Boole環(huán)上的粗糙近似算子

李興寬

云南民族大學(xué) 管理學(xué)院，昆明 650031

粗糙集理論是一種新的處理不確定性問題的數(shù)學(xué)工具[1-2]。自1982年由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak首次提出以來，經(jīng)過二十多年的研究與發(fā)展，已經(jīng)在理論和實(shí)際應(yīng)用上取得了長(zhǎng)足的發(fā)展，特別是由于20世紀(jì)80年代末和90年代初在知識(shí)發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域的成功應(yīng)用而受到了國際上廣泛關(guān)注。目前，它已經(jīng)在人工智能的諸多領(lǐng)域中得到了成功的應(yīng)用。

隨著粗糙集理論的成功應(yīng)用，關(guān)于其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究工作也逐漸受到學(xué)術(shù)界關(guān)注。不同背景下的粗糙近似是粗糙集理論的一個(gè)研究熱點(diǎn)。Iwinski[3]討論了粗糙集的格論性質(zhì)；Pomy與Pomykala[4]證明了某一論域上的粗糙集形成一個(gè)雙Stone代數(shù)；Yao與Lin[5-6]證明了基于自反和傳遞關(guān)系的粗糙集代數(shù)是模態(tài)邏輯系統(tǒng)S4的恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停粡埢?、梁洪力研究了基?Boole代數(shù)[7]的粗糙近似；陳建飛、林公源研究了基于Griss代數(shù)的粗糙近似[8]；陳世聯(lián)研究了基于蘊(yùn)含格[9]的粗近似；趙濤、秦克云研究了基于分子格等的粗糙近似[10]；同時(shí)，還有一些學(xué)者研究了半群、群、環(huán)背景下的粗糙近似算子[11-13]，這些粗糙近似豐富和發(fā)展了粗糙集理論。

目前對(duì)以Boole環(huán)為基礎(chǔ)的粗糙集理的研究卻非常少見，本文以Boole環(huán)為基礎(chǔ)，定義了Boole環(huán)上的粗糙上近似和下近似，研究了Boole環(huán)上的粗糙近似算子及其性質(zhì)，進(jìn)一步豐富和發(fā)展了粗糙集理論。

1 Boole環(huán)及其上的同余關(guān)系

定義1[14]設(shè)(S，*，+)是一個(gè)環(huán)，若?a∈S，有a*a=a，則稱S為Boole環(huán)。

性質(zhì)1[12]若S為Boole環(huán)，則 ?a∈S，有a+a=0，且S是可換環(huán)。

定義2[15]設(shè)(S，*，+)是一個(gè)環(huán)，R是S上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，若 ?a，b，c，d∈S，有aRb，cRd?(a+c)R(a+d)，(ac)R(bd)，則稱R是S上的一個(gè)同余關(guān)系。

由此，R是環(huán)(S，*，+)上的同余，就是指R既是群(S，+)上的同余，又是半群(S，*)上的同余。

定義3 設(shè) (S，*，+)是一個(gè)Boole環(huán)，?x，y∈S，規(guī)定S上的二元關(guān)系：

易知，≤1，≤2是S的偏序關(guān)系。

設(shè)(S，*，+)是一個(gè)Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系。則S/R={[x]R|x∈S}是S的一個(gè)劃分。其中[x]R={y|y∈S，(x，y)∈R}為x所在的等價(jià)類。

性質(zhì)1設(shè)(S，*，+)是一個(gè)有限Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系。 ?X∈S/R，若X={x1，x2，…，xn}，x1*x2*...*xn∈X。

證明?i，j，1≤i，j≤n，(xi，xj)∈R，由R是S上的一個(gè)同余關(guān)系及Boole環(huán)S的冪等性知：

(xi*xi*...*xi，x1*x2*...*xn)=(xi，x1*x2*...*xn)∈R因此x1*x2*...*xn∈X。

推論1設(shè)(S，*，+)是一個(gè)有限Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系，則S關(guān)于R的每個(gè)同余類中均有最大元（對(duì)于≤1來說）。

證明設(shè)X∈S/R，其中X={x1,x2,…，xn}，因?yàn)?x,y∈S，x≤1y?x*y=y，由性質(zhì)2知，x1*x2*…*xn∈X。

推論2設(shè)(S，*，+)是一個(gè)有限Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系，則S關(guān)于R的每個(gè)同余類中均有最小元（對(duì)于≤2來說）。

定義4設(shè)(S，*，+)是一個(gè)Boole環(huán)，≤是S的偏序關(guān)系。?x，y∈S，若映射C：S→S滿足

（1）x≤C(x)；

（2）x≤y?C(x)≤C(y)；

（3）C(C(x))=C(x)。

則稱C為Boole環(huán)S上的閉算子。

設(shè)C為Boole環(huán)S上的閉算子，x∈S，若C(x)=x，則稱x是C閉的。

定義5設(shè)(S，*，+)是一個(gè)Boole環(huán)，≤是S的偏序關(guān)系。?x，y∈S，若映射I：S→S滿足

（1）I(x)≤x；

（2）x≤y?I(x)≤I(y)；

（3）I(I(x))=I(x)。

則稱I為Boole環(huán)S上的內(nèi)部算子。

設(shè)I為Boole環(huán)S上的內(nèi)部算子，x∈S，若I(x)=x，則稱x是I開的。

性質(zhì)2設(shè)(S，*，+)是一個(gè)有限Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系。?x∈S，記C(R)(x)=∨[x]R則C(R)是(S，*，+)上的閉算子，其中∨表示取最大元。

性質(zhì)2顯然成立，證明從略。

設(shè)C(R)是(S，*，+)上的閉算子，CR表示S中所有C(R)閉元素所成的集合，即?x∈S，x∈CR?C(R)(x)=x。

性質(zhì)3設(shè)(S，*，+)是一個(gè)有限Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系。≤1與≤2是由（1）和（2）定義的兩個(gè)偏序，記

則：（1）RL是 Boole環(huán) (S，*，+)上的一個(gè)同余關(guān)系；（2）RU=R。

證明（1）RL是S上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。設(shè)x，x′，y，y′∈S，(x，x′)∈RL，(y，y′)∈RL，若對(duì)c∈CR，c≤2inf{x，y}，則c≤2x，c≤2y?c≤2x′，c≤2y′，所以c≤2inf{x′，y′}。

同理由c≤2inf{x′，y′}?c≤2inf{x，y}。因?yàn)?/p>

inf{x，y}=x*y，inf{x′，y′}=x′*y′

所以 (x*y，x′*y′)∈RL，即RL是S上的一個(gè)同余關(guān)系。

（2）因?yàn)閇x]R必有一個(gè)元素x，使CR(x)=x，所以|CR|=|S/R|，且?c∈CR，c對(duì)于≤1是S中關(guān)于R同余類中的最大元，即 ?x，y∈S，(x，y)∈R?(x，y)∈RU，所以RU=R。

性質(zhì)4設(shè)(S，*，+)是一個(gè)有限Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系。 ?x∈S，記I(R)(x)=∧[x]R，則I(R)是(S，*，+)上的內(nèi)部算子，其中∧表示取最小元。

證明以下分三個(gè)步驟證明：

（1）因?yàn)镮(R)(x)是同余類[x]RL中的最小元，所以I(R)(x)≤2x。

（2）設(shè)x，y∈S，且x≤2y：

由 (x，I(R)(x))∈RL和 (y，I(R)(y))∈RL可 知 (x*y，I(R)(x)*I(R)(y))=(x，I(R)(x)*I(R)(y))∈RL。由（1）可知I(R)(x)≤2I(R)(x)*I(R)(y)= ∧{I(R)(x)，I(R)(y)}≤2I(R)(y)。

（3）設(shè)x∈S，由I(R)(x)≤2x以及（2）的結(jié)論可知I(R)(I(R)(x))≤2I(R)(x)。因?yàn)?(x，I(R)(x))∈RL，(I(R)(x)，I(R)(I(R)(x)))∈RL，由傳遞性知，(x，I(R)(I(R)(x)))∈RL，從而I(R)(x)≤2I(R)(I(R)(x))，故I(R)(I(R)(x))=I(R)(x)。

由此，I(R)是(S，*，+)上的內(nèi)部算子。

用IR表示S中I(R)開元素全體構(gòu)成的集合，即?x∈S，x∈IR?I(R)(x)=x。當(dāng)x∈S且滿足C(R)(x)=I(R)(x)=x，稱元素x是開閉的。

定義6設(shè)(S，*，+)是具有最小元的有限Boole環(huán)，R是S上的一個(gè)同余關(guān)系，則稱(S，IR，CR)為同余近似空間。

設(shè) (S，IR，CR)為同余近似空間，?c∈CR，由RL的表達(dá)式知，c是同余類[c]RL中的最小元，因此c∈IR，從而CR?IR，即?x∈S，x是開閉?x∈CR。

對(duì)于有限Boole環(huán)(S，*，+)，可以證明S中有最大元，即1S∈S，而且1S=∨[1S]R，因此1S∈CR。

性質(zhì)5設(shè)(S，IR，CR)為同余近似空間，則CR中有最小元。

證明因?yàn)镾有最小元，所以∨[0S]R∈CR。?x′∈CR，若x′≠∨[0S]R，則存在x∈S，使得x′=∨[x]R。由 0S≤1x及閉算子的單調(diào)性，有∨[0S]R≤1x，即CR存在最小元∨[0S]R。

性質(zhì)6設(shè)(S，IR，CR)為同余近似空間，則CR與IR均為完備格。

證明 由于CR?S是有限集，且具有最大元和最小元。因此，?X∈CR，supX與infX存在，即CR是完備格。又由于CR?IR，有 1S∈IR，由RL的定義，有∧[0S]RL=0S，即 0S∈IR，故IR是完備格。

2 同余近似空間的近似算子及性質(zhì)

定義7 設(shè)(S，IR，CR)為同余近似空間，?x∈S，則

分別稱為x關(guān)于同余近似空間(S，IR，CR)的下近似集和上近似集，分別稱為下近似算子和上近似算子。

性質(zhì)7 設(shè)(S，IR，CR)為同余近似空間，?x∈S，有：

證明因?yàn)镮(R)(x)=∧[x]RL∈IR，由算子I(R)的遞減性知I(R)(x)≤x，于是I(R)(x)≤max{y|y∈IR，y≤x}。

另一方面，?y∈IR，若y≤x，則y=I(R)(y)≤I(R)(x)，從而 max{y|y∈IR，y≤x}≤I(R)(x)，即（1）成立。

同理可證明（2）成立。

性質(zhì)8 設(shè) (S，IR，CR)為同余近似空間，?x，y∈S，近似算子和具有性質(zhì)：

證明（1）(0S)=0S顯然，由于1S∈CR?IR，所以1S=∨[1S]R=(1S)，(1S)=max{y|y∈IR，y≤1S}=1S。

由內(nèi)部算子和閉包算子的性質(zhì)，可知（2）、（3）、（4）成立。

下面證明（5）。

3 結(jié)語

本文從定義Boole環(huán)上的偏序關(guān)系入手，研究了Boole環(huán)上閉算子和內(nèi)部算子的的性質(zhì)，由此引入了同余近似空間和同余近似空間中上近似和下近似算子的定義，研究了上近似算子和下近似算子的性質(zhì)。

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