歸納推理

歸納推理以其獨有的技巧，在高考試題中具有特殊的地位和作用，考查考生閱讀、理解、遷移新知識、歸納推理的能力，以及運算求解能力. 多以填空題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，難度為中偏高檔或高檔，總分值約為4～5分.

（1）以數(shù)列、不等式、函數(shù)等為背景的歸納推理題.

（2）以數(shù)學(xué)史料為背景的歸納推理題，如古希臘畢達哥拉斯學(xué)派研究的多邊形數(shù)等.

破解歸納推理題的關(guān)鍵是：

（1）發(fā)現(xiàn)共性→通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）.

（2）歸納推理→把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想）.

（3）檢驗，得結(jié)論→對所得的一般性命題進行檢驗. 一般地說，“求同存異”“逐步細化”“先粗后精”是求解由特殊結(jié)論推廣到一般結(jié)論型創(chuàng)新題的基本技巧.

例 已知

12= ×1×2×3，

12+22= ×2×3×5，

12+22+32= ×3×4×7，

12+22+32+42= ×4×5×9，

則12+22+…+n2=________（其中n∈N ）.

破解思路 觀察所列出的四個等式右邊所具有的特點，歸納出其規(guī)律，推測12+22+…+n2的表達式.

答案詳解 當(dāng)n=1時，12= ×1×2×3= n（n+1）（2n+1），

當(dāng)n=2時，12+22= ×2×3×5= n·（n+1）（2n+1），

當(dāng)n=3時，12+22+32= ×3×4×7= n（n+1）（2n+1），

當(dāng)n=4時，12+22+32+42= ×4×5×9= n（n+1）（2n+1），所以應(yīng)填 n·（n+1）（2n+1）.

1. 如圖1所示，一組數(shù)排成倒三角形，其中第一行各數(shù)依次為1，2，3，…，2014，從第二行起，每一個數(shù)都等于它“肩上”的兩個數(shù)之和，最后一行只有一個數(shù)M，則M=______.

1 2 3 … 2012 2013 2014

3 5 7 … 4025 4027

8 12 … 8025

… … …

… …

M

圖1

2. 數(shù)學(xué)與文學(xué)之間存在著許多奇妙的聯(lián)系. 詩中有回文詩，如：“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過來讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來真是一種享受！數(shù)學(xué)中也有回文數(shù)，如：88，454，7337，43534等都是回文數(shù)，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個數(shù)，稱這樣的數(shù)為“回文數(shù)”，讀起來還真有趣！

二位的回文數(shù)有11，22，33，44， 55，66，77，88，99，共9個；

三位的回文數(shù)有101，111，121， 131，…，969，979，989，999，共90個；

四位的回文數(shù)有1001，1111， 1221，…，9669，9779，9889，9999，共90個.

由此推測：2014位的回文數(shù)總共有___________個.endprint