基于稀疏重建的信號DOA估計(jì)

任肖麗，王 驥，萬 群

1.廣東海洋大學(xué) 信息學(xué)院，廣東 湛江 524088

2.電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，成都 611731

1 引言

源定位是信號處理領(lǐng)域的主要目的之一，利用傳感器陣列可以將其轉(zhuǎn)換成DOA估計(jì)。在已有的DOA估計(jì)方法中，信號子空間概念由于其超分辨性能已經(jīng)成為一種主導(dǎo)技術(shù)，如MUSIC[1]。近幾年，壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論及其應(yīng)用[2-4]成為了研究熱點(diǎn)。CS提出了許多方法來解決稀疏重建問題，其中有兩種主要算法方法：基追蹤[5]（Basis Pursuit，BP）算法依賴于一個優(yōu)化問題，可以通過線性規(guī)劃求解，具有穩(wěn)定性并能準(zhǔn)確重建信號，但是需要大量的計(jì)算；貪婪算法[6-7]具有低復(fù)雜度和較快的速度，但是缺乏穩(wěn)定性和一致性保證。通過利用稀疏性，出現(xiàn)了許多方法[8-19]，可以提供比MUSIC更好的分辨性能。本文基于?1-SVD方法[10]，將DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化成稀疏信號重建問題并且利用CS方法求解。?1-SVD方法具有極好的超分辨性能和信號相關(guān)的穩(wěn)健性。

線性陣列是多陣元天線的一種重要形式，在通信和射電天文學(xué)中起著重要的作用。1968年，Moffet在文獻(xiàn)[10]中提出了最小冗余線（MRLA），能以較少數(shù)的陣元獲得較大陣列孔徑，是一種有效的陣列排布方法，陣列孔徑和DOA分辨率、可估計(jì)的信號源數(shù)成正比，即陣列孔徑越大估計(jì)性能更好。許多學(xué)者已經(jīng)對MRLA進(jìn)行進(jìn)一步的研究[11]，充分利用了MRLA的這一結(jié)構(gòu)特征。均勻線陣（ULA）是冗余的，是因?yàn)椴煌囋獙梢缘玫较嗤墓曹椦h(huán)相關(guān)函數(shù)值。同樣，不同陣列傳感器分布可以獲得相同的共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)值，冗余度隨陣元數(shù)的增大而增大。因此，基于MRLA的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本文將MRLA與?1-SVD方法相結(jié)合來估計(jì)信號的DOAs。

2 問題描述

考慮到N個具有相同中心頻率的窄帶信號源從不同方向θi(i=1，2，…，N)入射到M陣元均勻直線陣上，陣元間隔x～1(t)，λ為載波波長，M×1陣列接收信號 y(t)表示為：

可以把欠定方程（1）中s(t)恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化CS應(yīng)用的稀疏信號重建問題。s(t)可以通過?1最小化恢復(fù)得到：

式（1）的矩陣形式可以表示為：

其中，M×T矩陣 Y=[y(1)，y(2)，…，y(T)]和M×T矩陣N=[n(t)，…，n(T)]，T表示快拍個數(shù)，信號向量 S=[s(1)，s(2)，…，s(T)]∈N×T。

2.1 ?1-SVD方法

對于窄帶信號源而言，當(dāng)不相關(guān)信號和相干信號同時(shí)存在時(shí)，多測量數(shù)據(jù)為：

其中，A(θ)=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θN)]未知，在稀疏假設(shè)下，N是小的，文獻(xiàn)[10]把DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化成一個稀疏信號重建問題，構(gòu)建字典，Kmax(N，M)，假設(shè){θ1，θ2，…，θN}令si(t)=，Y=AS+N ，Y=[y(1)，y(2)，…，y(T)]。

對矩陣Y奇異值分解（SVD）Y=UΛVH，令YSV=UΛDK=YVDK，其中DK=[IK0]′，IK為K×K單位矩陣，0是K×(T-K)零矩陣，令 SSV=SVDK，NSV=NVDK，為了滿足YSV=ASSV+NSV，逐列考慮此方程有：

?1-SVD方法可概括成如下三步：做奇異值分解Y=UΛVH；取YV的前N列，記為YSV，M×N；求解下面的優(yōu)化問題：

其中，SSV∈K×N為 SV的前N列，K×1維 SC定義為SSV的2范數(shù)，是估計(jì)的稀疏譜，β是給定的調(diào)整參數(shù)。

?1-SVD方法的主要優(yōu)點(diǎn)是具有很好的超分辨性能和信號相關(guān)穩(wěn)健性，缺點(diǎn)主要是需要已知信號源個數(shù)且復(fù)雜度隨其成比例增加，當(dāng)陣元數(shù)為M，各信源相距不太近時(shí)，?1-SVD方法能分辨出的信源個數(shù)最多是M-1。

2.2 最小冗余線陣（MRLA）

對于ULA，x(t)的相關(guān)矩陣為：

其中，E(·)、(·)H和 (·)*分別表示期望、轉(zhuǎn)置和共軛算子。r(m)，m=0，1，…，M-1是隨機(jī)過程 x(t)的相關(guān)函數(shù)。由式（1）和（8）可得：

其中，RS=E[s(t)sH(t)]，當(dāng)信號源相互獨(dú)立或不相關(guān)時(shí)，顯然 R是Toeplitz矩陣，根據(jù)Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，只要已知R第一行，就可以準(zhǔn)確重構(gòu)整個矩陣。

式（8）表明，對于具有M陣元的ULA，在M2個相關(guān)函數(shù)中只有M個獨(dú)立的相關(guān)函數(shù)。因此，ULA輸出相關(guān)矩陣是一個冗余的Toeplitz矩陣，減少線性陣列冗余的常用方法是采用非均勻線陣。事實(shí)上，不同的陣元分布可以獲得與ULA相同的相關(guān)函數(shù)，冗余度隨著陣元數(shù)增加而增加。設(shè)計(jì)MRLA的原則是將非均勻線陣的M陣元與ULA的P陣元等價(jià)，其中M＜P。表1為一些最小冗余線陣配置，其中{di}表示相對于參考陣元而言第i個陣元的位置[12]。

表1 一些最小冗余線陣配置

3 本文方法

假設(shè)具有M陣元的無源線性陣列，相對于參考陣元的陣元位置d1＜d2＜…＜dM，每個陣元位置di都是固定距離d的整數(shù)倍。假設(shè)一個M陣元的非均勻線陣，N個獨(dú)立的窄帶信號源，其中信號源個數(shù)N是已知的，在此，取M=4為例，設(shè)相對于參考陣元的陣元位置為d1,d2,d3,d4，且有如下取值{d1,d2,d3,d4}={0,2d,5d,6d}，d=λ/2，λ為信號載波波長，陣列接收向量X(t)=[x0(t)x2(t)x5(t)x6(t)]T可通過下式得到：

其中，t=1，2，…，T，陣列接收向量的相關(guān)矩陣為：

對矩陣R奇異值分解，保留其信號子空間US，構(gòu)建字典，其中Nθ是角度采樣數(shù)，Nθ×1維向量的稀疏性對應(yīng)空間譜的稀疏性，通過最小化式（12）估計(jì)DOA：

由于獨(dú)立信號的相關(guān)矩陣具有Toeplitz結(jié)構(gòu)，且矩陣 R中含有r(0)，r(1)，r(2)，r(3)，r(4)，r(5)，r(6)，構(gòu)造7×7的擴(kuò)展矩陣：

又有r(-m)=r*(m)，(m=0，1，…，6)，則通過 R 可以得到具有7陣元ULA的相關(guān)矩陣：

其中，DOA估計(jì)問題被看作是子空間快稀疏重建，構(gòu)建超完備字典=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θK)]，7×K，K為角度采樣數(shù)，K＞＞N，[θ1，θ2，…，θK]為所有可能的信號采樣角度。是矩陣∈K×N的第i行，即為優(yōu)化問題的解。Frobenius范數(shù)定義為，β是正則化參數(shù)。在此選取足夠高的β使的概率很小，其中。向量的稀疏性對應(yīng)于稀疏譜的稀疏性。由式（15）可以得到S～的稀疏譜。本文所提方法也需要已知信源個數(shù)N。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

其中，T為快拍數(shù)。

假設(shè)所有信號源都具有相同的能量，輸入信噪比SNR為是噪聲的能量。通過500次Monte Carlo仿真得到DOA估計(jì)的均方根誤差RMSE：

其中，()n是第n次MonteCarlo仿真中θk的估計(jì)，Ns是信號的個數(shù)，取T=1 000。

在仿真中，取M=4 ，分別來自于 [-22°，3°， 41°]和[-22°，3°，24°，41°]的獨(dú)立信號。圖1和圖2分別為基于?1-SVD方法的DOAs估計(jì)和基于本文方法的DOAs估計(jì)，顯然?1-SVD方法不能準(zhǔn)確地估計(jì)3個和4個信號的DOAs。基于本文方法DOA估計(jì)的RMSE如圖3和圖 4 所示。當(dāng)有來自于 [-45°，-22°，3°，24°，41°]的 5個獨(dú)立信號時(shí)，圖5和圖6分別表示基于本文方法的DOA估計(jì)及其RMSE。同理，當(dāng)M=5，假設(shè)分別來自于 [-45°， -22°， -12°，10°，25°，48°]的6個獨(dú)立信號和[-44°， -22°， -12°，12°，26°，48°，63°]的7個獨(dú)立信號，圖7和圖9為信號的DOAs估計(jì)，圖8和圖10表示基于所提方法的RMSE。

圖1 兩種方法3個信號的DOAs估計(jì)

圖2 兩種方法4個信號的DOAs估計(jì)

圖3 本文方法3個信號DOA估計(jì)的RMSE

圖4 本文方法4個信號DOA估計(jì)的RMSE

圖5 本文方法5個信號的DOAs估計(jì)

圖6 本文方法5個信號DOA估計(jì)的RMSE

圖7 本文方法6個信號的DOAs估計(jì)

圖8 本文方法6個信號DOA估計(jì)的RMSE

圖9 本文方法7個信號的DOAs估計(jì)

圖10 本文方法7個信號DOA估計(jì)的RMSE

仿真結(jié)果表明，對于4陣元非均勻線陣，利用本文方法在誤差允許范圍內(nèi)最多可以有效估計(jì)5個獨(dú)立信源的DOAs，而?1-SVD方法不能準(zhǔn)確估計(jì)3個及以上的信號DOA。對于5陣元非均勻線陣，利用本文方法最多可以有效估計(jì)7個獨(dú)立信源方向。值得注意的是，本文所提方法適用于獨(dú)立信號和不相關(guān)信號。同理，陣元數(shù)M可以取其他值，利用本文方法可以有效估計(jì)更多的獨(dú)立信源DOAs。

5 結(jié)論

將最小冗余線陣與?1-SVD方法相結(jié)合提出了一種新的DOA估計(jì)方法，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性，其能有效估計(jì)不相關(guān)信號和獨(dú)立信號的DOA，具有信源過載能力。

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