奇異期權的非參數(shù)定價方法研究

馮 玲 賀靖軒 何宇杰

(1.福州大學經濟與管理學院，福建福州 350116;2.廈門大學國際學院，福建廈門 361100)

一、引言

2015年 2月 9日，上證 50ETF 期權正式上市交易，意味著我國衍生品市場進入一個嶄新的階段。由于股票交易的賣空限制、交易成本以及資產不完全流動性等因素的存在，現(xiàn)實的金融市場是不完全的，因此基于完全市場假設的傳統(tǒng)的期權定價方法不能完全適用，而不完全市場中期權定價的參數(shù)難以度量。于是，越來越多的學者從非參數(shù)角度研究期權定價。

盡管對期權的非參數(shù)定價方法的研究并不少，但絕大多數(shù)都是從期權的歷史交易價格出發(fā)來為新期權定價。由于市場的不完全性，如果期權的歷史交易價格不可靠或者很難得到，僅僅依靠期權價格來為新期權定價的非參數(shù)方法容易產生定價偏差。Stutzer 提出了正則定價方法，也屬于非參數(shù)期權定價方法的一種，但它不再嚴格需要使用期權的交易價格來為新的期權定價，而是直接從標的資產的歷史收益數(shù)據(jù)出發(fā)估計新期權的價格。Stuzer 使用該方法對標準普爾500 指數(shù)期權進行定價，正則方法估計的期權價格與使用歷史波動率的Black－Scholes 定價方法計算的價格很接近。［1］Stutzer 和 Chowdhury 通過對芝加哥期貨交易所交易的債券期貨期權的實證研究，進一步驗證了該方法良好的定價效果。［2］Foster 和Whiteman 就修正的正則定價法展開了討論。他們分別對債券期貨期權和在芝加哥期貨交易所交易的大豆期貨期權進行了實證分析，結果表明，正則方法均顯示了良好的定價效果。［3］［4］

Alcock 和 Carmichamel 將 Stuzer 的經典正則方法與 Longstaff 和 Schwartz 的最小二乘法相結合，提出了加權最小二乘法來為美式期權定價，數(shù)值模擬結果顯示，該方法無論在常數(shù)波動率還是隨機波動率情況下，都取得了良好的定價效果和較小的定價偏差。［5］［6］Liu 和 Guo 用正則方法計算出了最優(yōu)風險中性概率測度，用此概率構造隱含二叉樹，應用該樹形結構成功地為美式期權定價，在數(shù)值實驗和實證分析中，該方法都顯示了優(yōu)于Black－ Scholes 模型和經典二叉樹方法的定價效果。［7］

Gray、Edwards 和 Kalotay 在利用正則方法對歐式期權定價時，加入了一個交易期權的價格信息，構建了受約束的正則定價方法，通過實證研究表明無約束的正則定價方法并沒有比 Black－Scholes 定價模型的表現(xiàn)更好，而加了少數(shù)期權價格作為約束條件的正則定價方法，明顯減少了平均定價誤差。［8］Alcock 和 Auerswald 通過對美式期權的實證研究，證明了加入前一日歐式看漲期權的價格信息能提高定價效果。［9］為了進一步檢驗受約束正則方法的有效性，Alcock 和Smith 以大量的標準普爾100 指數(shù)交易數(shù)據(jù)為樣本，證明了“隱含波動率微笑”和期限結構的存在，當我們使用有期權價格信息約束的正則定價方法時，定價效果超過了使用隱含波動率的Black－Scholes 模型，而且比無約束的正則定價方法顯示出更高的定價精度。［10］

綜上所述，受約束的非參數(shù)正則定價方法，在為期權定價時明顯減少了定價偏差，提高了定價精度，但國外學者的研究基本都局限在歐式和美式期權的定價上。本文擬將非參數(shù)正則方法拓展到為路徑依賴的奇異期權定價，并在計算風險中性概率時，加入約束條件以提高定價精度，最終得到路徑依賴型奇異期權的定價公式。

二、奇異期權的受約束正則方法

本文從期權標的資產的歷史交易價格出發(fā)，計算出歷史收益數(shù)據(jù)，得到真實世界的概率分布。通過最小叉熵原理，將真實概率分布轉換為風險中性概率分布，并加入期權價格信息作為約束條件，以提高計算精度。最后，結合路徑依賴型奇異期權的具體收益形式，得到期權的定價公式。

(一)標的資產的歷史收益

采用離散時間定價方法時，對標的資產價格的觀測頻率是影響定價精度的一個重要因素。用t 表示當前時刻，T 表示期權到期時刻，將期權期限T－t 分為N 個時間間隔，用tj表示觀測時刻，?j=1，2，…，N?？疾霱 條股票價格路徑，則每一條都由(N+1)個價格元素組成，即當前時刻的價格St和在N個觀測時刻的價格

所以，標的資產的價格和收益率相應地由下式表示:

本文假設這M 條股票價格路徑在真實世界中是服從均勻分布的。用表示經驗分布函數(shù)，是真實分布π 的一個逼近。

(二)風險中性概率

正則定價方法的核心是將真實世界的概率測度轉換為風險中性概率測度。所求的風險中性概率π*(i)，?i=1，2，…，M必須滿足等價鞅測度的性質:

這里，r 為無風險利率。真實的市場是不完全的，可能存在多個符合條件的風險中性概率測度。因此，找出其中最優(yōu)的風險中性概率測度是本方法的關鍵所在。根據(jù)最小叉熵原理，最優(yōu)風險中性概率測度就是在滿足已知條件下，最靠近真實概率(i)的概率測度，可以通過求最小Kullback－Leibler 距離來得到:

(三)約束條件

期權價格中隱含了為新期權定價所需要考慮的價格敏感因素，如果期權的價格是可靠且可得的，無疑是對新期權定價最有用的信息。因此，一種包含期權價格信息，又不僅僅依賴期權價格的非參數(shù)定價方法成為了學者們的研究方向。Gray和 Newman (2005)，Gray、Edwards 和 Kalotay(2007)、Alcock 和 Auerswald(2008)等學者的研究表明，如果同標的相應期權是被準確定價的，將其價格作為約束條件，加入到新期權的定價中，可以提高定價精度。

本文在為奇異期權定價時，加入相同標的的歐式期權價格和美式期權價格作為約束條件，排除相應的奇異期權價格是為了防止循環(huán)計算。以無股息股票為標的資產的美式看漲期權，其價格與相同標的的歐式看漲期權相同。又因為歐式看跌期權和美式看跌期權的價格中，所隱含的市場信息相似，為簡化分析，選擇其中一種作為約束。

所以，本文在為路徑依賴型奇異期權定價時，考慮加入歐式看漲期權價格、美式看跌期權價格，以及同時加入這兩種期權作為約束條件。為得到準確定價的同標的約束期權的價格，本文采用Black－Scholes 模型計算歐式看漲期權價格Cobs，采用二叉樹方法得到美式看跌期權價格Pobs。

加入約束條件后的最優(yōu)風險中性概率測度可以通過求解下式得到:

求解公式(5)的拉格朗日函數(shù)為:

上述最優(yōu)化問題的解γ*，在無約束條件下是一個M 維的列向量;當加入一個約束期權作為約束條件時，則變?yōu)镸 行兩列的矩陣γ*={γ1，γ2};當同時加入歐式和美式約束期權時，是一個M 行三列的矩陣，γ*={γ1，γ2，γ3}。

(四)奇異期權價格

目前，路徑依賴型奇異期權主要有三類:亞式期權、回望期權和障礙期權。本文將通過對幾何平均亞式看漲期權(A)、固定回望看跌期權(L)和下跌敲出看漲期權(B)的定價研究，來說明正則方法對路徑依賴奇異期權的定價效果。

根據(jù)前文推導，通過公式(11)得到了與每條股票價格路徑相對應的風險中性概率，將其與奇異期權在相應路徑上的貼現(xiàn)收益相乘，即可得到對期權價格的一個估計:

三、數(shù)值實驗

(一)模擬標的資產價格

正則方法直接從標的資產的歷史收益數(shù)據(jù)出發(fā)為期權定價，所以在進行數(shù)值實驗時，首先需要模擬標的資產的“歷史交易價格”，從而得到收益率數(shù)據(jù)。

在模擬股票價格路徑時，假定市場是無摩擦的，標的股票不產生股息和紅利，并且利率是常數(shù)。將每一個交易日作為時間間隔，每天觀測一次標的資產的價格，即dt=1/250年。數(shù)值實驗的具體參數(shù)設定如下:(1)期權的到期期限T=0.1年、0.3年、0.5年 和 1年;(2)時 間 間 隔dt=1/250，因此，觀測頻率 N=T/dt(取整數(shù));(3)模擬產生 500 條股票價格樣本路徑，即M=500;(4)無風險利率 r=6%;(5)漂移率μ=10%，波動率σ=20%;(6)當前時刻即在t=0時，股票的價格S0=40 元;(7)障礙期權的障礙水平H=35。

假設股票價格遵循幾何布朗運動，則

用Matlab 模擬出500 條股票價格路徑，從而得到股票的“歷史交易價格”。這里選擇其中10條來說明股票價格服從幾何布朗運動下的走勢情況(見圖1)。

圖1 標的資產價格路徑

得到標的資產在期權期限內的價格后，根據(jù)公式(1)得到標的資產的歷史收益率R(i)tj。這里任意選取3 條模擬路徑，來說明標的資產的價格和收益情況，如表1所示:

表1 標的資產價格及收益率

(二)受約束正則方法求奇異期權估計值

分別以歐式看漲期權、美式看跌期權，以及同時加入歐式看漲和美式看跌期權作為約束條件，來計算風險中性概率，從而求得奇異期權價格的估計值。

以歐式看漲期權作為約束條件時，拉格朗日乘子 γ*={γ1，γ2}，是一個 500* 2 的矩陣，行數(shù)等于標的資產的路徑條數(shù)M，矩陣的列分別與標的資產和約束期權相對應，γ1和γ2是兩個相互獨立的M 維列向量:

例如，當 T=0.5，X/S0=0.9 時，

根據(jù)公式(13)，即可得到為奇異期權定價所需的最優(yōu)風險中性測度，它是一個M 維的列向量，每一個元素與每一條標的資產價格路徑相對應，即賦予每一條價格路徑一個風險中性概率:

以美式看跌期權為約束時，計算過程類似上述所示。

同時加入歐式和美式約束期權時，風險中性概率表示為:

其中:

此時，用來得到最優(yōu)風險中性概率測度π^ * 的拉格朗日乘數(shù) γ*={γ1，γ2，γ3}是一個 M 行 3 列的矩陣，γ1、γ2和 γ3都是 M 維的列向量。

應用Matlab 編程，即可得到各種約束條件和無約束條件下，奇異期權價格的估計值。

四、定價效果分析

蒙特卡羅模擬方法在為路徑依賴的奇異期權定價時，相比其他數(shù)值方法，具有更大的有效性和更高的彈性。只要模擬次數(shù)足夠多，能夠得到穩(wěn)定、理想的定價結果。本文將蒙特卡羅模擬方法得到的路徑依賴奇異期權的價格作為理論值，來驗證受約束正則方法的定價效果。對每個期權進行100000 次模擬，為保證模擬結果的穩(wěn)定性，每一個期權價格都是重復3 次后得到的平均值。將正則方法計算得到的期權價格作為估計值，蒙特卡羅模擬得到期權價格作為理論值。如果本文的定價方法可行，至少應取得與蒙特卡羅模擬近似的定價結果。

期權到期期限 T 分別為 0.1、0.3、0.5 和 1年，期權價值狀態(tài) X/S0 分別等于 0.8、0.9、1 和1.1，考察在不同到期期限和價值狀態(tài)下，受約束正則方法的定價效果。用A 表示幾何平均亞式看漲期權，L 表示固定回望看跌期權，B 表示下跌敲出看漲期權。用 UCAN 表示無約束正則方法，CCANC 表示以歐式看漲期權為約束的正則方法，CCANP 表示以美式看跌期權為約束的正則方法，CCANC ＆ P 表示同時以歐式看漲和美式看跌期權為約束的正則方法。表2顯示了正則方法得到的估計值與蒙特卡羅模擬得到的理論值之間的百分比誤差。

表2 奇異期權的定價誤差(%)

續(xù)表2

從總體來看，奇異期權價格的理論值和估計值之間的百分比誤差較小，尤其是對價內、平價的亞式期權和回望期權，擬合效果非常好?？梢姡谜齽t方法為路徑依賴的奇異期權定價是可行的。

進一步分析，對于幾何平均亞式看漲期權而言，CCANC ＆ P 的定價誤差最小，其次是 CCANC，CCANP 并沒有顯示比UCAN 更優(yōu)的定價效果;觀察固定回望看跌期權，隨著期權價值狀態(tài)從虛值到平值再到實值的變化，定價誤差逐漸減小，進一步說明正則方法對價內期權顯示更優(yōu)的定價效果，且 CCANC ＆ P 對理論值的擬合效果最好，而CCANC 和CCANP 的定價效果差異不大;對障礙期權而言，定價誤差略大于前兩類奇異期權，CCANC ＆ P 的擬合效果最好。對三類路徑依賴奇異期權的定價效果分析可以得到，加入約束條件后，定價誤差縮小。可見，在正則方法中加入同標的期權作為約束，可以有效提高定價精度。而加了兩種約束期權價格的方法定價效果最好，這也在預料之中。

用正則方法估計奇異期權價格存在某些方面的不足，當期權價外很多，價格很小時，正則方法不夠敏感，定價效果不理想。這也可能涉及本文在進行數(shù)值實驗時的定價精度問題，進一步增加模擬次數(shù)M，增加觀測頻率N，可以在一定程度上提高定價精度。

經過比較分析，用正則方法對路徑依賴的奇異期權定價是可行的，取得了與蒙特卡羅模擬近似的定價結果，尤其對實值期權的定價效果最好。而受約束正則方法的定價效果優(yōu)于無約束正則方法，尤其是加了歐式看漲和美式看跌兩類約束期權的正則方法，對理論值的擬合效果最好?？梢?，在傳統(tǒng)正則方法上，加入準確定價的同標的期權價格作為約束，可以有效提高定價精度。

五、結論

本文的研究，為路徑依賴型奇異期權的定價提供了一種可行的選擇。受約束正則方法是一種非參數(shù)期權定價方法，不需要提前作關于波動率、收益分布情況等方面的假設，直接從期權標的資產的歷史交易價格中得到定價所需的數(shù)據(jù)，在市場不完全特征明顯的情況下可用于為新期權定價，且該方法定價過程在邏輯上很清晰，容易通過編程實現(xiàn)。

進一步的研究，可以考慮將標的資產的流動性指標、市場限制條件等其它期權價格敏感因素作為約束條件，加入到風險中性概率的計算中，考察其對定價效果的影響;也可以通過在數(shù)值實驗中進一步放寬假設條件，在更接近現(xiàn)實市場的情況下進行研究。本文在常數(shù)波動率和常數(shù)利率的環(huán)境下進行實驗，且采用擴散模型來模擬股票價格路徑，證明了該方法為奇異期權定價的可行性。進一步的研究，可嘗試使用隨機過程來刻畫波動率和利率，使用跳－擴散模型來模擬股票價格，以更符合實際市場的動態(tài)情況，從而進一步考察該非參數(shù)方法的適用性。

注釋:

［1］Stutzer，M.，“A simple nonparametric approach to derivative security valuation”，Journal of Finance，vol.51(1996)，pp.1633－1652.

［2］Stutzer，M.，Chowdhury，M.，“A simple nonparametric approach to bond futures option pricing”，Journal of Fixed Income，vol.8(1999)，pp.67－75.

［3］Foster，F(xiàn).D.，Whiteman，C.H.，“An application of Bayesian option pricing to the soybean market”，American Journal of Agricultural Economics，vol.81(1999)，pp.722－ 728.

［4］Foster，F(xiàn).D.，Whiteman，C.H.，“Bayesian prediction，entropy，and option pricing”，Australian Journal of Management，vol.31(2006)，pp.181－206.

［5］Alcock，J.，Carmichael，T.，“Nonparametric American option pricing”，Journal of Futures Markets，vol.28(2008)，pp.717－748.

［6］Longstaff，F(xiàn).，Schwart，E.，“Valuing American options by simulation:A simple least－ squares approach”，Review of Financial Srudes，vol.14(2001)，pp.113－147.

［7］Liu，Q.，Guo，S.，“Canonical distribution，Implied Binominal Tree，and the pricing of American Options”，Journal of Futures Markets，vol.33(2013)，pp.183－198.

［8］Gray，P.，Edwards，S.，Kalotay，E.，“Canonical valuation of options in the presence of stochastic volatility”，Journal of Futures Markets，vol.25(2007)，pp.1－19.

［9］Alcock，J.，Auerswald，D.，“Empirical tests of canonical nonparametrc American option－ pricing methods”，Journal of Futures Markets，vol.30(2010)，pp.509－532.

［10］Alcock，J.，Smith，G.，“Testing alternative measure changes in nonparametric pricing and hedging of European options”，Journal of Futures Markets，vol.34(2013)，pp.320－345.