新型轉動慣量實驗裝置的研制與應用

劉 五 祥

(同濟大學 航空航天與力學學院， 上海 200092)

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新型轉動慣量實驗裝置的研制與應用

劉 五 祥

(同濟大學 航空航天與力學學院， 上海 200092)

介紹了一種新型轉動慣量實驗裝置的工作原理、性能和實驗結果。該實驗裝置由轉動慣量實驗儀、霍爾感應器和多功能計時計數(shù)毫秒儀組成。應用霍爾傳感器結合多功能計時計數(shù)毫秒儀自動記錄剛體在一定轉動力矩作用下，轉過π角位移時刻，測定剛體轉動時的角加速度和剛體的轉動慣量。與原有測量裝置相比，可消除較大部分系統(tǒng)誤差和偶然誤差，使數(shù)據(jù)接近真值、測量方便、重復性好、節(jié)省時間、效率高。實驗結果也表明，所研制的實驗裝置具有較好的實驗性和可靠性。

轉動慣量； 霍爾感應器； 多功能計時計數(shù)毫秒儀； 剛體

0 引 言

剛體的轉動慣量是日常生活和工程問題中普遍存在的一個問題，所涉及的相關因素也較多(如物體材質、質量分布、繞軸運動等等)。因此，在理論力學的課程學習中，轉動慣量是個比較抽象而又難于理解的內容[1-2]。正確測定物體的轉動慣量對于了解物體轉動規(guī)律、機械設計制造有著非常重要的意義。然而在實際工程中，大多數(shù)物體的幾何形狀都不是規(guī)則的，難以直接用理論公式算出其轉動慣量，只能借助于實驗方法來實現(xiàn)。因此，在工程技術中，用實驗的方法來測量物體的轉動慣量就十分重要了。于華等[3]利用轉動慣量實驗儀和電腦計時、計速儀來測量數(shù)據(jù)，用轉動定律和平行移動軸定理推導新的線性方程，再用方程中的自變量和變量關系進行畫圖，成一條斜直線，從而間接地驗證了轉動定律和平行移軸定理成立，計算出轉動慣量的大小。劉偉[4]通過實驗測得質量(m)和時間(t)，作m-l/t2的曲線圖，得到一直線，則由實驗結果證明轉動定律成立，且可由斜率求得轉動慣量。鄧鋰強[5]利用實驗室現(xiàn)有儀器，對剛體轉動慣量實驗儀進行改裝，并提出新的實驗原理，可以對阻力矩進行修正，并利用該實驗裝置測量剛體轉動慣量。萬志龍[6]以三線擺測量剛體轉動慣量實驗為例系統(tǒng)地討論了不確定度，并給出了計算方法；分析了不確定的來源，并提出了改進措施。張勇等[7]利用剛體繞定軸轉動的動能定理，在建立了單軸氣浮臺繞定軸轉動的轉動慣量與時間關系的基礎上，提出了一種基于單軸氣浮臺利用能量衰減測量物體轉動慣量的新方法。通過理論推導得出了測量物體轉動慣量的實驗計算式，并進行了實驗驗證。李化義等[8]研究了扭振法轉動慣量測量儀,其不需要測量幅值,根據(jù)振蕩周期就能給出高精度的轉動慣量計算結果，介紹了它的工作原理,并且詳細分析了測量系統(tǒng)的誤差,給出了相鄰周期誤差的估計公式。李剛常等[9]分析了三線擺扭振系統(tǒng)質心偏移對轉動慣量測試的影響,給出了扭振系統(tǒng)質心與三線擺中心軸對齊的判別準則和用三線擺測定物體對非質心軸轉動慣量的工程實用方法。龐學霞等[10]在用恒力矩轉動法測量剛體轉動慣量的實驗中,分析了細線直徑對剛體所受恒力矩的影響,并給出了實驗誤差允許的細線直徑范圍。劉巍等[11]針對空氣阻力以及機構阻力對于轉動慣量測量精度的影響,結合雙目視覺與復擺運動理論,提出一種基于雙目視覺理論的轉動慣量測量方法。畢江林等[12]研究了三線擺法測量剛體轉動慣量的誤差影響因素并對誤差的來源和原因進行了分析，在此基礎上對實驗操作提出了一些改進的方法，以提高實驗的精度。歐陽錫城[13]以剛體轉動慣量的測量實驗為例，比較3種常見的數(shù)據(jù)處理方法的優(yōu)缺點，為相關人員選擇最佳的實驗數(shù)據(jù)處理方法提供借鑒。劉超等[14]通過對慣性積張量及各分量的測量進行討論,對扭擺法測轉動慣量的測量誤差進行了評估。唐軍杰等[15]給出了一個變轉動慣量剛體模型，用數(shù)值方法研究了在恒力矩作用下變轉動慣量剛體的定軸轉動問題。

本文介紹的剛體轉動慣量實驗儀，應用霍爾開關傳感器結合計時計數(shù)多功能毫秒儀自動記錄剛體在一定轉矩作用下，轉過π角位移的時刻，測定剛體轉動時的角加速度和剛體的轉動慣量。

1 實驗裝置設計

1.1 實驗裝置結構

實驗裝置如圖1所示。

1.2 實驗裝置工作原理

(1) 轉動力矩、轉動慣量和角加速度的關系。整個系統(tǒng)以及砝碼的受力如圖2所示，系統(tǒng)在外力矩作用下的運動方程為：

(1)

由牛頓第二定律，可知砝碼下落時的運動方程為：

mg-T=ma

即繩子的張力，

砝碼與系統(tǒng)脫離后的運動方程：

Mμ=Jβ1

(2)

1-滑輪,2-滑輪高度和方向調節(jié)組件,3-掛線,4-鋁質圓盤形載物臺,5-加力矩砝碼,6-塔輪上的繞線,7-繞線塔輪組,8-磁鋼，相對霍爾開關傳感器時，傳感器輸出低電平,9-霍爾開關傳感器，紅線接毫秒儀+5V接線柱，黑線接GND接線柱，黃線接INPUT接線柱,10-傳感器固定架，裝有磁鋼，可任意放置于鐵質底盤上,11-實驗樣品水平調節(jié)旋鈕,12-毫秒儀次數(shù)預置拔碼開關，可預設1～64次,13-次數(shù)顯示，00為開始計數(shù)、計時,14-時間顯示，與次數(shù)相對應，時間為開始計時的累計時間,15-計時結束后，次數(shù)+1查閱鍵，查閱對應次數(shù)的時間,16-毫秒儀復位鍵，測量前和重新測量時可按該鍵,17-+5V電源接線柱,18-電源GND(地)接線柱,19-INPUT輸入接線柱, 20-輸入低電平指示,21-計時結束后，次數(shù)-1查閱鍵，查閱對應次數(shù)的時間

圖1 實驗裝置結構圖

圖2 受力分析圖

由方程(1)和(2)可得：

(3)

(2) 角速度的測量。

(4)

若在t1、t2時刻測得角位移θ1、θ2，則：

(5)

(6)

所以，由方程(5)和(6)可得：

(7)

(3) 轉動慣量J的理論公式。

① 設圓形試件，質量均勻分布，總質量為M，其對中心軸的轉動慣量為J，外徑為D1，內徑為D2，則：

(8)

② 平行軸定理。設轉動體系的轉動慣量為J0，當有M1的部分質量原理轉軸平行移動d的距離后，則體系的轉動慣量為：

(9)

2 實驗步驟

2.1 實驗準備

在桌面上放置IM-2轉動慣量實驗儀，利用基座上的3顆調平螺釘將儀器調平。將滑輪支架固定在實驗臺面邊緣，調整滑輪高度及方位，使滑輪槽與選取的繞線塔輪槽等高，且其方位相互垂直。通用電腦計時器上光電門的開關應接通，另一路斷開作備用。當用于本實驗時，建議設置1個光電脈沖記數(shù)1次，1次測量記錄約20組數(shù)。

2.2 測量并計算實驗臺的轉動慣量

(1) 放置儀器，滑輪置于實驗臺外3～4 cm處，調節(jié)儀器水平。設置毫秒儀計數(shù)次數(shù)。

(2) 連接傳感器與計數(shù)計時毫秒儀，調節(jié)霍爾開關與磁鋼間距為0.4～0.6 cm，轉離磁鋼，復位毫秒儀，轉動到磁鋼與霍爾開關相對時，毫秒儀低電平指示燈亮，開始計時和計數(shù)。

(3) 將質量m=100 g砝碼的一端打結，沿塔輪上開的細縫塞入，并整齊地繞于半徑為r的塔輪。

(4) 調節(jié)滑輪的方向和高度，使掛線與繞線塔輪相切，掛線與繞線輪的中間呈水平。

(5) 釋放砝碼，砝碼在重力作用下帶動轉動體系做加速度轉動。

(6) 計數(shù)計時毫秒儀自動記錄系統(tǒng)從0π開始作1π，2π，…角位移相對應的時刻。

2.3 測量并計算實驗臺放上試樣后的轉動慣量

將待測試樣放上載物臺并使試樣幾何中心軸與轉動軸中心重合，按與測量空實驗臺轉動慣量同樣的方法可分別測量砝碼作用下的角加速度β2與砝碼脫離后的角加速度β1，由式(3)可計算實驗臺放上試樣后的轉動慣量J，再減去實驗步驟(2)中算得的空實驗臺轉動慣量，即可得到所測試樣的轉動慣量。將該測量值與理論值比較，計算測量值的相對誤差。

2.4 驗證平行軸定理

將兩圓柱體對稱插入載物臺上與中心距離為d的圓孔中，測量并計算兩圓柱體在此位置的轉動慣量，將測量值與理論計算值比較，計算測量值的相對誤差。

2.5 驗證剛體轉動慣量與外力矩無關

通過改變塔輪直徑對轉盤施加不同的外力矩，測定在不同外力矩下轉盤的轉動慣量，與理論值進行比較，在一定允許的誤差范圍內驗證結論。

3 實驗結果與討論

空盤與圓環(huán)的轉動慣量實驗數(shù)據(jù)見表1。

表1 空盤和圓環(huán)的轉動慣量(塔輪直徑40 mm)

rad/s

由表1可得：J盤=0.021 67 kg·m2，

J盤+環(huán)=0.031 58 kg·m2?J環(huán)=J盤+環(huán)-J盤=0.009 91 kg·m2

誤差：

3.1 驗證平行軸定理

圓柱的轉動慣量測量數(shù)據(jù)見表2。

表2 測量圓柱的轉動慣量

由表2可得：

J盤+柱近=0.023 16 kg·m2?J柱近=J盤+柱近-J盤= 0.001 49 kg·m2

J盤+柱中=0.027 07 kg·m2?J柱中=J盤+柱中-J盤=0.005 40 kg·m2

而

J盤+柱遠=0.033 52 kg·m2?J柱遠=J盤+柱遠-J盤=0.011 85 kg·m2

3.2 驗證轉動慣量與外力矩無關

測量空盤的轉動慣量數(shù)據(jù)見表3。

表3 空盤的轉動慣量(塔輪直徑50 mm) rad/s

由表3可得：J盤1=0.021 74 kg·m2。

實驗時，圓環(huán)的質量680 g，其內外直徑分別為175 mm和215 mm,圓柱體的質量為400 g，其直徑為38mm。經過理論計算，給定圓環(huán)轉動慣量的理論值0.009 55 kg·m2，表1測出的實驗值0.009 91 kg·m2，絕對誤差3.8%。在驗證平行軸定理公式時，從表2可以發(fā)現(xiàn)，圓柱體的轉動慣量會隨著其離開轉動軸心越來越遠而變得越來越大，并且精度也會更高。從表1和表3兩次測得的空盤的轉動慣量，幾乎是一致的，即驗證了剛體的轉動慣量是與外力矩無關的。每個實驗的數(shù)據(jù)與理論值之間的誤差也都在工程允許的范圍之內(5%)。因此，實驗結果也表明，所研制的實驗裝置具有較好的可靠性和實驗性。

4 結 語

轉動慣量是剛體轉動慣性的度量。對于幾何形狀簡單、質量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉軸的轉動慣量；而對于外形復雜和質量分布不均勻的物體只能通過實驗的方法來測定物體的轉動慣量，因而實驗方法就顯得更為重要。本實驗儀提供了一種測量剛體轉動慣量的新方法，是開展研究型實驗教學的新儀器。

[1] 韋 林, 周松鶴, 唐曉弟. 理論力學 [M]. 上海: 同濟大學出版社, 2007.

[2] 同濟大學理論力學教研室. 理論力學[M]. 上海: 人民教育出版社, 1980.

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Development and Application of a New Rotational Inertia Test Instrument

LIUWu-xiang

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A new rotational inertia test instrument is designed, and principle of its operation, property and test result are introduced. The experimental device is composed of rotational inertia test instrument, Holl sensor and a multi-function instrument which can complete timing and counting with millisecond level. Holl sensor and multifunctional timing and counting millisecond instrument can automatically record the moment that rigid body has π angular displacement under a certain turning torque, and determinate the angular acceleration and the rotational inertia of rigid body. Compared with the original measuring device, it can eliminate most system error and random error, and it has the advantages of time saving, convenient measurement, good repeatability, high efficiency and so on. The experimental results also show that the instrument has good practicality and reliability.

moment of inertia; Holl sensor; multi-function timing and counting milliseconds instrument; rigid body

2014-07-04

同濟大學第七期精品實驗教改項目

劉五祥(1976-)，男，湖南岳陽人，副教授，現(xiàn)主要從事新型材料的力學數(shù)值模擬和理論研究。

Tel.:021-65982267；E-mail:wxliu@#edu.cn

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A

1006-7167(2015)05-0063-04