參考答案（三）

1 直線方程、兩直線的位置關(guān)系

1. D 設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），其在x軸上的截距為1- . 令-3<1- <3，解不等式可得k> 或k<-1.

2. D 當(dāng)O落在C時(shí)折痕所在直線的斜率為k=0；當(dāng)O落在B時(shí)折痕所在直線的斜率為k=- =- =-2？圯-2≤k≤0.

3. D 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖12所示，則A（0，0），B（4，0），C（0，4）. 設(shè)△ABC的重心為D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ， . 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P1（-m，0）. 因?yàn)橹本€BC的方程為x+y-4=0，所以點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為P2（4，4-m）. 根據(jù)光線反射原理，P1，P2均在QR所在直線上，所以k =k ，即 = ，解得m= 或m=0. 當(dāng)m=0時(shí)，P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，故舍去. 所以m= .

圖12

2 圓的方程

1. （x-1）2+（y+4）2=8 由已知，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線方程為y=x-5，由圓的幾何性質(zhì)可知圓心為直線y=x-5與y=-4x的交點(diǎn)，即圓心坐標(biāo)為A（1，-4），故半徑為點(diǎn)A到直線x+y-1=0的距離，即r= =2 . 故圓的方程為（x-1）2+（y+4）2=8.

2. （x-2）2+（y-2）2=10 l是線段PP′的垂直平分線，其方程為y- =x- ，即x-y-1=0. 設(shè)圓C：（x-3）2+（y-1）2=10關(guān)于直線l對稱的圓C′的方程為（x-a）2+（y-b）2=10，則點(diǎn)（3，1）與（a，b）關(guān)于直線l對稱，于是由 =-1， - -1=0，解得a=2，b=2.所以圓C′的方程為（x-2）2+（y-2）2=10.

3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1. D 將y=3- 變形為（x-2）2+（y-3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3），表示以（2，3）為圓心，2為半徑的下半圓，如圖13所示. 若直線y=x+b與曲線y=3- 有公共點(diǎn)，只需直線y=x+b在圖中的兩條直線之間（包括圖中的兩條直線）.

y=x+b與下半圓相切時(shí)，圓心到直線y=x+b的距離為2，即 =2，解得b=1-2 或b=1+2 （舍去）.

所以b的取值范圍為1-2 ≤b≤3. 故選D.

圖13

2. 3 根據(jù)兩圓相交的性質(zhì)可知，兩點(diǎn)（1，3）和（m，-1）的中點(diǎn) ，1在直線x-y+c=0上，并且過兩點(diǎn)的直線與x-y+c=0垂直，故有 -1+c=0， ×1=-1，解得m=5，c=-2，所以m+c=3.

3. （1）曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，1），（3±2 ，0）. 故可設(shè)圓C的圓心的坐標(biāo)為（3，t），則有32+（t-1）2=（2 ）2+t2，解得t=1. 則圓C的半徑為 =3，所以圓C的方程為（x-3）2+（y-1）2=9.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足方程組x-y+a=0，（x-3）2+（y-1）2=9，消去y得到方程2x2+（2a-8）x+a2-2a+1=0. 由已知可得判別式Δ=56-16a-4a2>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4-a，x1x2= ①.

由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0. 又y1=x1+a，y2=x2+a，所以2x1x2+a（x1+x2）+a2=0 ②.

由①②可得a=-1，滿足Δ>0，故a=-1.

4 圓錐曲線的概念及性質(zhì)

1. C 設(shè)A是雙曲線的右焦點(diǎn)，由 = （ + ）可知，點(diǎn)E是線段FP的中點(diǎn).

又點(diǎn)O是FA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA，且PA=2OE=a.再根據(jù)雙曲線的定義可知，PF-PA=2a，可得PF=3a，所以在直角三角形PFA中，有（3a）2+a2=（2c）2，對該式化簡可得e= .

2. 15 PF1+PF2=10，PF1=10-PF2，PM+PF1=10+PM-PF2，易知點(diǎn)M在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于點(diǎn)P，此時(shí)PM-PF2取最大值MF2，故PM+PF1的最大值為10+MF2=10+ =15.

5 圓錐曲線的方程

1. + =1 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1（a>b>0），由題可知，OF=c，OB=b，所以BF=a.

因?yàn)椤螼FB= ，所以 = ，a=2b.

所以S△ABF= ·AF·BO= （a-c）·b= （2b- b）b=2- ，得b2=2，b= . 所以a=2 ，所以橢圓的方程為 + =1.

2. y2=3x 如圖14，分別過A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1.

圖14

由拋物線的定義知，AF=AA1，BF=BB1. 因?yàn)锽C=2BF，所以BC=2BB1，所以∠BCB1=30°，所以∠A1AF=60°. 連結(jié)A1F，則△A1AF為等邊三角形. 過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于N，則NF=A1F1= AA1= AF，即p= ，所以拋物線的方程為y2=3x.

6 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

（1）由題意知， = ，b=1，c2+b2=a2，解得a=2，b=1，c= . 所以橢圓C的方程為 +y2=1，圓O的方程為x2+y2=1.

（2）（i）設(shè)P（x0，y0），因?yàn)閘1⊥l2，則d +d =PM2=x +（y0-1）2. 因?yàn)?+y =1，所以d +d =4-4y +（y0-1）2= -3y0+ + . 又-1≤y ≤1，故當(dāng)y = - 時(shí)，d +d 取得最大值 .

（ii）設(shè)直線l1的方程為y=kx+1，由y=kx+1，x2+y2=1解得A- ， ；由y=kx+1， +y2=1解得C- ， . 把A，C中的k置換成- 可得B ， ，D ， ，所以 =- ， ， - ， ， = ， ， = ， . 由3 · =4 · 得 = ，解得k=± . 所以l1的方程為y= x+1，l2的方程為y= - x+1；或l1的方程為y=- x+1，l2的方程為y= x+1.

7 圓錐曲線與其他知識交匯

點(diǎn)（0，b）到直線x-2y-a=0的距離為d= = ×（a+2b）× + = ×3+ + ≥ ×（3+2 ）= ，當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2，a+b=ab，即a=1+ ，b= 時(shí)取等號. 所以點(diǎn)（0，b）到直線x-2y-a=0的距離的最小值為 .

8 圓錐曲線中的探索性問題

1. （1） + =1.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）.

因?yàn)?=λ ，所以（x1，y1-y0）=λ（1-x1，-y1），所以λ= ，同理，μ= .

所以λ+μ= + = .

聯(lián)立l：y=k（x-1）3x2+4y2-12=0 得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，所以x1+x2= ，x1x2= .

所以x1+x2-2x1x2= -2× = ，

x1x2-x1-x2+1= - +1= .

所以λ+μ=- =- .

（3）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，易得AE與BD的交點(diǎn)為FK的中點(diǎn)P ，0.

下面證明：BD過定點(diǎn)P ，0.

B，D，P共線？圳kBP=kDP？圳 = ？圳 y2=x2y1- y1？圳3y2=2x2y1-5y1？圳3k（x2-1）=2x2k（x1-1）-5k（x1-1）？圳2kx1x2-5k（x1+x2）+8k=0？圳2k· -5k· +8k=0？圳2k（4k2-12）-40k3+8k（4k2+3）=0成立. 得證.

同理，AE過定點(diǎn)P ，0，所以直線AE與BD相交于一定點(diǎn) ，0.

2. （1）設(shè)l：x=my+2（m∈R），設(shè)點(diǎn)A，B，D，E的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），聯(lián)立直線l與拋物線C2的方程并消去x得y2-4my-8=0. 由判別式Δ=16m2+32>0對任意m∈R恒成立，故y +y =4m，y y =-8. 所以 · =x1x2+y y = · +y1y2= +y y =-4<0，所以∠AOB為鈍角，即∠DOE為鈍角，所以點(diǎn)O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部.

（2）設(shè)∠AOB=∠DOE=α，則 = = . 設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，由弦長公式可得OA= y ，OD= y ，OB= ·y ，OE= y ，所以 = ，即 = ①.

又由O，D，A三點(diǎn)共線得 = ，且x1= ，x =41- ，所以y = ，同理y = ，代入①得 = ，再由韋達(dá)定理代入并整理得 = ≥ ，即 ≥ >3，所以不存在直線l使S2=3S1.

綜合測試

1. B 設(shè)P（x，y），由PA=2PB，得 =2 ，整理得x2-4x+y2=0，即（x-2）2+y2=4，故S=4π.

2. B 由題意可知向量 的模是不變的，所以當(dāng) 與 同向時(shí) + 最大，結(jié)合圖形可知， + max= +1= +1=3.

3. D 兩圓圓心之間的距離d= . 因?yàn)棣葹殇J角，所以0

4. C 不妨設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn).

過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于N點(diǎn)，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，0，并設(shè) =2 =2 =2t，根據(jù)勾股定理可知， 2- 2= 2- 2，得到c= t，而a= ，則e= = .

5. D 由題意可知k≠0，設(shè)直線AB的方程為x= y+2，與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2），將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立得ky2-8y-16k=0，y +y = ，y y =-16. · =（x1+2）（x2+2）+（y1-2）（y2-2）= +2· +2+（y -2）（y -2）=0，整理并結(jié)合y +y = ，y y =-16得k2-4k+4=0，解得k=2.

6. -∞，- ∪ ，+∞ 直線l的方程為y=kx-1，即kx-y-1=0，則由題意得d= ≤2 ，即k2≥ ，解得k≤- 或k≥ .

7. （0，2） 設(shè)Q（t，-2），A（x1，y1），B（x2，y2），拋物線方程變?yōu)閥= x2，則y′= x，則在點(diǎn)A處的切線方程為y-y1= x1（x-x1），化簡得y= x1x-y1；同理，在點(diǎn)B處的切線方程為y= x2x-y2. 又點(diǎn)Q（t，-2）的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程，代入得-2= x1t-y1，-2= x2t-y2，則說明A（x1，y1），B（x2，y2）都滿足方程-2= xt-y，即直線AB的方程為y-2= tx，因此直線AB恒過定點(diǎn)（0，2）.

8. 3+ 依題意得圓x2+y2+kx=0的圓心- ，0位于直線x-y-1=0上，于是有- -1=0，即k=-2，因此該圓圓心的坐標(biāo)是（1，0），半徑是1.

由題意可得AB=2 ，直線AB的方程是 + =1，即x-y+2=0，圓心（1，0）到直線AB的距離等于 = ，點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是 +1，所以△PAB面積的最大值為 ×2 × =3+ .

9. （1）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），F(xiàn)（c，0），則 =（c-x1，-y1）， =（x2-c，y2）.

當(dāng)λ=1時(shí)， = ，所以-y1=y2，x1+x2=2c.

因?yàn)镸，N兩點(diǎn)在橢圓C上，所以x21=a21- ，x22=a21- ，所以x21=x22.

若x1=-x2，則x1+x2=0≠2c（舍去）， 所以x1=x2.

所以 =（0，2y2）， =（c+4，0），所以 · =0，所以 ⊥ .

（2）當(dāng)λ=1時(shí)，由（1）知x1=x2=c，所以Mc， ，Nc，- ，

所以 =c+4， ， =c+4，- ，所以 · =（c+4）2- = . （？鄢）

因?yàn)?= ，所以a2= c2，b2= ，代入（？鄢）式得 c2+8c+16= ，

所以c=2或c=- （舍去）.

所以a2=6，b2=2，所以橢圓C的方程為 + =1.

10. （1）當(dāng)t=3時(shí)，PQ的中點(diǎn)為（0，3），所以b=3. 又橢圓的焦點(diǎn)為F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），所以c=4，a2=b2+c2=25，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.

（2）因?yàn)镼在直線AF2： + =1上，所以Q4- ，t. 由P與Q關(guān)于y軸對稱，得P -4，t；又由QR∥AF1，得R（4-t，0）.

設(shè)△PRF1的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則有

16-4D+F=0，（4-t）2+（4-t）D+F=0， -4 +t2+ -4 D+tE+F=0， 解得D=t，E=4- t，F(xiàn)=4（t-4），所以該圓的圓心C- ， t-2滿足7×- +4 t-2+8=8-8=0，即圓心C在直線7x+4y+8=0上.

11. （1）由題意，知 = ，所以a2=2c2. 又2 =2b，得b=1，a= . 所以曲線C2的方程為y=x2-1，橢圓C1的方程為 +y2=1.

（2）設(shè)直線AB：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知M（0，-1）. 聯(lián)立方程組y=kx，y=x2-1？圯x2-kx-1=0， · =（x1，y1+1）·（x2，y2+1）=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=-（1+k2）+k2+1=0，所以MA⊥MB.

（3）設(shè)直線MA：y=k1x-1，MB：y=k2x-1，k1k2=-1，M（0，-1），由y=k1x-1，y=x2-1解得x=0，y=-1或x=k1，y=k21-1，所以A（k1，k21-1）.

同理，可得B（k2，k22-1）.

故S1= MA·MB= · k1k2.

聯(lián)立y=k1x-1， +y2=1，解得x=0，y=-1或x= ，y= ，所以D ， .

同理，可得E ， . 故S2= MD·ME= · · ，

所以， =λ= = ≥ .

所以λ的取值范圍是 ，+∞.

12. （1）由題意知，橢圓的離心率e= = ，所以e2= = = ，即a2=2b2.

又△EGF2的周長為4 ，即4a=4 ，所以a2=2，b2=1.所以橢圓C的方程為 +y2=1.

（2）由題意知直線AB的斜率存在，即t≠0.

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）.

聯(lián)立y=k（x-2）， +y2=1，可得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0.

由Δ=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）>0，得k2< .x1+x2= ，x1x2= .

因?yàn)?+ =t ，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），x= = ，y= = [k（x1+x2）-4k]= .

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以 +2 =2，所以16k2=t2（1+2k2）.

因?yàn)?- < ，所以可得 x1-x2< ，所以（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]< ，所以（1+k2）· -4· < ，所以（4k2-1）（14k2+13）>0，所以k2> .

所以

因?yàn)?6k2=t2（1+2k2），所以t2= =8- .

又 <1+2k2<2，所以

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為-2，- ∪ ，2.