 模型的離散格式與此相仿，使用AOS 策略[13-14]實(shí)現(xiàn)，最后獲得的顯示迭代格式為：

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文選取Lena 圖像和簡(jiǎn)單圖像作為測(cè)試圖像，分別用P-M 模型、自蛇模型、文獻(xiàn)[15]方法以及本文的混合模型進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1、圖2 所示。去噪后的圖像使用峰值信噪比和信噪比進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，如表1、2 所示。（lena 圖像高斯噪聲方差為0.008，簡(jiǎn)單圖像椒鹽噪聲強(qiáng)度為0.3，k取10，λ取0.1）。

圖1 為幾種去噪方法對(duì)含有高斯噪聲圖像去噪的效果比較，（a）為原始圖像，（b）為噪聲圖像，（c）為P-M模型的去噪效果，可以看出P-M 模型模糊了圖像微小細(xì)節(jié)去噪效果不理想；（d）為自蛇模型的去噪效果，由表1的性能參數(shù)可以看出自蛇模型的去噪效果優(yōu)于P-M 模型，且能快速得到較高的峰值信噪比，而峰值信噪比至少能提高1 dB，但從圖像可以看出圖像細(xì)節(jié)不夠清晰；（e）為文獻(xiàn)[15]中提出的方向擴(kuò)散模型與四階PDE 相結(jié)合的混合模型的去噪效果，發(fā)現(xiàn)圖像中有噪聲斑塊（如額頭、帽沿）；（f）為本文方法的去噪效果，在對(duì)噪聲得到很好抑制的同時(shí)，也保留了圖像的細(xì)節(jié)且沒有出現(xiàn)斑塊現(xiàn)象。由表1 的性能比較也反映出本文方法對(duì)圖像進(jìn)行噪聲抑制后的效果優(yōu)于其他模型。

圖1 不同方法對(duì)lena圖像高斯噪聲去噪比較

表1 針對(duì)高斯噪聲的各種模型性能比較 dB

從圖2（c）可以看出P-M 模型對(duì)于椒鹽噪聲的去除并不是有效的，平滑圖像中存有大量噪聲，而表2 的性能參數(shù)偏低也反映出去噪效果不理想；從圖2（d）可以看出自蛇模型能夠去除椒鹽噪聲，但是隨著擴(kuò)散圖像中的邊緣部分出現(xiàn)了模糊和失真；從圖2（e）看出采用文獻(xiàn)[15]中的混合模型對(duì)椒鹽噪聲的去除能力很強(qiáng)，但圖像邊緣同樣存在失真的情況。從表2 的性能參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，本文方法的信噪比和峰值信噪比優(yōu)于P-M 模型和自蛇模型而低于文獻(xiàn)[7]的方法，但是信噪比只從一個(gè)側(cè)面反映了處理結(jié)果的優(yōu)劣，從圖2（f）效果看，本文方法顯然優(yōu)于文獻(xiàn)[7]的方法，在有效去除椒鹽噪聲的同時(shí)，很好的保持了圖像邊緣的銳度且忠實(shí)于原圖像。

表2 針對(duì)椒鹽噪聲的各種模型性能比較 dB

圖2 不同方法對(duì)簡(jiǎn)單圖像椒鹽噪聲去噪比較

5 結(jié)語

本文提出了基于P-M 模型和自蛇模型混合的圖像去噪方法，該模型克服了P-M 模型在去除高斯噪聲的同時(shí)損失圖像邊緣信息以及對(duì)椒鹽噪聲去除能力較差的缺點(diǎn)，同時(shí)彌補(bǔ)了自蛇模型的不足。最后的實(shí)驗(yàn)比較結(jié)果表明，本文方法既能有效去除噪聲又能較好的保持圖像的形狀，同時(shí)提高了圖像的視覺效果。

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