一類三階擬線性微分方程非極端解存在性①

周 波，劉 琳，張菊紅

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯154007)

0 引 言

近年來，擬線性微分方程解的振動(dòng)性、漸進(jìn)性和非極端性等性質(zhì)的研究逐漸深入.在文獻(xiàn)［1 ～3］中，主要研究了四階擬線性微分方程非振動(dòng)解的存在性、漸進(jìn)性和最終正解的存在性;文獻(xiàn)［4］中主要研究高階擬線性微分方程正解的存在性和漸進(jìn)性.受文獻(xiàn)［5］的啟發(fā)，在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究形如

的三階擬線性微分方程非極端解的充要條件.其中α，β ＞0;p(t)，q(t)在［a，+∞)上是正的連續(xù)函數(shù)且

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 若u(t)是方程(1)的解，且u(t)＞0，t ∈［T，∞］?［a，∞］，則稱u(t)是方程(1)的最終正解.

若u(t)是方程(1)的最終正解，則存在T ≥a，當(dāng)t ≥T 時(shí)，u(t)＞0.由方程(1)有

所以可以得出u″(t)與u′(t)的符號.

引理1 若(2)式成立，u(t)是方程(1)的最終正解，則u″(t)＞0，t ∈［a，∞］.

引理2 若(2)式成立，u(t)是方程(1)的最終正解，則下面兩種情況必成立其一:

定義2 若u(t)是方程(1)的一個(gè)最終正解，且存在c1＞0 和c2＞0，使得

則稱u(t)是方程(1)的非極端解.

2 主要結(jié)果

定理 若p(t)是單調(diào)增函數(shù)，(2)式成立且α＜β.方程(1)有一非極端解的充要條件是

證 必要性 設(shè)u(t)為方程(1)的一個(gè)非極端正解，則u(t)滿足(3)或(4)式.首先討論u(t)滿足(3)式.給出一個(gè)充分大的數(shù)T ＞a，使得u(t)＞0，u′(t)＞0，u″(t)＞0，p(t)|u″(t)|α-1u″(t)＞0，t ≥T

將方程(1)從t 到∞積分，有

將不等式T 從t 到積分，有

下面討論u(t)滿足(4)式，存在充分大的數(shù)T≥a，使得.

則存在常數(shù)k ＞0，使得u(t)≥k，則u(t)是有界函數(shù)且滿足有

積分不等式兩次

則

令I(lǐng)=［T，∞)?R，空間C［T，∞)是由［T，∞)的緊子區(qū)間上具有拓?fù)湟恢率諗啃缘乃羞B續(xù)函數(shù)u:I →R 構(gòu)成的.定義C［T，∞)上的子集U.

U={u ∈C［T，∞):k ≤u(t)≤2k，t ≥T}集合U 是C［T，∞)上的閉凸子集，定義映射Ψ:U→C［T，∞)，

Ψ 滿足下列條件:

(1)Ψ 是U 到U 的映射;

(2)Ψ 在U 上是連續(xù)的;

(3)ΨU 是相對緊的.

由Schauder－Tychonoff 不動(dòng)點(diǎn)定理，知Ψ 存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u(t):使得u(t)=(Ψu)(t)，t ≥T.u=u(t)∈U是方程(1)的一個(gè)滿足=k，0 ＜k ＜∞的解，因此方程(1)有一非極端解u(t).

3 結(jié) 語

本文研究了一類三階擬線性微分方程非極端解的存在性，其中利用微積分研究了非極端解存在的必要性，利用Schauder－Tychonoff 不動(dòng)點(diǎn)定理研究了非極端解存在的充分性，得到了非極端解存在的充要條件.

［1］ Wu F.Nonoscillatory Solutions of fourth－order Quasilinear Differential Equations［J］.Funkcial Ekvac，2002，45:71－88.

［2］ Naito M，Wu F.On the Existence of Eventually Positive Solutions of Four－order Quasilinear Differential Equations［J］.Non－linear Analysis，2004，57:253－263.

［3］ Naito M，Wu F.A Note on the Existence and Asymptotic Behavior of Nonoscillatory Solutions of Fourth－order Quasilinear Differential Equations［J］.Acta Math.Hungar，2004，102(3):177－202.

［4］ Naito M.Existence and Asymptotic Behavior of Positive Solutions of Higer－order Quasilinear Ordinary Differential Equati－ns［J］.Math，Nachr，2006，279:198－216.

［5］ 汪金燕.The Asymptotic Behavior of Nonoscillatory Solutions of a Class of Third Order Quasilinear Differential Equation［D］.長春:東北師范大學(xué)，2006.

［6］ 周波，李春玲，宋麗艷，等.一類三階擬線性微分方程(Ⅰ)型非極端解的必要條件［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，31(5):788－789.