一類未知參數(shù)的分數(shù)階混沌系統(tǒng)投影同步的2種證明

孔德富，趙小山（天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津　300222）

一類未知參數(shù)的分數(shù)階混沌系統(tǒng)投影同步的2種證明

孔德富，趙小山
（天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津300222）

摘要：基于分數(shù)階穩(wěn)定性理論，設計了一類普適的投影同步控制器與參數(shù)辨識規(guī)則，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和J函數(shù)準則2種方法給予嚴格證明。數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性和正確性。

關鍵詞：分數(shù)階混沌系統(tǒng)；投影同步；參數(shù)識別

分數(shù)階微積分與整數(shù)階微積分幾乎有相同的發(fā)展歷史，但是近十幾年來才成為國際上研究的熱點。自1990年，Pecora和Carroll[1]首先提出了驅(qū)動-響應同步方法實現(xiàn)混沌同步以來，學者們定義了不同的混沌同步形式，如廣義同步、完全同步、投影同步、延遲同步等[2-5]，并且提出了多種混沌同步方法，如滑膜控制、非線性控制、自適應控制等[6-8]。本文基于分數(shù)階穩(wěn)定性理論[9]，設計了投影同步控制器和參數(shù)辨識規(guī)則，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論[10]和J函數(shù)準則[11-12]2種方法給予證明。

1　問題描述

考慮一個分數(shù)階混沌系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng)，表示為如下形式：

對應的響應系統(tǒng)為：

式中：x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，y=（y1，y2，…，yn）T∈Rn為相應的狀態(tài)變量；u（t，x，y）為合適的控制器；0＜q＜1。由于系統(tǒng)的參數(shù)是不確定的，假設δ為系統(tǒng)中不確定參數(shù)的待估計值，δ為系統(tǒng)中不確定參數(shù)的真實值，則系統(tǒng)中不確定參數(shù)的估計誤差為：

驅(qū)動系統(tǒng)（1）和相應系統(tǒng)（2）定義同步誤差為：

式中：e=（e1，e2，…，en）T；ei=yi-αx（ii=1，2，…，n）；α稱為比例因子。存在一個常數(shù)α（α≠0）使得：lim‖y -

t→∞αx‖=lim‖e‖=0，則稱驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）

t→∞之間實現(xiàn)了投影同步。

2　不確定的混沌系統(tǒng)投影同步與參數(shù)識別

定理1[9]對于非線性分數(shù)階系統(tǒng)

式中：0＜q＜1；x=（x1，x2，…，xn）T為狀態(tài)向量；A（x）∈Rn×n是系數(shù)矩陣。當含有狀態(tài)變量的系數(shù)矩陣A（x）的所有特征值λi（i=1，2，…，n）實部都不大于零，即│arg（λi）│＞qπ/2時，系統(tǒng)（5）漸近穩(wěn)定。

根據(jù)定理1，設計如下混沌系統(tǒng)投影同步與參數(shù)辨識規(guī)則。

文獻[13]構(gòu)造了一個具有3個非線性二次項的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，并將該系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)表示成如下形式：

選取參數(shù)a=10、b=3、c=17、d=8，并且令q1=q2=q3=0.9，系統(tǒng)（6）存在混沌吸引子。如圖1所示，可以清晰地看出該系統(tǒng)的運行軌跡為大小不等的2個雙渦旋結(jié)構(gòu)。

圖1　系統(tǒng)（6）在x-y-z平面的吸引子

該系統(tǒng)所對應的響應系統(tǒng)為：

式中: a、b、c、d 分別為未知參數(shù)a、b、c、d的估計值。投影同步控制器為u=（u1，u2，u3）。

設投影同步誤差為e1=y1-αx1、e2=y2-αx2、e3=y3-αx3，其中α為投影同步比例因子。未知參數(shù)估計誤差設為：

定理2當設計的投影同步控制器為：

其中k≥0，未知參數(shù)辨識規(guī)則設計為：

則驅(qū)動系統(tǒng)（6）和響應系統(tǒng)（7）達到投影同步，即：

證明根據(jù)系統(tǒng)方程（6）、（7）、（9），計算得到誤差系統(tǒng)為：

針對該誤差系統(tǒng)（11），設q1=q2=q3=q構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

則V關于時間t的分數(shù)階導數(shù)為：

下面根據(jù)定理3，對誤差系統(tǒng)（11）和參數(shù)辨識規(guī)則（10）進行證明。

證明構(gòu)造如下形式的J函數(shù)：令q1=q2=q3=q

J=[e1，e2，e3，ea，eb，ec]·P6×·6

式中：k≥0；P6×6為6階的單位矩陣。根據(jù)定理3，顯然得出誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，同時不確定參數(shù)由估計值趨于真實值。

3　數(shù)值仿真

采用Matlab數(shù)值計算軟件進行系統(tǒng)仿真。參數(shù)的真實值為（a，b，c）=（10，3，17），驅(qū)動系統(tǒng)（6）的初始值為（x（10），x（20），x（30））=（1，3，2），響應系統(tǒng)（7）的初始值為（y（10），y（20），y（30））=（-1，1，3），比例因子為α=0.3，同時k=10，參數(shù)估計值分別為（a，b，c）=（15，-1，1），得到投影同步誤差圖和參數(shù)辨識效果圖。誤差系統(tǒng)（11）的誤差變化曲線如圖2所示。由圖2可以看到，誤差函數(shù)e1和e3很快趨于0，同時e2隨著時間t的增長最終也趨于0，也就是驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達到投影同步。未知參數(shù)辨識圖如圖3所示，由圖3可以看出，a和b 很快由估計值趨近于真實值，c隨著時間t的增長最終也趨于真實值，即所設計的辨識規(guī)則是正確的。

圖2　誤差系統(tǒng)（11）的誤差變化曲線

4　結(jié)束語

基于分數(shù)階穩(wěn)定性理論，設計投影同步控制器與參數(shù)辨識規(guī)則，實現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的投影同步與參數(shù)辨識，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和J函數(shù)法則給予證明，數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性和正確性。參考文獻：

［1］PECORA L M，CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems［J］. Physical Review Letters，1990，64（8）：821-827.

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Two proofs for projective synchronization of one unknown parameter fractional-order chaotic system

KONG De-fu，ZHAO Xiao-shan
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：Based on the fractional-order stability theory，a universal projective synchronization controller and parameter identification rules are designed. The method is proved strictly by using Lyapunov stability theory and J function criterion. Numerical simulations are presented to verify the effectiveness and robustness of the control scheme.

Key words：fractional-order chaotic system；projective synchronization；parameter identification

作者簡介：孔德富（1988—），男，碩士研究生；趙小山（1967—），男，副教授，博士，碩士生導師，研究方向為非線性動力系統(tǒng)分析.

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11302158，11302148）；天津職業(yè)技術師范大學研究生創(chuàng)新基金資助項目（YC14-14）；天津市應用基礎與前沿技術研究計劃青年項目（15JCQNJC01600）.

收稿日期：2015-04-11

中圖分類號：O415.5

文獻標識碼：A

文章編號：2095－0926（2015）03－0060－04