開展高效“活動(dòng)”培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力

丁式清

【內(nèi)容摘要】初中學(xué)生的認(rèn)知心理特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)踐性決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的“活動(dòng)化”特征。本文從還原生活本色，改編“活動(dòng)”教材；開放活動(dòng)空間，促進(jìn)自主探究；指導(dǎo)學(xué)生反思，提高活動(dòng)成效等方面探討了開展高效的課堂“活動(dòng)”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的問題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)能力 高效活動(dòng) 途徑策略

任何“有效教學(xué)”總意味著“想方設(shè)法”地讓學(xué)生在單位時(shí)間內(nèi)獲得更有效的發(fā)展。為此，教師需要在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段上下工夫，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)生動(dòng)、互動(dòng)、主動(dòng)，達(dá)到共識(shí)、共享、共進(jìn)的教學(xué)效果。

一、還原生活本色，改編“活動(dòng)”教材

數(shù)學(xué)知識(shí)盡管表現(xiàn)為形式化的符號(hào)，但它可視為具體生活經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)的系統(tǒng)化，它可以在學(xué)生的生活背景中找到實(shí)體模型，教學(xué)時(shí)我們可以讓學(xué)生在生活情景中建立“原型”。如在教學(xué)《作軸對(duì)稱圖形》時(shí)，我們?yōu)檫@一數(shù)學(xué)知識(shí)找到了一個(gè)合適的生活“原型”——牛喝水路徑：小明在草地上放牛，他想先牽牛到河邊飲水（河岸看作直線），然后再回家，卻不知讓牛在河邊哪一點(diǎn)喝水，才使行走的路程最短？請(qǐng)你幫他出出主意……學(xué)生對(duì)這樣的問題很感興趣，有的馬上討論、發(fā)表見解（把這一生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題）：

1.轉(zhuǎn)化建模

生：我想把河流看成一條直線L，小明和牛的所在地可視為一點(diǎn)A，家可視為一點(diǎn)B。這樣可以把上述問題變成：如何在L上取一點(diǎn)O，使OA+OB最??？在此基礎(chǔ)上，老師使問題進(jìn)一步深化，能想到用幾何圖形把現(xiàn)實(shí)問題表示出來，很好！但如何解決呢？

2.實(shí)驗(yàn)探究、猜想論證

生：把上述轉(zhuǎn)化來的數(shù)學(xué)圖視為一張地圖，我們動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，看能否發(fā)現(xiàn)解決方法。

學(xué)生在圖紙上比劃著，尋找解決問題的途徑。這個(gè)活動(dòng)對(duì)學(xué)生理解生活中的軸對(duì)稱圖形是一個(gè)很好的生活“原型”，喚起了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，建立起數(shù)學(xué)知識(shí)與生活原型的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更有根基。

二、開放活動(dòng)空間，促進(jìn)自主探究

1.把握活動(dòng)時(shí)機(jī)，優(yōu)化活動(dòng)方式

學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，應(yīng)伴隨著思維活動(dòng)。若是純粹的行為參與，沒有學(xué)生積極的情感體驗(yàn)及探究問題的思維活動(dòng)，就不能促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效積累，更無法促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。筆者曾經(jīng)聽取了兩節(jié)《全等三角形》（第1課時(shí)）的公開課，執(zhí)教老師用不同的方式處理同一問題，引起筆者的思考。本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是，如何讓學(xué)生能夠正確找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，尤其是在復(fù)雜圖形中，一開始學(xué)生容易出錯(cuò)。為突破難點(diǎn)，多數(shù)教師一般都會(huì)選用，連接了一條對(duì)角線的平行四邊形這個(gè)圖形，這兩位老師也選用這個(gè)圖形，但處理方式有所不同。

方式1：先請(qǐng)兩同桌用兩個(gè)形狀和大小一樣的三角形紙板（課前準(zhǔn)備好的），擺成如圖（1）所示的位置，要求學(xué)生說出全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，并用全等符號(hào)表示兩個(gè)三角形全等。然后出現(xiàn)圖（2），學(xué)生略遲疑片刻，但通過對(duì)照?qǐng)D（1）所擺的位置，也較快地找出了對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。順利地完成了此環(huán)節(jié)。

方式2：直接出示圖（3），要求學(xué)生說出全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，并用全等符號(hào)表示兩個(gè)三角形全等。這時(shí)，幾乎所有的學(xué)生都一致認(rèn)為，⊿ABC≌⊿ADC，即認(rèn)為A對(duì)應(yīng)于A，B對(duì)應(yīng)于D，C對(duì)應(yīng)于C。這時(shí)教師并不急于糾正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，而是讓兩同桌同學(xué)把兩個(gè)形狀和大小一樣的三角形紙板，擺成如圖（3）所示的位置，再把圖3中的兩個(gè)三角形拉開如圖（1），再通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，慢慢地還原到重合的狀態(tài)，這時(shí)學(xué)生原有的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)不攻自破.教師趁機(jī)再請(qǐng)學(xué)生反思總結(jié)正確尋找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的方法，有效地突破此難點(diǎn)。

以上兩種方式都采用了學(xué)生利用課前準(zhǔn)備好的三角形紙板，擺平行四邊形找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，但活動(dòng)安排與問題呈現(xiàn)的順序不同。從課堂老師教的角度分析，方式1為學(xué)生設(shè)置了梯度，由淺入深，表面上，學(xué)生動(dòng)手操作參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，而這樣的操作僅僅停留在學(xué)生外部行為上的活動(dòng)，缺乏思維含量，缺乏對(duì)問題現(xiàn)象的真正思考，從中，無法積累有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。方式2的設(shè)計(jì)先直面難題，學(xué)生暴露錯(cuò)誤，再帶著問題與思考進(jìn)行活動(dòng)，為學(xué)生真正積累有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

搞好活動(dòng)教學(xué)，培養(yǎng)思維能力

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。因此，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，教師要大力提倡小組合作和自主探究教學(xué)。教師要改變以例題、講解、示范為主的教學(xué)方式，要以開放、寬容的態(tài)度，以期待、信任的眼光引導(dǎo)學(xué)生投入到充滿著探索性和挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間去探究，讓學(xué)生從課堂中去體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力和活力。例如教學(xué)“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，筆者組織學(xué)生開展了以下探究活動(dòng)：

[活動(dòng)1]拿一張三角形紙片（如圖1），把兩個(gè)角剪下，接在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處，有幾種拼圖方法？通過學(xué)生的討論歸納，可得出以下兩種拼圖的方法（如圖2）

以上拼圖活動(dòng)能直觀、形象地得到三角形內(nèi)角和定理，也啟發(fā)了學(xué)生找出證明此定理時(shí)的輔助線添法。

[活動(dòng)2]拿一張同樣的三角形紙片，如果只剪下一個(gè)角進(jìn)行拼圖，你能說明三角形的內(nèi)角和定理嗎？這個(gè)活動(dòng)是考慮到兩平行線的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，因此猜想用平行線的性質(zhì)來拼圖驗(yàn)證此定理（如圖3），這樣就發(fā)散了學(xué)生的思維。

[活動(dòng)3]再拿出第三張三角形紙片，如果不剪出這張紙片中的任意一個(gè)內(nèi)角，你能通過對(duì)這張紙片的折疊來驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理嗎？

問題一提出，大大激發(fā)了學(xué)生的興趣和好奇心?！袄蠋?，只要把三個(gè)角都折到同一個(gè)點(diǎn)就可以了?！币粋€(gè)學(xué)生答道?！澳窃鯓硬拍苷鄣揭粋€(gè)點(diǎn)？同學(xué)們?cè)囋??！苯?jīng)過討論，只要將三角形按圖4中的虛線折疊，拼成一個(gè)平角即可說明這一定理。這個(gè)問題是活動(dòng)1的遷移，培養(yǎng)了學(xué)生知識(shí)的遷移能力。

[討論]在以上實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，你受到了哪些啟發(fā)？添輔助線的方法有幾種？

學(xué)生通過分組討論，得出以下四種輔助線的添法（如圖5）

可見，教師要以活動(dòng)的板塊來設(shè)計(jì)教案，建立活動(dòng)。把原來的教學(xué)重點(diǎn)改為探索的重點(diǎn)，通過學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口等活動(dòng)，形成一種全員參與、主動(dòng)參與、全程參與的局面，提供學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的自主探究、相互交流的空間。

3.滲透思想方法，深化實(shí)驗(yàn)探究

數(shù)學(xué)家歐拉曾說過：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要試驗(yàn)?！敝笇?dǎo)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來分析問題、解決問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑。譬如一道數(shù)學(xué)題構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的處理（解題）要借用系統(tǒng)科學(xué)的思想方法。事實(shí)上，題目中的所有信息都是一個(gè)有機(jī)的整體，各部分之間的精彩配合是解題成功的必要前提，有人稱之為“整體方法”或“整體策略”，而實(shí)質(zhì)上是整體思想，它是系統(tǒng)科學(xué)中的整體性原理在解題中的應(yīng)用。

【案例】（幻方填數(shù)實(shí)驗(yàn)）把1、2、3、4、5、6、7、8、9九個(gè)數(shù)分別填入圖1的九個(gè)空格中（圖1），使每行、每列、每條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)相加的和都相等。

（1）師生解題策略分析：

①學(xué)生解題策略分析：為了容易表述，現(xiàn)將九個(gè)方格子上的數(shù)字分別記為a、b、…、i（圖2）。

首先，從圖形及數(shù)字的對(duì)稱性，容易產(chǎn)生直覺，e處的數(shù)字填5。

然后可以發(fā)現(xiàn)a+i=b+h=c+g=d+f，這樣就把這八個(gè)數(shù)分成四組（a，i）、（b，h）、（c，g）、（d，f），很顯然，它們與（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）一一對(duì)應(yīng)，從而說明每行每列各數(shù)之和是15。

接著嘗試實(shí)驗(yàn)，取a=1，則i=9，由于b+c=d+g=14，而它們四個(gè)數(shù)的和的最大值=5+6+7+8=36<28，所以a=1嘗試失敗。

繼續(xù)嘗試實(shí)驗(yàn)，取b=1，h=9，此時(shí)易想到a、c對(duì)應(yīng)著6、8，然后就不難得到九宮格中的各數(shù)了。

②教師的解題策略分析：

首先，不管怎么填，這九個(gè)數(shù)的和是不變的，等于45（不變量1），根據(jù)每行的和相等，可得每行的和等于15（不變量2）。

然后，根據(jù)（a+e+i）+（c+e+g）+（b+e+h）+（d+e+f）=4×15=60，得45+3e=60，解得e=5（不變量3）。

接著再進(jìn)行上述的嘗試。

⑵實(shí)驗(yàn)步驟設(shè)計(jì)

①給出問題，學(xué)生嘗試填數(shù)。題意簡(jiǎn)明易懂，學(xué)生完全能夠自主實(shí)驗(yàn)，探索結(jié)論。

②學(xué)生相互交流、討論。學(xué)生之間的差異是客觀存在的，讓學(xué)生進(jìn)行相互交流討論，可以發(fā)揮出學(xué)生的教育資源。

③收集學(xué)生的答案，逐一比較。各小組之間的答案如下圖所示：

收集學(xué)生的答案之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比圖3與圖4的兩種填法，可以發(fā)現(xiàn)將圖3沿對(duì)角線折疊，可得圖4的結(jié)果；再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比圖3與圖5的兩種填法，可以發(fā)現(xiàn)將圖3沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)就可得到圖5的結(jié)果；……

④提出問題，引導(dǎo)探索

對(duì)比了各種答案之后，容易想到，如果把經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱變換后完全一致的兩種填法視為一種，那么到目前為止，我們只有一種填法。從而自然地引出，這個(gè)問題只有一種填法，還是不止這一種填法？

顯然，學(xué)生會(huì)對(duì)e的各種不同情況進(jìn)行分類討論，再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，反思。

⑤抓住不變量，整體把握

再次引導(dǎo)學(xué)生思考：運(yùn)用分類討論的思想我們解決了這個(gè)問題，但過程很繁瑣，本題有無簡(jiǎn)單易行的解法呢？在實(shí)驗(yàn)的時(shí)候我們著眼于各個(gè)具體的方格，感覺各個(gè)位置上的數(shù)字都會(huì)有許多種可能性，這樣的一一判別很繁瑣，現(xiàn)在我們換一種方式去思考，能否從整體上進(jìn)行把握，哪些量是不會(huì)改變的？通過老師的逐步引導(dǎo)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)其中的不變量，從而解決這個(gè)問題。

⑥對(duì)比反思，提煉思想

最后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種解法進(jìn)行對(duì)比，提煉出其中的數(shù)學(xué)思想。

通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中利用直覺提出猜想，進(jìn)而檢驗(yàn)，得到問題的解，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探索的第一個(gè)歷程。正當(dāng)學(xué)生沾沾自喜之際，就地取材，匯總學(xué)生答案，對(duì)答案進(jìn)行比較，引起思考，學(xué)生就不會(huì)滿足于僅僅填出答案，激起探索熱情。通過問題引導(dǎo)他們進(jìn)行深入地思考，從而使學(xué)生感受到抓不變量的整體化思想。由于前一方法繁瑣只關(guān)心特解，而后一方法可從總體上認(rèn)識(shí)問題，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的對(duì)比，就能深刻體會(huì)到整體化思想。

三、指導(dǎo)學(xué)生反思，提高活動(dòng)成效

指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)后的反思，是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的深層次的思考；是不斷調(diào)整思維結(jié)構(gòu)、深化思維層次、提高思維水平的過程，是進(jìn)一步開發(fā)智力的過程，是一種再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程，也是元認(rèn)知過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真做好活動(dòng)反思，反思自己是如何發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的，反思學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的成敗得失及其原因、應(yīng)該記取的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，并從基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念上尋找原因，從思維策略的高度對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行總結(jié)，從中概括出數(shù)學(xué)基本思想方法，并對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推廣、深化，優(yōu)化已有的解題方法，尋找解決問題的最佳方案等。這不僅有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展，而且有利于知識(shí)技能的遷移，從而為培養(yǎng)能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例：如下圖，點(diǎn)M、N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點(diǎn)Q，求證：∠BQM=60°

證明完后，學(xué)生在教師的啟發(fā)下進(jìn)行了反思，提出了許多問題，如：

①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？

②若將題中的點(diǎn)M，N分別移動(dòng)到BC，CA的延長(zhǎng)線上，是否仍能得到∠BQM=60°？

③若將題中的條件“點(diǎn)M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點(diǎn)M，N分別在正四邊形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？

由第二步的證明方法學(xué)生可以逆推得出是真命題，而當(dāng)點(diǎn)M，N的位置發(fā)生變化時(shí)，教師可以做啟發(fā)，讓學(xué)生重新回顧反思第一步的證明方法，從而得出，也可以通過全等來說明。而當(dāng)正三角形變成正四邊形時(shí)學(xué)生已經(jīng)形成反思前兩題的方法，很快也可以想到用全等的方法得出∠BQM不可能是60°。學(xué)生通過對(duì)解題思維的反思，重新審查題意，更正確、完整、深刻地理解了題目的條件和結(jié)論，激活了學(xué)生的思維，開闊了思路，使學(xué)生思維的靈活性在變換和化歸的訓(xùn)練中得到培養(yǎng)和發(fā)展。

如果學(xué)生在每一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)之后都能對(duì)自己的思路作自我評(píng)價(jià)，探討成功的經(jīng)驗(yàn)與失敗的教訓(xùn)，對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中反映的數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行總結(jié)、概括，這樣長(zhǎng)此以往，不僅能鞏固知識(shí)，避免解題的錯(cuò)誤，而且可以把解決問題的數(shù)學(xué)思想方法及對(duì)問題的再認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為一個(gè)學(xué)習(xí)過程，能提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，優(yōu)化他們的數(shù)學(xué)思維，達(dá)到融會(huì)貫通的境界。

總之，高效的數(shù)學(xué)活動(dòng)化教學(xué)應(yīng)該是有效的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有效地創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，有效地引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)活動(dòng)；有效的親身實(shí)踐、自主探究、合作交流；有效的將所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用于實(shí)際生活，并且有效地獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)。這就需要我們不斷地去探索和研究，去尋找最有效的課堂活動(dòng)化教學(xué)，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

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（作者單位：浙江省臺(tái)州市天臺(tái)縣棲霞中學(xué)）