局部區(qū)域三維坐標(biāo)變換的兩步解法

胡 川，陳 義，2，朱衛(wèi)東

（1.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092；3.上海海洋大學(xué) 海洋科學(xué)學(xué)院，上海200120）

將三維空間中的一系列點(diǎn)從一套坐標(biāo)系（原系統(tǒng)）變換到另一套坐標(biāo)系（目標(biāo)系統(tǒng)）的行為稱為三維坐標(biāo)變換.要完成該行為首先需要建立變換模型.在測(cè)繪領(lǐng)域，布爾薩（Bursa-Wolf）模型，莫洛登斯基（Molodensky）模型和武測(cè)模型是比較常用的3種七參數(shù)小角度三維坐標(biāo)變換模型［1-2］.具有大旋轉(zhuǎn)角的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)估計(jì)可以參考文獻(xiàn)［3］.七參數(shù)是指3個(gè)平移參數(shù)，3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個(gè)尺度參數(shù).三維坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)是通過(guò)一系列公共點(diǎn)和某種數(shù)學(xué)準(zhǔn)則求取這7個(gè)變換參數(shù)的最佳值［4］.但變換的最終目的是求取非公共點(diǎn)在目標(biāo)系統(tǒng)中的三維坐標(biāo).當(dāng)公共點(diǎn)≥3個(gè)時(shí)，通常采用最小二乘法（least squares，LS）求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的最佳估計(jì)值.這種解法通常假設(shè)觀測(cè)量的隨機(jī)誤差僅存在于目標(biāo)系統(tǒng)的公共點(diǎn)中，而原系統(tǒng)中的坐標(biāo)是準(zhǔn)確已知的.事實(shí)上，原系統(tǒng)坐標(biāo)也是通過(guò)觀測(cè)計(jì)算得到的，其坐標(biāo)也應(yīng)該含有隨機(jī)誤差.用整體最小二乘法（total least squares，TLS）估計(jì)轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)同時(shí)顧及了兩套坐標(biāo)系統(tǒng)的誤差［4-8］.盡管兩套坐標(biāo)公共點(diǎn)的誤差得以消除，但是公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)的相關(guān)性沒(méi)有得到考慮.李微曉等［1］將最小二乘配置法引入到TLS平差中，使得當(dāng)公共點(diǎn)與非公共點(diǎn)具有較強(qiáng)相關(guān)性時(shí)，坐標(biāo)變換精度得到顯著提高.但是該方法只考慮了系數(shù)矩陣的部分誤差［9］，這種方法屬于近似無(wú)縫坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法.針對(duì)該問(wèn)題，李博峰提出了無(wú)縫三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型［9-11］.無(wú)縫模型不僅考慮了上述相關(guān)性，而且顧及到了原系統(tǒng)中非公共點(diǎn)的誤差.

在 應(yīng) 用 GNSS （global navigation satellite system）技術(shù)建立各種小區(qū)域控制網(wǎng)時(shí)通常采用Bursa-Wolf模型進(jìn)行三維變換.由于此時(shí)控制點(diǎn)分布范圍較小，平移參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)間存在較強(qiáng)的相關(guān)性使得解算模型病態(tài)［2］.文獻(xiàn)［2］采用了只對(duì)平移參數(shù)正則化的病態(tài)最小二乘法（ill-posed least squares，ILS），提高了外圍點(diǎn)的轉(zhuǎn)換精度.此時(shí)，為顧及原系統(tǒng)的誤差需要引入病態(tài)整體最小二乘法（ill-posed total least squares，ITLS）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，但I(xiàn)TLS解算比較復(fù)雜.由于TLS的計(jì)算過(guò)程屬于一個(gè)降正則化的過(guò)程，模型更容易出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，其解算比LS估計(jì)更不穩(wěn)定［12-14］.因此，研究一種既能避免解算復(fù)雜ITLS問(wèn)題又能提高變換精度的方法非常具有實(shí)際意義.

本文提出局部區(qū)域三維坐標(biāo)變換的解算方法，該方法將旋轉(zhuǎn)參數(shù)與平移參數(shù)和尺度參數(shù)分開(kāi)計(jì)算，去除旋轉(zhuǎn)參數(shù)與平移參數(shù)之間的相關(guān)性，避免解算復(fù)雜的病態(tài)TLS問(wèn)題.旋轉(zhuǎn)參數(shù)采用LS法進(jìn)行解算，尺度和平移參數(shù)采用加權(quán)整體最小二乘法（weighted total least squares，WTLS）進(jìn)行估計(jì).采用模擬變換數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文方法的有效性，與LS和TLS法比較，該方法明顯提高了尺度參數(shù)估計(jì)精度，外圍坐標(biāo)變換精度明顯得到提高.

1 三維坐標(biāo)變換的兩步解法

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是微小量時(shí)，Bursa-Wolf模型可以通過(guò)下式來(lái)描述：

式中：bt=［Xti，Yti，Zti］T表示目標(biāo)系統(tǒng)中第i個(gè)公共點(diǎn)；bo=［Xoi，Yoi，Zoi］T表示原系統(tǒng)中第i個(gè)公共點(diǎn)；ΔC=［ΔX，ΔY，ΔZ］T表示平移參數(shù)；R表示旋轉(zhuǎn)矩陣；δμ表示尺度參數(shù)；εX，εY，εZ表示旋轉(zhuǎn)參數(shù).由于建立小區(qū)域控制網(wǎng)時(shí)，公共點(diǎn)不可能均勻地分布在全球的不同區(qū)域，直接采用上述Bursa-Wolf模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和平移參數(shù)之間存在非常強(qiáng)的相關(guān)性［2］，容易造成解算過(guò)程出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，參數(shù)估計(jì)結(jié)果不穩(wěn)定，極小的觀測(cè)誤差都會(huì)引起極大的估計(jì)誤差.這說(shuō)明觀測(cè)數(shù)據(jù)和模型之間出現(xiàn)了矛盾，模型不完全適合此時(shí)的數(shù)據(jù)處理需求.如果將原始Bursa-Wolf模型進(jìn)行改造，將平移參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)分開(kāi)估計(jì)即可解決該矛盾，從而消除估計(jì)過(guò)程中參數(shù)之間的相關(guān)性.

平移參數(shù)可以在旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度參數(shù)得到估計(jì)后計(jì)算而得［15］.為了能夠先估計(jì)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，需要先將平移參數(shù)從模型中消除.消除平移參數(shù)后的Bursa-Wolf模型可以表達(dá)為［7］

式中：Y=PmΛY；A=PmΛA；Pm是m個(gè)公共點(diǎn)之間的權(quán)矩陣；Λ=Im-（1TmP2m1m）-1（1m1TmP2m）是冪等矩陣（idempotent matrix）；1m表示元素值全等于1，大小為m×1的列向量.

在一次確定的變換過(guò)程中，如果尺度參數(shù)不變，并且不考慮控制點(diǎn)各坐標(biāo)分量之間的相關(guān)性，TLS法和LS法將獲得相同的旋轉(zhuǎn)參數(shù)估計(jì)結(jié)果［7］.盡管小旋轉(zhuǎn)角的Bursa-Wolf模型是一近似模型，但在理論上其仍應(yīng)該滿足正交變換條件，因此該結(jié)論在此也成立.這些結(jié)論說(shuō)明Bursa-Wolf模型的各參數(shù)是可以分開(kāi)進(jìn)行估計(jì)的，證明了兩步法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的合理性.旋轉(zhuǎn)參數(shù)可以通過(guò)對(duì)如下模型采用LS估計(jì)得到：

式中：y=［XtiYtiZti］T=vec（Y）；A3是由A中元素重組而成；χ=［εXεYεZ］T表示旋轉(zhuǎn)參數(shù)矢量.其實(shí)該處也可以用TLS進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，但考慮到TLS和LS估計(jì)旋轉(zhuǎn)參數(shù)具有等價(jià)性，為了簡(jiǎn)化計(jì)算采用了LS估計(jì).

很顯然，如果直接采用LS法估計(jì)模型（1）的參數(shù)，通過(guò)法方程系數(shù)矩陣可以計(jì)算參數(shù)之間的驗(yàn)后方差-協(xié)方差矩陣.通過(guò)前面的分析知道，平移參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)的協(xié)方差值此時(shí)不全等于零，存在相關(guān)性.這種相關(guān)性可以理解為是由平差模型病態(tài)引起的.采用LS對(duì)模型（5）進(jìn)行估計(jì)時(shí)可以得到旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間的方差-協(xié)方差矩陣.采用TLS對(duì)模型（6）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)可以得到尺度參數(shù)和平移參數(shù)之間的方差-協(xié)方差矩陣.由于此時(shí)旋轉(zhuǎn)參數(shù)被看作是常數(shù)，因此不存在旋轉(zhuǎn)參數(shù)和尺度參數(shù)與平移參數(shù)之間的協(xié)方差值.這說(shuō)明計(jì)算過(guò)程消除了旋轉(zhuǎn)參數(shù)與平移參數(shù)的相關(guān)性，避免了解算ITLS問(wèn)題.

在求得旋轉(zhuǎn)參數(shù)以后，將旋轉(zhuǎn)參數(shù)回代到原始Bursa-Wolf模型（1）中，可以得到只包含尺度參數(shù)和平移參數(shù)的新模型，即

式中：坐標(biāo)矢量y中同時(shí)包含有目標(biāo)系統(tǒng)和原系統(tǒng)的坐標(biāo)，根據(jù)誤差傳播定律可以得到其方差-協(xié)方差矩陣，即

式中?表示矩陣的克羅內(nèi)克積.

系數(shù)矩陣A4不僅含有誤差而且具有較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)特性，這種結(jié)構(gòu)性表現(xiàn)為矩陣中不同位置出現(xiàn)了相同元素值，而且包含有大量的常數(shù)元素.WTLS法可以同時(shí)處理系數(shù)矩陣的誤差和結(jié)構(gòu)問(wèn)題.在已知尺度參數(shù)和平移參數(shù)的近似值情況下，參數(shù)ξ的估計(jì)公式可以表達(dá)為［16］

參數(shù)估計(jì)過(guò)程是一個(gè)無(wú)限逼近的過(guò)程，需要不斷迭代計(jì)算直到收斂為止.

2 兩步法計(jì)算變換參數(shù)的流程

根據(jù)前面的討論，兩步法計(jì)算局部區(qū)域三維坐標(biāo)變換參數(shù)的流程可以概括如下：① 根據(jù)給定公共點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)公式（3）和（4）分別計(jì)算Y和A；② 計(jì)算冪等矩陣Λ=Im-（1TmP2m1m）-1（1m1TmP2m）；③ 計(jì)算Y=PmΛY和A=PmΛA；④采用LS法計(jì)算旋轉(zhuǎn)參數(shù)χ＾=（AT3A3）-1AT3y；⑤ 根據(jù)參數(shù)的估計(jì)值重組矩陣Ξ；⑥ 根據(jù)公式（7）計(jì)算新的協(xié)方差矩陣Qy；⑦ 在模型（6）基礎(chǔ)上采用LS法估計(jì)參數(shù)ξ（0）；⑧ 令υ=0，用公式（8）計(jì)算參數(shù)的第一次迭代值ξ（1）；⑨ 采用公式（10）計(jì)算新的權(quán)矩陣Q-1Y；⑩ 將⑨的結(jié)果代入到公式（9）中計(jì)算去正則因子υ；○11 將⑩得到的去正則因子帶入到公式（8）中計(jì)算新的參數(shù)估計(jì)值；○12 與前一次估計(jì)的尺度參數(shù)和平移參數(shù)進(jìn)行比較，如果兩次之差的2階范數(shù)≤10-10，則停止迭代.否則重復(fù)⑨到○11，直到滿足上述條件為止；○13 輸出參數(shù)估計(jì)值.

3 模擬實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)模擬

原系統(tǒng)坐標(biāo)模擬：在 WGS-84橢球上，從北緯20°，東經(jīng)110°度開(kāi)始，分別向北和向東每間隔2km取1個(gè)點(diǎn)，總共121個(gè)點(diǎn)，如圖1所示.將2km對(duì)應(yīng)的距離轉(zhuǎn)換成角度值，采用WGS-84橢球參數(shù)計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的三維直角坐標(biāo)值.選擇靠?jī)?nèi)部的8個(gè)點(diǎn)作為控制點(diǎn)（公共點(diǎn)），其余的點(diǎn)作為待轉(zhuǎn)換點(diǎn)，有1個(gè)待轉(zhuǎn)換點(diǎn)在控制點(diǎn)內(nèi)部，其余點(diǎn)在控制點(diǎn)外圍，如圖1所示.

目標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)模擬：將前面得到的三維直角坐標(biāo)采用如公式（1）描述的Bursa-Wolf模型轉(zhuǎn)換到目標(biāo)系統(tǒng)中.根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)將轉(zhuǎn)換參數(shù)設(shè)計(jì)為：εX=0.000 4rad，εY=0.000 5rad，εZ=0.000 6rad，δμ=2×10-10，ΔX=-100m，ΔY=200m，ΔZ=-300 m.

觀測(cè)值模擬：對(duì)公共點(diǎn)在兩套系統(tǒng)中的3個(gè)坐標(biāo)分量和原系統(tǒng)中待轉(zhuǎn)換點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)分量都附加上期望為0，中誤差為0.06m的隨機(jī)誤差.

3.2 實(shí)驗(yàn)對(duì)比與分析

根據(jù)上節(jié)模擬的觀測(cè)值，采用LS法、TLS法和本文給出的兩步法估計(jì)七參數(shù).得到估計(jì)參數(shù)后將原系統(tǒng)中的非公共點(diǎn)坐標(biāo)利用估計(jì)的參數(shù)和Bursa-Wolf模型轉(zhuǎn)換到目標(biāo)系統(tǒng)中.為了給出具有統(tǒng)計(jì)意義的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，將3種方法每次獲得的參數(shù)估計(jì)結(jié)果與真值相減求得絕對(duì)誤差，然后將差值與真值相比求得相對(duì)誤差，計(jì)算公式分別為

其中，θ代表7個(gè)參數(shù)中的任意一個(gè).

3種方法都計(jì)算1 000次，按公式（11）和（12）計(jì)算絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，并將1 000次的平均值列于表1中.TLS法和LS法計(jì)算1 000次得到的驗(yàn)后方差分量估計(jì)結(jié)果制成圖2.從表1可以看出，與LS和TLS相比較兩步法主要提高了尺度參數(shù)和平移參數(shù)的估計(jì)精度，特別是尺度參數(shù)的精度.由于TLS法是一個(gè)去正則化的過(guò)程，在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中模型病態(tài)較LS法更為嚴(yán)重，同時(shí)解TLS法需要迭代解算，因此當(dāng)設(shè)置較高的收斂條件時(shí)TLS法可能出現(xiàn)不收斂.因此，本文在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中設(shè)置了較大的收斂閾值，兩次之差小于10-6即可.這可以解釋為什么TLS法和LS法的參數(shù)估值差異非常小.

圖1 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)位分布Fig.1 Distribution of simulate points

表1 不同方法參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較Tab.1 Comparison of estimated parameters among two step，least squares and total least squares

圖2 最小二乘法和整體最小二乘法方差分量估計(jì)結(jié)果比較Fig.2 Comparison of estimated variance component between LS and TLS

從圖2可以明顯發(fā)現(xiàn)TLS法獲得的方差分量估計(jì)值更接近模擬先驗(yàn)值.由于本文沒(méi)有給出驗(yàn)后方差分量計(jì)算公式，如果需要可以采用TLS的計(jì)算結(jié)果.TLS法采用文獻(xiàn)［16］提供的公式計(jì)算，無(wú)偏計(jì)算公式可以參考文獻(xiàn)［17-18］.LS法采用傳統(tǒng)的計(jì)算方法.

為統(tǒng)計(jì)3種方法獲得的變換參數(shù)對(duì)變換結(jié)果的影響，需要對(duì)變換點(diǎn)的點(diǎn)位誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.變換點(diǎn)三坐標(biāo)分量的平均標(biāo)準(zhǔn)差可以按下式計(jì)算：

則可以得到變換點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差計(jì)算公式為

式中k表示轉(zhuǎn)換點(diǎn)的總數(shù).當(dāng)取k=113時(shí)，即將圖1中所有五角星標(biāo)記的點(diǎn)放在一起統(tǒng)計(jì).根據(jù)兩步法，LS法和TLS法估計(jì)的參數(shù)將這些點(diǎn)從原系統(tǒng)變換到目標(biāo)系統(tǒng)中，采用式（16）計(jì)算中誤差，模擬1 000次.圖3表達(dá)了這3種方法的模擬結(jié)果.圖4描述了兩步解得到的中誤差與LS法和TLS法的差值.這兩幅圖說(shuō)明，兩步法的變換結(jié)果在統(tǒng)計(jì)上優(yōu)于LS法和TLS法.將圖1中的模擬點(diǎn)從內(nèi)到外分成一個(gè)內(nèi)部點(diǎn)和外面5圈，第1圈即用于求取變換參數(shù)的公共點(diǎn)（共8個(gè)），接著分別是第2圈到第5圈，圈與圈之間間隔2km.此時(shí)k分別等于16，24，32和40.除公共點(diǎn)外，其余每圈都按公式（16）進(jìn)行中誤差計(jì)算，模擬1 000次，將平均值繪制成如圖5所示的柱狀圖.從圖中可以看出，對(duì)于內(nèi)部點(diǎn)，3種方法的變換精度是一致的；當(dāng)隨著變換點(diǎn)離控制點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)，盡管整體變換精度在下降，但是兩步解法的精度始終比其他2種方法高，距離越遠(yuǎn)，精度提高得越明顯.

圖3 兩步解、最小二乘解和整體最小二乘解轉(zhuǎn)換的內(nèi)、外圍坐標(biāo)的中誤差Fig.3 Mean square errors of inside and outside transformed coordinates with two step，LS and TLS accordingly

圖4 兩步解、最小二乘解和整體最小二乘解轉(zhuǎn)換的內(nèi)、外圍坐標(biāo)的中誤差之差Fig.4 Difference of mean square errors of inside and outside transformed coordinates between two step，LS and TLS

4 結(jié)論

（1）雖然用整體最小二乘法求取的小區(qū)域三維坐標(biāo)變換參數(shù)同最小二乘法差異較小，但其能夠獲得更為準(zhǔn)確的驗(yàn)后方差估計(jì)結(jié)果.

（2）兩步解法相對(duì)于LS法和TLS法，主要提高了尺度參數(shù)和平移參數(shù)的估計(jì)精度，特別是尺度參數(shù).

圖5 兩步解、最小二乘解和整體最小二乘解轉(zhuǎn)換的內(nèi)部點(diǎn)和外圍不同圈層坐標(biāo)的平均中誤差Fig.5 Average of mean square errors of transformed coordinates between two step， LS and TLS located at different circles from inside to outside accordingly

（3）兩步解法同文獻(xiàn)［2］所描述的方法一樣，都能夠提高外圍點(diǎn)的變換精度，但是兩步解法考慮了原系統(tǒng)坐標(biāo)的誤差.

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