空間幾何體的表面積和體積

本考點(diǎn)側(cè)重考查空間幾何體的概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力. 主要有兩種考查形式，一是與三視圖相結(jié)合考查；二是以組合體的形式（與球體的切、接）考查，考查難度中等以上. 還需注意的是，近年高考中有關(guān)空間幾何體的體積的最值問(wèn)題有加強(qiáng)的趨勢(shì).

（1）理解柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算方法，了解它們的側(cè)面展開(kāi)圖及其對(duì)計(jì)算側(cè)面積的作用，會(huì)根據(jù)條件計(jì)算表面積和體積. 理解球的表面積和體積的計(jì)算方法.

（2）把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化的方法，并能綜合運(yùn)用立體幾何中所學(xué)的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題.

該知識(shí)點(diǎn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是：不規(guī)則幾何體體積的求解與轉(zhuǎn)換，體積最值的探究等.

（1）有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素. 解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖.

（2）當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法直接運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體（柱、錐、臺(tái)），或化離散為集中，給解題提供便利.

（3）與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接. 解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.

例1 已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為_(kāi)_________.

破解思路 已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，易求三棱錐的底面積，那么要求它的體積，只需求出它的高. 由SC為棱錐外接球的直徑可知，S到底面的距離等于圓心O到底面距離的2倍，體積即可求.

答案詳解 因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，所以△ABC的外接圓的半徑r= . 因?yàn)镾C為球O的直徑，且SC=2， 所以球O的半徑R=1，所以點(diǎn)O到平面ABC的距離d= = . 所以點(diǎn)S到平面ABC的距離為2d= ，所以棱錐的體積V= S△ABC×2d= × × = .

例2 如圖7，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置.

（1）求證：BD⊥平面CDE；

（2）當(dāng)∠CDE取何值時(shí)，三棱錐E-ABD的體積取最大值？并求此時(shí)三棱錐E-ABD的側(cè)面積.

圖7

破解思路 折疊問(wèn)題是立體幾何的一類典型問(wèn)題，是考查實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力的好素材. 解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)有發(fā)生變化. 注意充分發(fā)揮平面圖形的作用，計(jì)算盡可能在平面圖形中進(jìn)行. 第（1）問(wèn)先求出BD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理確定AB，BD的垂直關(guān)系，再由翻折后BD與DC，BD與DE位置關(guān)系不變，可證線面垂直. 第（2）問(wèn)要使三棱錐E-ABD的體積取最大值，只需ED⊥CD.

答案詳解 （1）在△ABD中，因?yàn)锳B=2，AD=4，∠DAB=60°，所以BD= =2 . 所以AB2+BD2=AD2，所以AB⊥BD.

因?yàn)锳B∥CD，所以BD⊥CD，BD⊥DE. 又CD∩DE=D，CD，DE？奐平面CDE，所以BD⊥平面CDE.

（2）設(shè)E點(diǎn)到平面ABCD的距離為h，則h≤ED=2. 由（1）知BD⊥DE，當(dāng)ED⊥CD時(shí)，因?yàn)锽D∩CD=D，CD，DE？奐平面CDE，所以ED⊥平面ABCD.

所以當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，h=ED=2，三棱錐E-ABD的體積取最大值. 此時(shí)ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AD，ED⊥BD. 在Rt△DBE中，因?yàn)镈B=2 ，DE=DC=AB=2，所以S△BDE= DB·DE=2 .

在Rt△ADE中，S△ADE= AD·DE=4. 因?yàn)锳B⊥BD，BD⊥DE，BD∩DE=D，BD，DE？奐平面BDE，所以AB⊥平面BDE. 所以AB⊥BE. 因?yàn)锽E=BC=AD=4，所以S△ABE= AB·BE=4.

綜上，當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，三棱錐E-ABD的體積取最大值，此時(shí)側(cè)面積S=8+2 .

1. 已知三棱錐O-ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中OA=1，OB=2，OC=3，O，A，B，C四點(diǎn)均在球S的表面上，則球S的表面積為_(kāi)_______.

2. 如圖8，一個(gè)直徑AB等于2的半圓，過(guò)A作這個(gè)半圓所在平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)S，使AS=AB，C為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為A在SB，SC上的射影. 當(dāng)三棱錐S-AMN的體積最大時(shí)，SC與平面ABC所成角的正弦值是________.

圖8