一種基于雙精度搜索算法的變論域模糊控制

劉培奇，田 洋，孫陽陽

LIU Peiqi,TIAN Yang,SUN Yangyang

西安建筑科技大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，西安710055

College of Information&Control Engineering,Xi’an University of Architecture&Technology,Xi’an 710055,China

1 引言

相對于傳統(tǒng)控制方式，模糊控制（FC）憑借其不需對象模型、魯棒性強、實時性好等優(yōu)點廣泛用于非線性、時變滯后系統(tǒng)中。然而模糊控制器實質(zhì)上是插值器，插值精度與模糊規(guī)則數(shù)量緊密相關(guān)，提高精度必然以擴大規(guī)模為代價，導(dǎo)致其控制精度存在一定局限性[1]。變論域模糊控制器（VUFC）不僅可以綜合專家知識，而且在不增加規(guī)則數(shù)量的情況下，論域隨誤差變小而收縮并隨誤差增大而擴展，從一定程度上解決了控制精度和控制復(fù)雜度的矛盾[2]。理論上分析，VUFC 的決策速度與精度應(yīng)相對理想，可伸縮因子的定式結(jié)構(gòu)使其自適應(yīng)能力有限，控制無法達(dá)到預(yù)期效果[3]。同時模糊系統(tǒng)基本處于黑箱狀態(tài)，被控對象多具有高度的非線性、強耦合等特性，因此定式伸縮因子很難有效避免控制函數(shù)畸變產(chǎn)生，盡管在控制精度上有較大提高，但卻無法保證控制品質(zhì)的最優(yōu)性[4]。在模糊規(guī)則確定好的情況下，僅通過系統(tǒng)狀態(tài)來調(diào)節(jié)VUFC 伸縮因子，必然使其因調(diào)節(jié)負(fù)擔(dān)過重而不能得到理想輸出。

近年來，VUFC 參數(shù)優(yōu)化問題受到人們的關(guān)注，這也成為改善VUFC 精度和控制函數(shù)畸變的最有效方法，許多智能優(yōu)化算法在這一研究中得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[5]利用遺傳算法（GA）優(yōu)化VUFC 的部分參數(shù)，但GA要進行復(fù)制、交叉和變異操作，不能及時利用網(wǎng)絡(luò)的反饋信息，算法的搜索速度慢，且其性能對參數(shù)有較大依賴性。文獻(xiàn)[6]提出一種基于粒子群算法（PSO）的變論域模糊控制策略，但PSO 種群在搜索空間中多樣性的丟失使算法不夠穩(wěn)定，不是每次所得結(jié)果都能收斂到一個點。文獻(xiàn)[7]通過引進具有在線學(xué)習(xí)和動態(tài)尋優(yōu)能力的Q 學(xué)習(xí)算法（Q-learning）達(dá)到使控制器性能指標(biāo)最小的目的，但Q-learning 學(xué)習(xí)時間較長，時間和空間復(fù)雜度相對較高。引力搜索算法（GSA）利用物體間的萬有引力定理搜索最優(yōu)解，是一種相對穩(wěn)定的全局搜索算法，已成功實現(xiàn)參數(shù)辨識并應(yīng)用于流程優(yōu)化。本研究結(jié)合VUFC參數(shù)優(yōu)化復(fù)雜度指標(biāo)，在GSA 基礎(chǔ)上結(jié)合序列二次規(guī)劃搜索（SQP），提出一種雙精度搜索算法。該算法在保留GSA 極強全局尋優(yōu)能力基礎(chǔ)上，進一步提高算法對最優(yōu)解的局部搜索能力，并將改進算法用于等比因子智能尋優(yōu)，構(gòu)成一種基于雙精度搜索算法的變論域模糊控制器。其目的是在減小伸縮因子調(diào)節(jié)負(fù)擔(dān)的同時使控制函數(shù)畸變問題得到優(yōu)化，進一步提高決策速度和控制效果。

2 控制算法基本原理

2.1 變論域模糊控制器

設(shè)雙輸入變量誤差e和誤差變化率ec的論域分別為X=[-E,E]、Y=[-EC,EC]，控制輸出變量u論域為Z=[-U,U]，對應(yīng)的語言變量為A、B、C且[8]：

式（1）是對論域X、Y、Z的模糊劃分，xi、yj、zl分別是Ai、Bj、Cl的峰點，其中i=1,2,…,n，j=1,2,…,m，l=1,2,…,mn，并設(shè)定Ai、Bj、Cl均為可積函數(shù)。

由模糊推理規(guī)則可得到以下推理形式：

IfxisAi，andyisBj，thenuisCij.

其中i=1,2,…,n，j=1,2,…,m。

模糊控制系統(tǒng)可以表示成一個n元插值函數(shù)：

其中i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。

變論域模糊控制實質(zhì)是采用“粗略控制”到“精細(xì)控制”的策略，即當(dāng)模糊控制器的輸入（一般為誤差E）較大時，采用“粗略控制”，論域隨之膨脹；當(dāng)模糊控制器輸入較小時，采用“精細(xì)控制”，論域隨之壓縮。變化后的論域可以表示為：

X(e)=[-α1(e)E,α1(e)E]

Y(ec)=[-α2(ec)EC,α2(e)EC]

Z(e,ec)=[-β(e,ec)U,β(e,ec)U]

其中α1(e)、α2(ec)和β(e,ec)叫作論域的伸縮因子，e、ec都是時間函數(shù)，相對于變論域，原來的論域X、Y、Z叫作初始論域，基于式（2）的變論域模糊控制可以表示成如下n元動態(tài)插值函數(shù)：

變論域模糊控制器較模糊控制器在自適應(yīng)能力、控制精度等性能方面都得到了提升，并且變論域模糊控制器的控制規(guī)則的設(shè)計更為簡單，它無需太多的專家知識和經(jīng)驗，只需要獲取規(guī)則的大致趨勢即可[9]。

在模糊規(guī)則設(shè)計好的情況下，對變論域模糊控制要求的關(guān)鍵部分在于輸入、輸出論域伸縮因子選擇，輸入、輸出論域伸縮因子本文選擇[10-11]：

2.2 雙精度搜索算法

GSA 是基于對群體的物理學(xué)萬有引力進行模擬而提出的新的優(yōu)化搜索技術(shù)，它通過群體中各粒子間的萬有引力相互作用智能指導(dǎo)搜索結(jié)果[12]。研究發(fā)現(xiàn)，GSA具有較好的全局優(yōu)化能力，但局部搜索能力較差，在迭代的早期，算法具有較好的尋優(yōu)性能，但在后期會出現(xiàn)在局部最優(yōu)解附近“振蕩”的現(xiàn)象，趨同化嚴(yán)重，易早熟。SQP 是軌跡優(yōu)化中應(yīng)用較為廣泛的一種約束非線性優(yōu)化算法，其收斂速度快，可靠性高，國內(nèi)外許多大型優(yōu)化軟件都是基于該算法編寫的，但該算法需要一個較好的初始點[13]。本研究結(jié)合兩者特點，首先利用GSA 的全局搜索能力進行初始優(yōu)化，將優(yōu)化結(jié)果提供給SQP 作為初始點，這種串行優(yōu)化策略結(jié)合了GSA 和SQP 的優(yōu)點，具有較強的全局和局部搜索能力，同時算法的計算速度和精度都有明顯提高。在改進算法中，由于采用“全局-局部”雙重精度的搜索機制，因此定義為雙精度搜索算法（Double Precision Search Algorithm，DPSA）。算法流程如圖1 所示。

圖1 算法流程圖

3 基于雙精度搜索算法的變論域模糊控制

3.1 等比因子

圖2 不同Φ 值時不同形式的隸屬度函數(shù)

3.2 性能指標(biāo)

VUFC 參數(shù)優(yōu)化是一類特殊的優(yōu)化問題，需要采集系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的選取對優(yōu)化問題求解極為關(guān)鍵，必須準(zhǔn)確反映優(yōu)化目標(biāo)。對于控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建以獲取最優(yōu)控制性能指標(biāo)為依據(jù)?？刂评碚撝谐Ｒ姷闹笜?biāo)有絕對誤差積分指標(biāo)IAE、平方誤差積分指標(biāo)ISE、時間平方誤差乘積積分指標(biāo)ITSE和時間絕對誤差乘積指標(biāo)ITAE。ITAE指標(biāo)與其他幾類指標(biāo)相比能更好反映系統(tǒng)控制品質(zhì)[15-16]，ITAE指標(biāo)目標(biāo)函數(shù)離散形式定義為：

3.3 控制器設(shè)計與分析

利用DPSA 和VUFC 各自的優(yōu)勢，設(shè)計基于雙精度搜索算法的變論域模糊控制器（DPSA-VUFC），系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 基于雙精度搜索算法的變論域模糊控制結(jié)構(gòu)圖

在本設(shè)計中，用變論域模糊控制器中的伸縮因子調(diào)節(jié)論域大小進行外調(diào)節(jié)，而等比因子無法改變論域大小進行內(nèi)調(diào)節(jié)，內(nèi)外結(jié)合。這樣的設(shè)計后，等比因子調(diào)節(jié)不但減輕了伸縮因子的調(diào)節(jié)負(fù)擔(dān)，而且當(dāng)在變論域過程中由于隸屬度函數(shù)發(fā)生改變，以致輸出控制函數(shù)發(fā)生畸變時，表現(xiàn)為外部性能指標(biāo)ITAE變大，等比因子就會配合調(diào)節(jié)，迫使指標(biāo)變小。

目標(biāo)函數(shù)變量及優(yōu)化變量為VUFC 等比因子Φ，DPSA 通過在解空間中搜索調(diào)整Φ值來獲得目標(biāo)函數(shù)最小值，從而求取最優(yōu)Φ值。當(dāng)J(ITAE)值較大時，即誤差e較大，為使誤差e快速進入穩(wěn)定區(qū)域，論域應(yīng)進行一定的擴展，等比因子應(yīng)該配合伸縮因子快速粗調(diào)，即Φ＞1；當(dāng)J(ITAE)值較小時，誤差e接近穩(wěn)定區(qū)域，為了提高控制精度，減少模糊集峰點之間的距離即論域收縮的同時，等比因子配合伸縮因子細(xì)調(diào)節(jié)，即Φ＜1。

定式變論域模糊控制相當(dāng)于保持等比因子不變，只調(diào)整論域的大小，而等比因子無法調(diào)整論域大小，卻可以調(diào)節(jié)隸屬度函數(shù)，兩者結(jié)合使用起到互補的效果，可使模糊控制器的性能接近最優(yōu)。

4 算法仿真

同步發(fā)電機勵磁控制系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)過程中都會直接影響發(fā)電機的性能，優(yōu)良的勵磁系統(tǒng)不僅可以保證高質(zhì)量的電能、發(fā)電機運行可靠性和穩(wěn)定性，而且可以有效地提高發(fā)電機及其相關(guān)電力系統(tǒng)的技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)。勵磁控制系統(tǒng)由放大單元、勵磁機、同步發(fā)電機、測量傳感器和變論域模糊控制單元組成，其模型可用圖4傳遞函數(shù)框圖表示[16-17]。其中K為各環(huán)節(jié)放大系數(shù)，V為環(huán)節(jié)輸出，τ為時間常數(shù)，Vo為系統(tǒng)輸出即為機端電壓。

圖4 勵磁控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖

4.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

超調(diào)作為勵磁系統(tǒng)動態(tài)控制過程中最重要的指標(biāo)，能直接反應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本實驗采用綜合考慮ITAE指標(biāo)與超調(diào)量的目標(biāo)函數(shù)來獲得更優(yōu)的控制品質(zhì)：

等式右邊前一項為指標(biāo)ITAE，后一項為超調(diào)量；μ為相對權(quán)重參數(shù)。

為了驗證DPSA-VUFC 控制方法的有效性，進行同步發(fā)電機勵磁控制系統(tǒng)的Matlab仿真實驗，模型如圖4所示，參數(shù)設(shè)置：KA=10，τA=0.1，KE=1，τE=0.5，KG=0.6，τG=1，KS=1，τS=0.01。

仿真系統(tǒng)實驗按照本文設(shè)計優(yōu)化策略和算法進行。分別采用GA、PSO 和DPSA 作為優(yōu)化器，搜索目標(biāo)函數(shù)。GA 參數(shù)：種群規(guī)模N=40，迭代次數(shù)n=500，交叉率Pc=0.7，變異率Pm=0.05；PSO 參數(shù)：種群規(guī)模N=40，迭代次數(shù)為n=500，c1=c2=2。DPSA 參數(shù)：種群規(guī)模N=30，G0=20，α=1，c1=c2=0.5。

VUFC對于輸入量e和ec，基本論域為[-60,60]和[-10,10]，對于所有輸入輸出變量的離散論域都為[-6,6]。變論域采用將量化因子Ke、Kec分別除以對應(yīng)伸縮因子，比例因子Ku乘以對應(yīng)的伸縮因子的等價處理辦法：Ke=6/60=0.1，Kec=6/10=0.6，Ku=1。相應(yīng)模糊集{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}，控制決策表如表1 所示。伸縮因子依式（4）、（5），參數(shù)取為：c1=0.5，c2=0.8，k1=1.0，k2=1.5，τ1=0.3,τ2=0.9?？刂破鞑捎萌切坞`屬度函數(shù)，并采用加權(quán)平均法將模糊量精確化。

表1 模糊控制規(guī)則表

4.2 實驗結(jié)果分析

考慮到算法的隨機性，為了達(dá)到測試結(jié)果的穩(wěn)定，對于給定模型，每個算法獨立運行 20 次取其統(tǒng)計結(jié)果，包括最小值、最大值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，每次的初始點均由計算機隨機產(chǎn)生。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表2 為20 次重復(fù)實驗不同優(yōu)化方法獲得的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值統(tǒng)計結(jié)果，表3為對應(yīng)超調(diào)量統(tǒng)計結(jié)果。

表2 不同優(yōu)化方法所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值

表3 不同優(yōu)化方法所得超調(diào)量

分析表2 可知，DPSA 得到的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)最小值和最大值大小基本相等，而GA 和PSO 最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)最小值和最大值大小相差大，較DPSA，GA 的差距甚至達(dá)到了102數(shù)量級，并且DPSA 最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)平均值和方差兩項指標(biāo)明顯小于其他兩種方法。通過比較20 次計算的均值可以發(fā)現(xiàn)，DPSA 均值幾乎與最優(yōu)值相同，而GA 和PSO 均值與最優(yōu)值有不小的差距。因此DPSA 得到的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)結(jié)果顯現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢，表明其在方法的穩(wěn)定性上表現(xiàn)突出。由表3 可知，DPSA 得到的超調(diào)量平均值和標(biāo)準(zhǔn)差明顯小于GA 和PSO，進一步說明其在尋優(yōu)過程中的穩(wěn)定性更好。

圖5 和圖6 為3 種不同控制方式搜索20 次獲得的等比因子Φ對應(yīng)的調(diào)節(jié)過程仿真曲線。其中圖5 為20 次結(jié)果中最優(yōu)Φ值對應(yīng)的調(diào)節(jié)過程，圖6 為平均最優(yōu)Φ值對應(yīng)的調(diào)節(jié)過程。兩組仿真曲線表明，采用DPSA-VUFC控制方式在快速性、準(zhǔn)確性上都優(yōu)于其他兩種控制方式，超調(diào)量極低且穩(wěn)定性最好。GA 和PSO 在兩組實驗中表現(xiàn)不夠滿意，是由于算法本身穩(wěn)定性不夠造成的。20 次重復(fù)實驗中，部分優(yōu)化結(jié)果效果良好，部分結(jié)果效果較差，從而影響了算法在參數(shù)尋優(yōu)中的整體表現(xiàn)。而DPSA 穩(wěn)定性高，優(yōu)化效果平均，超調(diào)極小，幾乎沒有震蕩，當(dāng)收斂后即尋優(yōu)結(jié)束后，能夠快速進入穩(wěn)定區(qū)。

圖5 最優(yōu)Φ 值對應(yīng)的調(diào)節(jié)過程

圖6 平均最優(yōu)Φ 值對應(yīng)的調(diào)節(jié)過程

5 結(jié)束語

本文針對定式變論域模糊控制器伸縮因子控制壓力大，控制函數(shù)在遺傳復(fù)制中由于隸屬度函數(shù)變化引起輸入輸出的變化等缺點，設(shè)計了基于雙精度搜索算法的變論域模糊控制器。通過伸縮因子自適應(yīng)調(diào)整模糊控制器論域，從而在不增加模糊控制規(guī)則的前提下使控制精度提高，而等比因子的調(diào)節(jié)分擔(dān)了伸縮因子的調(diào)節(jié)負(fù)擔(dān)，極大程度上克服了由于隸屬度函數(shù)變化問題所帶來的對控制器動態(tài)性能的影響。對比實驗表明DPSA在參數(shù)尋優(yōu)中的搜索能力明顯優(yōu)于其他兩種算法且穩(wěn)定性高，同時DPSA-VUFC 控制方式的收斂速度快，上升和調(diào)節(jié)時間短，其J(NEW)統(tǒng)計值也非常小，控制效果較其他兩種控制方式都要理想。作為一種新型優(yōu)化搜索算法，DPSA 具備在VUFC 參數(shù)優(yōu)化中深入應(yīng)用的潛力。

[1] Cheng Chibin.Fuzzy process control：construction of control charts with fuzzy numbers[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，154（2）：287-303.

[2] Mann G，Gosine R G.Three-dimensional min-max-gravity based fuzzy PID inference analysis and tuning[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，156（2）：300-323.

[3] 李洪興.變論域自適應(yīng)模糊控制器[J].中國科學(xué)：E 輯，1999，29（1）：32-42.

[4] 李洪興.非線性系統(tǒng)的變論域穩(wěn)定自適應(yīng)模糊控制[J].中國科學(xué)：E 輯，2002，32（2）：211-223.

[5] 肖磊，張阿卜.一種基于遺傳算法的新的模糊控制器優(yōu)化方法[J].控制理論與應(yīng)用，2005，24（10）：1-3.

[6] 彭靈志.基于粒子群算法變論域的模糊控制策略研究及其應(yīng)用[D].長沙：中南大學(xué)，2005：1-60.

[7] 余濤，于文俊，李章文.基于Q 學(xué)習(xí)算法的變論域模糊控制新算法[J].控制理論與應(yīng)用，2011，28（11）：1645-1650.

[8] 諸靜.模糊控制理論與系統(tǒng)原理[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005：212-214.

[9] Chen P C，Hsu C F，Lee T T.Fuzzy-identification-based adaptive back stepping control using a self-organizing fuzzy system[J].Soft Comput，2008，13（22）：635-647.

[10] 邵誠，董希文，王曉芳.變論域模糊控制器伸縮因子的選擇方法[J].信息與控制，2010，39（5）：536-541.

[11] 趙云濤，王京，謝新亮，等.基于多層蟻群算法的變論域模糊控制[J].模式識別與人工智能，2009，22（5）.

[12] Rashedi E，Nezamabadi-Pour H，Saryazdi S.GSA：a gravitational search algorithm[J].Information Sciences，2009，179（13）：2232-2248.

[13] 付磊，安效民，覃曌華，等.基于混合遺傳算法的多沖量最優(yōu)變軌[J].航天控制，2013，31（3）：15-19.

[14] 李家煒.一種新的優(yōu)化模糊控制器算法[J].控制理論與應(yīng)用，2002，19（2）：279-281.

[15] Ogatt K.Modern control engineering[M].Upper Saddle River，NJ：Prentice Hall，1990.

[16] 李超順，周建中，肖劍.基于改進引力搜索算法的勵磁控制PID 參數(shù)優(yōu)化[J].華中科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，40（10）：119-122.

[17] IEEE Power Energy ＆ Society.IEEE Std421.1-86 IEEE standard definition for excitation systems for synchronous machines[S].Piscataway：IEEE Press，1986.