尋覓理性的數(shù)學(xué)課堂

江蘇常州市實驗小學(xué)（213000） 張祖潤

數(shù)學(xué)，最為重要的特征就是數(shù)學(xué)的抽象性，概念、判斷、推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的最基本的思維形式。對于兒童，理性的數(shù)學(xué)就是讓兒童學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識世界，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)思想，提煉數(shù)學(xué)精神，并從上述活動中得到經(jīng)驗的累積、思想的深化和心靈的升華。數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵比較豐富，主要包括問題、語言、方法、思想等，數(shù)學(xué)教學(xué)需要通過正確的路徑引導(dǎo)兒童把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，讓兒童正確理解數(shù)學(xué)概念，準(zhǔn)確領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)特有的思維方式，提升對數(shù)學(xué)美的鑒賞，進(jìn)而上升到追求數(shù)學(xué)的理性精神。也只有這樣，才能凸顯出數(shù)學(xué)課程的價值。

回到當(dāng)下，許多教師在備課時往往先思考這樣一個問題：“這節(jié)課設(shè)計什么活動讓學(xué)生探究比較合適呢？如何變換教材中的問題情境才能更貼近學(xué)生的生活實際呢？”這些教學(xué)思考看似將新課程改革理念予以落實，其實容易陷入“只關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的表面形式，而忽略數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解”，沒有真正關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)價值。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該依據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情準(zhǔn)確確定教學(xué)的目標(biāo)價值，然后才考慮通過什么樣的“探究活動”來實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料中有大量便于學(xué)生進(jìn)行操作的內(nèi)容，許多教師便十分關(guān)注學(xué)生“動手實踐、自主探索、合作交流”的活動組織，針對某一知識概念，為操作而操作，為活動而活動，并不計量操作活動的量與度的價值。再者，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價值在于提高兒童的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要體現(xiàn)在“基本的數(shù)學(xué)知識與技能”的掌握與“數(shù)學(xué)的思考方式”的形成上，且以“數(shù)學(xué)的思考方式”為重點，許多課堂教學(xué)便十分關(guān)注某一數(shù)學(xué)內(nèi)容在生活中的原型，引入生活現(xiàn)象的支撐，這是必要的，但數(shù)學(xué)具有理性的內(nèi)核，數(shù)學(xué)不等同于生活，淺層次的鏈接或簡單的疊加容易忽略了這一內(nèi)容在生活中的合理性與真實性，從而淡化了學(xué)生對數(shù)學(xué)理性精神的閱讀與理解。

理性的數(shù)學(xué)課堂需要教師提升對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與把握。因為有什么樣的價值觀就有什么樣的行為方式，有什么樣的行為方式就有什么樣的行動結(jié)果。作為數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義，就需要我們對具體內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘，層層追問。隱藏在客觀事物背后的是什么數(shù)學(xué)規(guī)律？這個數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性是什么？統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識與技能的數(shù)學(xué)思想方法是什么？讓無數(shù)次的叩問逼近數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓教學(xué)的張力在本真意義的統(tǒng)領(lǐng)下變得飽滿起來。

一、尋覓數(shù)學(xué)知識中的“理性精神”——向兒童展示數(shù)學(xué)結(jié)果的本真面目

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是兒童主動的建構(gòu)活動，學(xué)習(xí)應(yīng)與一定的情境相聯(lián)系?；谶@種教學(xué)理念，很多教師總喜歡在課堂上營造一些數(shù)學(xué)教學(xué)情境，但這種情境一般過于注重數(shù)學(xué)知識的外在形式，不能觸及數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。而數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，它是一種過程，更是一種創(chuàng)造，是一種積淀，更是一種傳承，是一種自由，更是一種矛盾。

【案例】“圓的周長”教學(xué)片斷

師：“周三徑一”是我們祖先在長期的生活實踐中總結(jié)得出的，現(xiàn)在我們一起去認(rèn)識它。

師（播放課件）：這幅圖中有哪些圖形？

生1：圓。

生2：六邊形。

生3：正六邊形。

……

師：正六邊形的周長和直徑的比值是幾？這和我們剛才所了解的“周三徑一”的結(jié)論是一樣的。比較圓和正六邊形的周長，有什么發(fā)現(xiàn)？

師：注意觀察，現(xiàn)在我們把圓平均分成了多少份？（12份）連接圓上這12個點，會是個什么圖形？

生4：正十二邊形。（課件展示：連接12個點，成為十二邊形）正十二邊形的周長和正六邊形的周長相比，誰更接近圓的周長？

生5：正十二邊的周長更接近圓的周長。

師：如果繼續(xù)分，得到二十四、四十八邊形，又是怎樣的？我們就這樣一直分下去，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：分得越多，多邊形的周長就越接近圓的周長。

師：那么，正多邊形的周長和直徑的比值就越來越接近——圓的周長和直徑的比值。

（多媒體顯示：劉徽用“割圓術(shù)”求圓的周長和直徑的比值，計算到正九十六邊形時，得到這個多邊形的周長和直徑的比值是3.1416（將板書c/d=3改成c/d=3.141））

師：我們一起來感受一下祖沖之的研究過程，在這樣一個大圓里,祖沖之分割出正12288邊形。這個多邊形每條邊的長度是0.852毫米。雖然如此，祖沖之并沒有停止，他繼續(xù)分割,得到正24576邊形,每條邊的長大約是0.4毫米……這時，多邊形和圓會怎么樣？

生7：會貼得很緊。

師：求出的多邊形的周長和直徑的比值就會——

生8：非常接近圓的周長和直徑的比值。

師：請同學(xué)們大聲讀出祖沖之的研究成果。

……

兒童閱讀數(shù)學(xué)知識、習(xí)得數(shù)學(xué)技能時，他們是多么渴望知道數(shù)學(xué)知識的來源，了解數(shù)學(xué)知識的本來面目，想探索數(shù)學(xué)知識存在的原因是什么、產(chǎn)生的過程又是怎樣的，從而觸摸到數(shù)學(xué)的“理性精神”。因而數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該極力讓兒童觸及數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，感受來源，體驗產(chǎn)生過程，感受數(shù)學(xué)的博大與前人的情懷。教師借助畫圖軟件呈現(xiàn)劉徽割圓術(shù)，用多媒體播放祖沖之的偉大成就，引領(lǐng)學(xué)生了解圓周率的探索歷程，充實了數(shù)學(xué)活動的內(nèi)容，拓寬了學(xué)生探索的空間。學(xué)生通過觀察、聯(lián)想、猜測、推理，在了解知識的本來面目之后，感受到數(shù)學(xué)中的極限思想，體悟到數(shù)學(xué)研究的魅力。感受發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形的周長越接近圓的周長，正多邊形的周長與直徑的比值越接近圓的周長與直徑的比值，圓周率的探索活動，既是一種領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的過程，更是一個體驗數(shù)學(xué)理性精神的過程。

作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該深刻理解小學(xué)數(shù)學(xué)的知識體系，能夠從數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、實踐與綜合應(yīng)用等方面通曉小學(xué)數(shù)學(xué)全部的教學(xué)內(nèi)容，逐步了解各部分滲透的數(shù)學(xué)思想方法，避免顧此失彼。斯苗兒老師曾經(jīng)說過：“一些課上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教師本身的數(shù)學(xué)功底?！币虼?，我們應(yīng)該做到從整體上把握教材，認(rèn)清教材的特點，理清教材的思路，梳清教材的脈絡(luò)，從整體上構(gòu)建教材的數(shù)學(xué)思想的立體框架。在研讀教材時，要多問自己幾個為什么，如：怎么樣才能引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深層次的數(shù)學(xué)思考？如何引導(dǎo)學(xué)生主動探究新知識？怎樣根據(jù)教材的編排意圖適時地滲透數(shù)學(xué)思想方法？……努力讓數(shù)學(xué)課本上看得見的思維結(jié)果折射出看不到的思維活動過程，弄清新知識的形成過程，將教材的編排思想內(nèi)化為自己的教學(xué)思想，找準(zhǔn)新知識教學(xué)的生長點。

二、尋覓過程體驗中的“理性精神”——向兒童呈現(xiàn)數(shù)學(xué)成長的本真價值

數(shù)學(xué)的理性精神往往沉積、凝聚在數(shù)學(xué)結(jié)論的背后，常常滲透在兒童獲得知識和解決問題的過程中。著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑，都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。我們應(yīng)該有效地引導(dǎo)兒童經(jīng)歷知識形成的過程，讓兒童在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，體驗到知識背后所承載的方法、蘊涵的思想。只有如此，兒童所掌握的知識才是鮮活的，這樣的學(xué)習(xí)才是充滿智慧的學(xué)習(xí)，兒童在經(jīng)歷思想觀念的過程中去感受和理解數(shù)學(xué)思想，從而對數(shù)學(xué)知識的理解超越機(jī)械的水平，達(dá)到理解和領(lǐng)悟的水平。

【案例】“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法”教學(xué)片斷（2014年江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)課評比一等獎）

1.創(chuàng)設(shè)情境，產(chǎn)生問題

師：秋天到了，果園豐收了。小熊幫媽媽搬迷你南瓜，你看到了什么？

師：現(xiàn)在一共有多少個南瓜？會說一個算式嗎？（24乘2等于48個）小熊繼續(xù)搬，現(xiàn)在有幾箱啦？有多少個呢？

師（出示例題圖）：小熊還沒搬完，它又搬了2箱，現(xiàn)在一共有多少個呢？

師：這個問題怎么解決呢？會列算式嗎？我們需要算一算。

2.思考算法，體悟多樣

師：你想怎樣算？會把自己的想法寫下來嗎？（展示生的不同算法）

師：給大家介紹一下，你們是怎樣算的？（師在生解釋的過程中將對應(yīng)的圖圈一圈）

師：同學(xué)們真會思考，想到了這么多算法，而且都是轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的知識來解決的！

3.主動嘗試，建構(gòu)豎式

師：今天，我們再一起來學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，這個豎式會算嗎？先算什么？聯(lián)系我們以前學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算想一想，再拿出作業(yè)紙試一試。

（生嘗試?yán)^續(xù)算，師巡視收集典型的寫法）

師：仔細(xì)觀察，這兩個豎式都對嗎？

師：第2個豎式對嗎？它是怎樣算的呢？在小組里討論。

生1：用 10乘 24，得到 240，再把 48和 240加起來，得到288。

師：用十位上的1乘24，得到24個十，也就是240。

師：再來看剛才這個有問題的豎式，你知道錯誤原因是什么嗎？

生2：24的位置寫錯了。

生3：24的位置寫錯了，用十位上的1乘24，得到的是24個十，這樣寫變成24個一了！

師：那這個24應(yīng)該放哪呢？

生4：放在百位和十位。

師：按照大家的建議，我把它往前移，相同數(shù)位相加，得到288。（把錯誤的豎式改正確）現(xiàn)在它表示的也是24個十了。所以這兩種豎式的寫法都是對的。為了書寫簡便，這里的0我們一般省略不寫。記住這位新朋友了嗎？

4.回顧算法，比較溝通

師：回顧一下研究過程，先分三步口算出了24乘12的得數(shù)，再用豎式計算出結(jié)果。比較一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生5：我發(fā)現(xiàn)它們的過程都是一樣的，先算出48，再算出240，最后把它們加起來，就是288。

師：是呀，48求的是2箱的個數(shù)，24個十求的是10箱的個數(shù)，把它們加起來，就是12箱的個數(shù)。原來它們的計算道理都是一樣的，只不過一個是分步算式，一個是豎式形式，都是求幾個幾加幾個幾十。你們覺得哪一種更方便？

生6：用豎式比較方便，口算的三步寫起來比較麻煩。

5.聯(lián)系生活，內(nèi)化算理

師：好學(xué)的小熊也學(xué)會了筆算，他還幫媽媽解決了一個問題“媽媽買21瓶蜂蜜，每瓶23元，一共多少元？”

師：小熊不知道自己算得對不對，我們可以幫他驗算。（生獨立驗算）

師：這時候它的小伙伴跳跳虎來了，他可看不懂這個豎式，每一步求的是什么呢？你能跟跳跳虎說說嗎？

離開數(shù)學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不管多么華麗，都是形式主義，不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成，更為嚴(yán)重的是會阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思考的形成。面對逐漸走向理性化的數(shù)學(xué)課程，既要讓課堂體現(xiàn)生活化、情境化、趣味化，又要讓學(xué)生學(xué)習(xí)真正的數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。案例中，教師放手讓學(xué)生獨立嘗試，在嘗試的過程中，學(xué)生自覺地把新知轉(zhuǎn)化為舊知，自主解決了新問題，逐步感受到用轉(zhuǎn)化解決問題的數(shù)學(xué)思想方法。讓學(xué)生聯(lián)系已有的兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算經(jīng)驗，自主探究豎式的計算過程，引導(dǎo)學(xué)生在交流中去發(fā)現(xiàn)、思索、比較、領(lǐng)悟，通過舊知遷移“用個位上的2乘24”，自主生成“用十位上的1乘24”。再通過典型資源的收集，豎式的對錯辨析，從而理解第二部分積的定位，幫助學(xué)生突破本課的知識難點，在理解算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步感受豎式的優(yōu)化。同時在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了豎式計算與橫式計算之間的聯(lián)系與區(qū)別“計算方法相同，計算原理相同，書寫形式不同”，既溝通了算法算理的關(guān)系，又突出了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的本質(zhì)，使學(xué)生理解了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。在鞏固練習(xí)中，充分利用學(xué)生的已有生活經(jīng)驗，再將豎式的計算過程與生活情境聯(lián)結(jié)起來，讓學(xué)生在情境中加深對兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的理解，體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值。同時也使學(xué)生進(jìn)一步感悟整數(shù)乘法的核心要素，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。

三、尋覓數(shù)學(xué)思維中的“理性精神”——向兒童顯現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的本真內(nèi)涵

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是要學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中要引導(dǎo)兒童將思維不斷激發(fā)、將思考不斷深入，應(yīng)該引導(dǎo)兒童由“學(xué)會數(shù)學(xué)地思維”向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”的方向發(fā)展，關(guān)注兒童數(shù)學(xué)思維中的“理性精神”，設(shè)法改變兒童的思維方式，正確將兒童引向數(shù)學(xué)思維中的“理性精神”，讓學(xué)習(xí)與思考共隨，讓方法與精神同存，及時優(yōu)化思維方式，在思維中體會數(shù)學(xué)的巨大力量，直抵?jǐn)?shù)學(xué)的本質(zhì)。

比如在一年級教材中，會出現(xiàn)這樣的習(xí)題：

雖然這些題目只是要求在空格中填進(jìn)一個合適的數(shù)，但教師應(yīng)該明白，若把□換成x，則上面的題目就變成了不等式，這時x就是一個變元符號，就會有一定的取值范圍。這一個“位置占有者”的作用就會凸顯出來。因此可以引導(dǎo)學(xué)生思考、討論這樣的問題：□內(nèi)最大能填幾？最小呢？最多能填幾個數(shù)？同樣，在此基礎(chǔ)上還可以進(jìn)一步深化：□＋○＜7，可以填些什么數(shù)？這樣的處理更好滲透了符號變元這一數(shù)學(xué)本質(zhì)，教學(xué)內(nèi)容的思維價值也顯露出來，能夠更深層次地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，從而獲得思想的發(fā)展與提升。

【案例】“認(rèn)識整億數(shù)”的教學(xué)片斷

師：同學(xué)們，最后做一個游戲。我們今天來玩一個“變數(shù)游戲”，這里有一個數(shù)字卡片2，如果放到數(shù)位順序表這個位置，表示多少？

生1：2000000000。（師對準(zhǔn)數(shù)位順序表板書）

師：你也能像老師這樣放一放，變出一個數(shù)嗎？看誰變得多。（展示若干不同的數(shù)據(jù)）思考一下，同樣一個2，為什么會變出這么多不同的數(shù)？

生2：在不同的數(shù)位上表示的大小也不同。

師：數(shù)學(xué)上一共有10個數(shù)字，如果這10個數(shù)字放到這么多的數(shù)位上，能組成多少個數(shù)呢？（無數(shù)個數(shù)）這正是數(shù)字的奇妙之處，也是數(shù)學(xué)的奧秘所在。

師：剛才放了這么多數(shù)，最大的數(shù)是200000000000，除了千億，我們知道還有比它更大的計數(shù)單位，但你有沒有想過計數(shù)單位除了“個”外，會不會還有比“個”更小的計數(shù)單位呢？

生3：我覺得應(yīng)該有，在個位右邊應(yīng)該還有比“個”更小的計數(shù)單位。

認(rèn)數(shù)背后有“理性精神”嗎？認(rèn)數(shù)的本質(zhì)是什么？兒童為什么要認(rèn)數(shù)呢？為什么要有計數(shù)單位呢？十進(jìn)制的原理價值在哪？劉加霞老師指出學(xué)習(xí)自然數(shù)的兩個核心價值：進(jìn)制和位值制。同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的“位置值”的值也不同。案例中巧妙的變數(shù)游戲讓學(xué)生初步感受到位值原理的價值，感受到數(shù)學(xué)的神奇與偉大。計數(shù)單位的左延與右拓，給予學(xué)生思考的空間，從精神的源頭賦予探索的方向，讓學(xué)生主動將思維的觸角指向數(shù)學(xué)的背后，努力去思考數(shù)學(xué)知識中所蘊藏的價值力量，感受“認(rèn)數(shù)知識”后的精妙的“理性精神”。

數(shù)學(xué)有一種“自我生長”的力量，一步步推理，客觀、冷峻、嚴(yán)密，仿佛她不依靠人類的探索，而是一直守候在那里，等著被人們發(fā)現(xiàn)。我們的數(shù)學(xué)課堂就應(yīng)該讓兒童去感知數(shù)學(xué)那特有的眼光和素養(yǎng)，回歸到數(shù)學(xué)的思想、方法、精神等特質(zhì)上，觸摸數(shù)學(xué)的“理性精神”。微風(fēng)人獨立，驀然一回首，那數(shù)學(xué)的“理性精神”將永存兒童心間。