Gainse-Rescher 系統(tǒng)基于子代數(shù)的廣義重言式

李順琴，惠小靜

LI Shunqin,HUI Xiaojing

延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安716000

College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an,Shaanxi 716000,China

1 引言

廣義重言式理論是模糊邏輯的重要研究方向。自1998 年王國(guó)俊教授建立了修正的Kleene 系統(tǒng)和修正的Kleene 系統(tǒng)中的廣義重言式理論[1-2]后，其他多值邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論也在蓬勃發(fā)展[3-12]。文獻(xiàn)[3-5]分別討論了修正的Go¨del 邏輯系統(tǒng)和Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論，文獻(xiàn)[10]討論了修正的Go¨del邏輯系統(tǒng)中子代數(shù)的廣義重言式理論，文獻(xiàn)[11]討論了修正的Kleene 邏輯系統(tǒng)中子代數(shù)的廣義重言式理論。本文將Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論進(jìn)行推廣和補(bǔ)充，討論其序稠密子代數(shù)中的廣義重言式理論。

2 基本知識(shí)

定義1[1]設(shè)S={p1,p2,…}是可數(shù)集，?是一元運(yùn)算，∨與→是二元運(yùn)算，由S生成的(?,∨,→)型自由代數(shù)記作F(S)。F(S)中的元素叫公式或命題，S中的元素叫原子公式或原子命題。

定義3設(shè)是[0,1]上的Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)，E是的非空子集合，如果E關(guān)于中定義的?,∨,→運(yùn)算封閉，則稱E是的子代數(shù)。

命題1E是的子代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)E在[0,1]中關(guān)于對(duì)稱且{0,1}?E。

證明（必要性）因?yàn)镋是的子代數(shù)，所以由定義2 和定義3 知，對(duì)?x∈E,?x=1-x∈E，因此E在[0，1]中關(guān)于對(duì)稱。又由定義2 和定義3 知，對(duì)?x,y∈E，x→y的值是1或0，而E關(guān)于→運(yùn)算封閉，故{0 ,1} ?E。

（充分性）由定義3 知，只需證明E關(guān)于中定義的?,∨,→運(yùn)算封閉。由定義2 知E顯然關(guān)于∨運(yùn)算封閉，又由于E在[0，1]中關(guān)于對(duì)稱，所以E關(guān)于?運(yùn)算封閉。下證E關(guān)于→運(yùn)算封閉。由定義2 知，對(duì)?x,y∈E，x→y的值是1 或0，而{0,1}?E，故E關(guān)于→運(yùn)算封閉。

本文中提到的子代數(shù)都是指序稠密子代數(shù)，在不致引起混淆時(shí)將其簡(jiǎn)稱為子代數(shù)。

定義4設(shè)E是的子代數(shù)，v:F(S)→E是映射，若v是(?,∨,→)型同態(tài)，即

v(?A)=?v(A),v(A∨B)=v(A)∨v(B)

v(A→B)=v(A)→v(B)

則稱v為F(S)在E中的賦值，其全體賦值之集記為Σ(E)。

定義5設(shè)A∈F(S)，E為的子代數(shù)，α∈E：

（1）若?v∈Σ(E)，v(A)≥α(v(A)＞α)，則稱A為E-α-重言式（E-α+-重言式），其全體之集記為α-T(E)(α+-T(E))。

（2）若A∈α-T(E)，且?v∈Σ(E)，v(A)=α，則稱A為可達(dá)E-α-重言式，其全體之集記為[α]-T(E)。

（3）若A∈α+-T(E)，且?ε＞0，?vε∈Σ(E)，使得α＜vε(A)＜α+ε，則稱A為可達(dá)E-α+- 重言式，其全體之集記作[α+]-T(E)。

特別地，E-1-重言式簡(jiǎn)稱重言式，其全體之集記為T(E)。

以上定義的各種重言式統(tǒng)稱為廣義重言式，在不致引起混淆時(shí)前綴“E-”將略去。

引理1設(shè)E是的子代數(shù)，，映射定義為：

下面證明φ1保持?運(yùn)算。

因此，由（1）～（3）可知φ1保持?運(yùn)算。

定理1設(shè)E是的 子 代 數(shù)，，則。

定理2設(shè)E是的子代數(shù)，，則α-T(E)=T(E)。

則顯然φ2是保序的雙射，易證φ2是同構(gòu)的映射。事實(shí)上，φ2顯然保持∨運(yùn)算和→運(yùn)算，下面證明φ2也保持?運(yùn)算。

當(dāng)x=1 時(shí)，φ2(?1)=φ2(0)=0=?φ2(1)；

當(dāng)x=0 時(shí)，φ2(?0)=φ2(1)=1=?φ2(0)；

當(dāng)x∈(0,1)∩E時(shí)，φ2(?x)=(2α-1)(1-x)+(1-α)=-(2α-1)x+α?φ2(x) = 1-φ2(x) = 1-[( 2α-1)x+(1-α)] =-(2α-1)x+α所以φ2(?x)=?φ2(x)。因此φ2也保持?運(yùn)算，這樣就證明了φ2是E與Uα之間的同構(gòu)的映射。

設(shè)A∈α-T(E)，則?v∈Σ(E)，v(A)≥α。由于φ2是E與Uα之間的同構(gòu)的映射，所以φ2v∈Σ(E)，進(jìn)而有φ2v(A)≥α且φ2v(A)∈Uα，從而只能φ2v(A)=1，由φ2的構(gòu)造知v(A)=1，因此A∈T(E)，即α-T(E)?T(E)。

定理3設(shè)E是的子代數(shù)，，則[α]-T(E)=?。

定理4設(shè)E是的子代數(shù)，，則α+-T(E)=T(E)。

證明若A∈T(E)，顯然有A∈α+-T(E)。又若A∈α+-T(E)，則?v∈Σ(E)，v(A)＞α。由定理2的證明過(guò)程知φ2v:F(S)→{0,1}∪((1-α,α)∩E)是同態(tài)的復(fù)合，因此φ2v∈Σ(E)，進(jìn)而φ2v(A)＞α且φ2v(A)∈{0,1}∪((1-α,α)∩E)，故φ2v(A)=1，由φ2的構(gòu)造知v(A)=1，因此A∈T(E)。

用類似的方法結(jié)合定義5 和引理1 可證定理5。

定理5設(shè)E是的子代數(shù)，，則。

定理6設(shè)E是的子代數(shù)，，則[α+]-T(E)=?。

定理7設(shè)E是的子代數(shù)，α,β∈E且α≠β，則：

[α]-T(E)∩[β]-T(E)=?

[α+]-T(E)∩[β]-T(E)=?

[α]-T(E)∩[β+]-T(E)=?

[α+]-T(E)∩[β+]-T(E)=?

證明若[α]-T(E)∩[β]-T(E)≠?，不妨設(shè)α＞β，取A∈[α]-T(E)∩[β]-T(E)，則?v∈Σ(E)，v(A)≥α且v(A)≥β，注意到α＞β，所以?v∈Σ(E)，v(A)≥α。而由A∈[β]-T(E)知存在v0∈Σ(E)，使得v0(A)=β＜α，矛盾。所以[α]-T(E)∩[β]-T(E)=?。

其余各式用類似方法可證。

定理8設(shè)E是的子代數(shù)，則關(guān)于E而言F(S)有如下的分劃：

證明（1）由定義5 知集族中任意兩成員之交為空集，且由定理3 和定理6 可知它們的并集是F(S)，因此只需驗(yàn)證它們均為非空集合即可。

v(C)=1-v(A)=0，因此C∈[0]-T(E)。

（2）可類似證明。

4 結(jié)論

本文將廣義重言式理論進(jìn)行推廣和擴(kuò)充，討論了Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中基于序稠密子代數(shù)的廣義重言式理論，并利用可達(dá)廣義重言式概念在的序稠密子代數(shù)中給出公式集F(S)的一個(gè)分劃。關(guān)于Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中離散子代數(shù)上的廣義重言式理論，將另文討論。

[1] 王國(guó)俊.修正的Kleene系統(tǒng)中Σ-(α-重言式）理論[J].中國(guó)科學(xué)：E 輯，1998，28（2）：146-152.

[2] 王國(guó)俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[3] 吳洪博.Go¨del 邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000，14（4）：53-59.

[4] 吳洪博.Go¨del 系統(tǒng)中一種降級(jí)算法及性質(zhì)[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，40（6）：997-1001.

[5] 吳洪博，閻滿富.Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2000，37（5）：675-682.

[6] 王龍春，王國(guó)俊.R0-代數(shù)[0，1]的子代數(shù)與廣義重言式[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，47（3）：521-526.

[7] 黃阿敏，裴道武.系統(tǒng)RDP 中的廣義重言式理論[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24（4）：6-11.

[8] 裴道武.積邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16（4）：19-27.

[9] 劉練珍，李開泰.修正的Product邏輯中的廣義重言式理論[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2005，19（1）：12-17.

[10] 李順琴，王國(guó)俊.修正的Go¨del 邏輯系統(tǒng)中子代數(shù)的廣義重言式理論[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44（36）：58-60.

[11] 魏海新.修正的Kleene 邏輯系統(tǒng)中子代數(shù)的廣義重言式理論[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2009，45（22）：32-33.

[12] 李修清.Go¨del 邏輯系統(tǒng)中1/2-子代數(shù)上的廣義重言式理論[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47（5）：43-45.