帶平方根俘獲率可變生物種群模型的局部穩(wěn)定性研究

趙沙沙，孫福芹（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津　300222）

帶平方根俘獲率可變生物種群模型的局部穩(wěn)定性研究

趙沙沙，孫福芹
（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

摘要：基于帶平方根俘獲率的可變生物種群模型的局部穩(wěn)定性問題，采用局部分析方法，對平衡點(diǎn)處模型雅可比矩陣特征根進(jìn)行了研究，進(jìn)而得出平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性情況。

關(guān)鍵詞：局部穩(wěn)定性；平方根俘獲率；可變生物種群模型

種群生態(tài)學(xué)是描述種群與環(huán)境以及各種群之間相互作用的動力學(xué)關(guān)系學(xué)科。二種群之間相互結(jié)合和相互作用的類型不必是固定的，但是它或許隨著種群密度、環(huán)境條件等因素變化而變化。例如捕食-食餌模型就屬于這種情形，它會隨著時間和空間的變化而變化。近年來，由非常值函數(shù)描述的條件相互作用的種群模型已然成為研究的焦點(diǎn)，見文獻(xiàn)[1-3]。從數(shù)學(xué)或生物學(xué)的觀點(diǎn)看，這些研究彰顯了研究該種群的重要性和實(shí)用性。研究者一致認(rèn)為一個種群的存在意味著與另一個同一環(huán)境下的種群的相互消耗和相互補(bǔ)充。因此，它們中間的關(guān)系應(yīng)該由一個根據(jù)種群密度或環(huán)境參數(shù)而決定的正的或非負(fù)的連續(xù)函數(shù)來描述。本文在文獻(xiàn)[1-7]研究的基礎(chǔ)上，研究一個帶平方根俘獲率種群模型。該模型包含一個線性α-函數(shù)（描述生物之間的可變作用）以及由外部刺激引起的俘獲率函數(shù)。根據(jù)模型的雅可比矩陣的特征根與零傾線x和y斜截式的斜率，對物種間的相互作用進(jìn)行進(jìn)一步研究。這些結(jié)果將為研究模型的分支現(xiàn)象與周期解的存在性打下良好的基礎(chǔ)。

1　帶平方根俘獲率的可變生物種群模型

文獻(xiàn)[1]研究了如下二生物種群間的具有可變相互影響的模型：

由生物學(xué)意義，式中x（t）≥0、y（t）≥0分別表示物種1與物種2的總數(shù)量密度，其余參數(shù)均為正數(shù)。a、b、c、d表示物種所處環(huán)境的變化參數(shù)，且a＞0、b＞0、c＞0、d＞0；k1、k2分別為2個物種的競爭系數(shù)；r1、r2分別表示物種1與物種2的固有生長率；h表示物種1的俘獲率最大值，且e表示其俘獲率達(dá)到最大值一半時物種1的總數(shù)量密度。若e=0且h≠0，可以得到一個恒定的俘獲率函數(shù)H（x）=h。若h=0時，沒有俘獲率，見文獻(xiàn)[4]。一般地，模型（1）可以推廣為如下模型：

式中：γ> 0稱為Hassel-Varley常數(shù)。在捕食者不能聚集成群的捕食-食餌模型中，往往取γ=1，即所謂的比率型捕食-食餌模型（1）；在陸地上能聚集成緊密且有固定數(shù)量的種群，往往假設(shè)γ=1。本文考慮γ=1 2

2的情形，即帶平方根俘獲率的模型：

本模型包含了物種1的平方根俘獲率函數(shù)：

2　模型平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性與主要結(jié)論

系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣為：

經(jīng)計(jì)算可知，系統(tǒng)（1）有如下平衡點(diǎn)：P（00，0）、P1（x1，0）、P（20，r2）、P（3x3，y3），其中x1＞0，x3＞0，y3＞0。

k2

當(dāng)y=0時，系統(tǒng)（1）的解設(shè)為P1（x1，0），即P1（x1，0）為以下方程的解：

共存平衡點(diǎn)P3（x3，y3）為以下方程組的解：

2.1模型邊界平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與主要結(jié)論

在P0（0，0）處，系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣為：

則由│λE - J（0，0）│=0可得，矩陣的特征根為：

在P1（x1，0）處，系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣為：

由式（4）可知

則上式可變?yōu)椋?/p>

該矩陣的特征根為：

在P（20，r2）處，系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣為：

k2

則其特征根為：

為了方便，定義

本文主要結(jié)論如下：

定理1系統(tǒng)（2）邊界平衡點(diǎn)有以下局部穩(wěn)定性：

（a）在P（00，0）處，若h＜r1姨e，則P（00，0）為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；反之，為鞍點(diǎn)。P0既不是中心點(diǎn)也不是焦點(diǎn)。

3

軇

（b）在P（1x1，0）處，若h＜2k1e2時，當(dāng)x1＜x時，P1

3 （x1，0）為鞍點(diǎn)，反之為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；若h＞2k1e2時，當(dāng)x1＜B時，則P（1x1，0）為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，當(dāng)B＜x1＜A時，P1為鞍點(diǎn)，當(dāng)x1＞A時，P1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。P1既不是中心點(diǎn)也不是焦點(diǎn)。

（b）對P（1x1，0），先討論λ1的正負(fù)情況，再討論λ2。由式（7）知

3因此h＜2k1e2時，λ1＜0。

3

顯然λ2＜0，只需討論λ1的正負(fù)情況即可。

令λ1＞0，解得h＜h*；令λ1＜0，h＞h*。當(dāng)且僅當(dāng)λ2=λ1，P（20，r2）為蛻化點(diǎn)，因此（c）得證。

k2

2.2模型共存平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與主要結(jié)論

對P（3x3，y3），令（x，y）=（x3，y3），由式（5）可得出零傾線x斜截式的斜率m1，零傾線y斜截式的斜率m2：

由文獻(xiàn)[1]中的定義，零傾線式（4）的斜率m1與m2的符號，可表示共存平衡點(diǎn)處模型的關(guān)系類型，即若m1＞0、m2＞0，則為共存關(guān)系；若m1＜0、m2＜0，則為競爭關(guān)系；若m1＞0、m2＜0或者m1＜0、m2＞0，則為宿主與寄生關(guān)系。更確切地說，共存平衡點(diǎn)P（3x3，y3）表示物種間關(guān)系的條件如下。

（1）共存關(guān)系。

（2）競爭關(guān)系。

（3）宿主與寄生關(guān)系。

由上述結(jié)論可得以下定理。為計(jì)算方便，不妨令

運(yùn)用零傾線方程式（5）跟斜率式（9）可得一個更簡單化的雅可比矩陣。

定理2系統(tǒng)（2）在共存平衡點(diǎn)P（3x3，y3）處，有以下穩(wěn)定性質(zhì)：

證明在P3（x3，y3）處，運(yùn)用式（5）、式（9）跟式（10），雅可比矩陣式（3）變?yōu)椋?/p>

由│λE - J（x，y）│=0，解得

（a）現(xiàn)在討論λ1與λ2正負(fù)情況，顯然λ2＜0。

3　結(jié)束語

本文在前人的基礎(chǔ)上對轉(zhuǎn)化模型進(jìn)行了進(jìn)一步研究，根據(jù)雅可比矩陣特征根的正負(fù)與零傾線x與y斜截式的斜率正負(fù)展開分析，討論了帶有平方根俘獲率的可變生物種群模型的局部穩(wěn)定性，從而得到一些結(jié)論并證明了相關(guān)的定理，對以后進(jìn)行帶平方根俘獲率的可變生物種群模型分支現(xiàn)象的研究提供了理論基礎(chǔ)。就目前可變生物種群模型這一課題來說，研究結(jié)果相對較少，還需進(jìn)一步探索。

參考文獻(xiàn)：

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［3］LIU M，WANG K. Population dynamical bebavior of Lotka-Volterra cooperative systems with random perturbations［J］. Disc & Cont Dynam Syst，2013，33：2495-2522.

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［5］ADDICOTT J. Stability properties of 2-species models of mutualism：Simulation studies［J］. Ecologia，1981，49：42-49.

［6］BOUCHER D. The ecology of mutualism［J］. Annual Review Ecol Syst，1982，13：315-347.

［7］LARA T，REBAZA J. Dynamics of transitions in population interactions［J］. Nonl Analysis：Real World Appl，2012，13：1268-1277.

Local stability of variable population models with square root capture rate

ZHAO Sha-sha，SUN Fu-qin
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：Based on the local stability problem of variable population models with square root capture rate，a method of local analysis is analyzed and the corresponding Jacobian array and eigenvalues at the neighborhood of the equilibrium is studied，which draw out the stability of the equilibrium point.

Key words：local stability；square root capture rate；variable population models

作者簡介：趙沙沙（1989—），女，碩士研究生；孫福芹（1970—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槠⒎址匠碳捌鋺?yīng)用、生物數(shù)學(xué)及動力系統(tǒng)等.

基金項(xiàng)目：天津市科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目（20081003）.

收稿日期：2015-04-09

中圖分類號：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095－0926（2015）03－0064－04