參考答案（四）

1 隨機抽樣問題

1. 1 甲組中應抽取的城市數(shù)為 ×4=1.

2. D ②都不能為系統(tǒng)抽樣，但③都能為系統(tǒng)抽樣，故A錯；②能為分層抽樣，故B錯；④不能為系統(tǒng)抽樣，故C錯.

2 用樣本估計總體

1. 15.7 0.06+0.16+0.38×（x0-15）=0.5，x0=15.7.

2. 甲組 甲、乙兩組的平均數(shù)都是84，甲、乙兩組的方差分別是20.4，22，由于20.4<22，所以甲、乙兩組中數(shù)學測試成績比較集中的小組是甲組.

3 變量相關(guān)性

1. D 因為相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好；而殘差平方和越大，擬合效果越差.

2. （1）k2= ≈11.978>7.879，所以能在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為喜歡運動與性別有關(guān).

（2）設所抽樣本中有m名男生，則 = ，得m=4（人），所以樣本中有4名男生、2名女生，將他們分別記作B1，B2，B3，B4，G1，G2. 從中任選2人的基本事件有：（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，B4），（B2，G1），（B2，G2），（B3，B4），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），（G1，G2），共15個. 其中恰有1名男生和1名女生的事件有：（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），共8個. 所以恰有1名男生和1名女生的概率為P= .

4 隨機事件的概率

1. P= = .

2. （1）第3組的人數(shù)為0.3×100=30， 第4組的人數(shù)為0.2×100=20，第5組的人數(shù)為0.1×100=10. 因為第3， 4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每組應抽取的人數(shù)分別為第3組： ×6=3；第4組： ×6=2；第5組： ×6=1. 所以應從第3、4、5組中分別抽取3人、2人、1人.

（2）記第3組的3名志愿者為A1，A2，A3，第4組的2名志愿者為B1，B2，第5組的1名志愿者為C1，則從6名志愿者中抽取2名志愿者的基本事件包括：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15種. 其中第4組的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的情況有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9種，所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為 = .

5 離散型隨機變量的概率分布

1. （1）ξ的可能取值為1，2，3.

記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復賽”為事件B.

P（ξ=1）=P（ ）=1- = ，P（ξ=2）=P（A ）=P（A）P（ ）= ×1- = ，P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）= × = .

所以ξ的分布列為：

所以ξ的數(shù)學期望E（ξ）=1× +2× +3× = .

（2）當ξ=1時， f（x）=3sin π=3sin x+ ， f（x）為偶函數(shù)；

當ξ=2時，f（x）=3sin π=3sin x+π， f（x）為奇函數(shù)；

當ξ=3時，f（x）=3sin π=3sin x+ π， f（x）為偶函數(shù).

所以事件D發(fā)生的概率是 .

2. （1）隨機變量甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數(shù)X的分布列為：

泳道相隔數(shù)X的期望為：

E（X）=0× +1× +2× +3× +4× +5× +6× =2.

（2）P（2≤X≤4）= + + = .

綜合測試

1. D 因為分層抽樣是按比抽取，所以女運動員中應抽取的人數(shù)為42× =12.

2. A 由 =1-0.1-0.24-0.36=0.3，得n=100.

3. D 觀察可知，乙10次命中的環(huán)數(shù)比甲集中，所以乙比甲的射擊成績穩(wěn)定（或計算方差可得乙射擊成績的方差較小）.

4. D 由于回歸直線的斜率為正值，故y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，選項A正確；回歸直線過樣本點的中心，選項B正確；根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項C正確；由于回歸分析得出的是估計值，故選項D不正確.

5. B 基本事件總數(shù)為6×6=36.由a，b共線得m+n=4，符合此式的基本事件包含3個：（1，3），（2，2），（3，1），所以a和b共線的概率為 .

6. B P（ξ≤1）=P（ξ=0）+P（ξ=1）= + ，故選B.

7. 由E（ξ）=np=6，D（ξ）=np（1-p）=5，所以p= .

8. 根據(jù)定積分的應用可知所求陰影部分的面積為 （x-x3）dx= x2- x410= ，所以由幾何概型公式可得點P恰好取自陰影部分的概率為 .

9. 4 由正態(tài)曲線知，直線x=1為對稱軸，a-2=2，a=4.

10. （1）樣本的頻率分布表如下：

頻率分布直方圖略.

（2）估計樣本的平均數(shù)為45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.30+85×0.24+95×0.08=73.8，所以估計全校參加高一質(zhì)量檢測的學生的數(shù)學平均成績?yōu)?3.8.

（3）[40，50）內(nèi)有2人，記為甲，A；[90，100）內(nèi)有4人，記為乙，B，C，D. 則“二幫一”小組有以下12種分組辦法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD.其中甲、乙兩位同學被分在同一小組有3種辦法：甲乙B，甲乙C，甲乙D. 所以甲、乙兩位同學恰好被安排在同一小組的概率為P= = .

11. （1）設報考飛行員的人數(shù)為n，前三小組的頻率分別為p ，p ，p ，則p =2p1，p =3p1， p +p +p +（0.0375+0.0125）×5=1， 解得p =0.125，p =0.25，p =0.375.因為p =0.25= ，所以n=48.

（2）由（1）可得，一個報考學生的體重超過60千克的概率為p=p +（0.0375+0.0125）×5= ，所以X～3 ， ，所以P（X=k）=C k· 3-k，k=0，1，2，3.

隨機變量X的分布列為：

則E（X）=0× +1× +2× +3× = 或E（X）=3× = .

12. （1）設“甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院”為事件A，那么P（A）= × = . 所以甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率為 .

（2）設“甲、乙兩人選擇同一個社區(qū)醫(yī)院”為事件B，那么P（B）=3× × = ，所以甲、乙兩人不選擇同一個社區(qū)醫(yī)院的概率是P（ ）=1-P（B）= .

（3）隨機變量ξ可能取的值為0，1，2，3，4.那么P（ξ=0）=C × = ；P（ξ=1）=C × × = ；P（ξ=2）=C × × = ；P（ξ=3）=C × × = ；P（ξ=4）=C × = . 所以隨機變量ξ的分布列為：

E（ξ）=0× +1× +2× +3× +4× = .endprint