從B(B0)空間到空間的算子Tμ，φ D 的有界性和緊性①

王艷永，商慶寶

(1.呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 呂梁03300;2.文心高中，山東 莒縣276500)

0 引 言

設(shè)D={z:|z|＜1}是復(fù)平面上的單位圓盤，H(D)表示D 上的全純函數(shù)的全體.φ 是D →D 的一個解析映射，u 是D 上的一個解析函數(shù)，設(shè)μ(z)是正連續(xù)函數(shù)且有μ(z)=μ(|z|).

令

若B(f)＜∞，則稱f 屬于Bloch 空間B.

若

則稱f 屬于小Bloch 空間B0，B0是B 的閉子空間，B 空間以‖fB‖=|f(0)|+B(f)為范數(shù)成為Banach 空間.

令

其中μ(z)是正連續(xù)函數(shù)且μ(z)=μ(| z|).若‖f‖H∞μ＜∞，則稱f 屬于空間

Ohno 和趙如漢在文獻(xiàn)［1］中研究了Bloch 空間和小Bloch 上加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性問題，后來他們和Stroethoff 在文獻(xiàn)［2］中將上述結(jié)果推廣到α-Bloch 空間上.于燕燕，劉永民在文獻(xiàn)［3］中討論了在兩種不同Bloch 型空間之間的有界性和緊性.于燕燕在［4］中討論了從對數(shù)Bloch 空間到Bα空間Volterra 型復(fù)合算子.劉浩，商慶寶，王艷永在文獻(xiàn)［5］中研究了加權(quán)Begman 空間到)空間的Volterra 復(fù)合算子的有界型和緊性.

本文研究算子

其中Cμ是復(fù)合算子，D 是微分算子.

本文得到了從B(B0)空間到空間的算子Tu，φ是有界算子和緊算子的充要條件.文中字母C是一個正常數(shù)，不同的地方可以不同.A ?B 表示存在一個常數(shù)C，滿足C-1A ≤B ≤CA.

1 主要引理與定理

下面的引理1.1 類似文獻(xiàn)［6］的相應(yīng)的引理，由Montel 原理可證，證明過程本文省略.

引理1.1 設(shè)u 是D 上的解析函數(shù)，φ 是D →D 的一個全純自映射，μ 是正連續(xù)函.X 是空間B(B0)，Y 是空間，則算子Tu，φD:X →Y 是緊的充要條件是Tu，φD:X →Y 是有界的且對于任意有界序列(fk)k∈N在D 的緊支集上一致收斂于0，有

定理1.2 φ 是D →D 的一個解析映射，μ 是D上的解析函數(shù)，且是正連續(xù)函數(shù)，則以下三個條件等價:

(c)

定理1.3 μ 是D →D 的一個解析映射，μ 是D上的解析函數(shù)，且μ 是正連續(xù)函數(shù)，并且滿足是有界算子，則以下三個條件等價:

(a):Tu，μD:B0→是緊算子;

(b):Tu，φD:B →是緊算子;

(c)

2 定理的證明

取

定理1.2 的證明(b)?(a)顯然.

(a)?(c).設(shè)Tu，φD:B0→是有界算子.取f(z)=z ∈B0，則Tu，φDf=u ∈，有

有

則得

即有

另有

即fλ(z)∈B0，因此對于λ ∈D，有

所以有

因此對于λ ∈D，取r ∈(0，1)，則

又由(2)式得

由上可知

即(1)成立.

(c)?(b).設(shè)(1)式成立，那么對任意的f(z)∈B，z ∈D，則Tu，μDf=u ∈H∞μ，有

則Tu，μD:B →是有界算子.證畢!

定理1.3 的證明(b)?(a)顯然.

(a)?(c).設(shè)Tu，μD:B0→:是緊算子.取zm(m ∈N)，使取檢驗函數(shù)

有

易得

由(4)式可得

而

由可知‖gm‖B≤ln2+C=M2(M2是不依賴于m 的常數(shù)).易知gm(z)∈H(ˉD)，因此對任意的m ∈N，gm(z)∈B0.固定|z|=r ＜1，有

→0，(m →∞)

即是當(dāng)m →∞時，gm在D 的緊子集上一致收斂 于 0， 因 此 由 (3)和 引 理 1.1 得

另有

有上式知

即有

即(3)式成立.

(c)?(b).設(shè)(c)式成立，那么對任意的ε ＞0，存在r ∈(0，1)，當(dāng)|φ(z)|＞r 時

另有柯西估計知，fn′在D 的緊子集上一致收斂于0;則存在n0∈N，當(dāng)n ≥n0時，有|fn′(φ(z))|＜ε，(z ∈K).有

由(6)和(7)式知，當(dāng)n ≥n0時，有

［1］ Ohno S，Zhao Ruhan Weighted Composition Operators on the Bloch Space［J］.Bull.Austal.Math.Soc.2001，63(2):177－185.

［2］ Ohno S，Stroethoff K and Zhao Ruhan Weighted Composition Operators between Bloch－type Spaces［J］.Rocky Mountain J.Math，2003，33(1):191－215.

［3］ Yu Yanyan Liu Yongmin On a Li－SteveIntegral Operators between Different Weighted Bloch－type Spaces［J］.Jornal of Inequalities and Applications.Vol.2008(2008).Article ID 780845，14pages.

［4］ 于燕燕，從對數(shù)Bloch 空間到空間Volterra 型復(fù)合算子［J］.徐州師范大學(xué)學(xué)報;自然科學(xué)版，2009，27(3)，14.

［5］ 劉浩，商慶寶，王艷永.從加權(quán)Bergman 空間到空間的Volterra 型復(fù)合算子的有界性和緊性［J］.徐州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版.2010，28(2):11－15.

［6］ Zhu K.H.Operator Theoty in Tunction Spaces［M］.Marcel Dekker，New York，1990.