關(guān)于嶺估計(jì)改進(jìn)的研究①

周一美，張 拓

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州121013)

0 引 言

嶺估計(jì)［1～2］在有偏估計(jì)［3］中占有著重要地位，具有很多良好性質(zhì)，也是很多學(xué)者心中最理想的一種有偏估計(jì).目前已有大量學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了不同程度的改進(jìn)［4～5］，以期獲得更小均方誤差，以便于解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題.而大部分已經(jīng)提出的改進(jìn)后的嶺估計(jì)都是在線性模型下完成的.一般來講，對(duì)模型的限制條件越少越好，這樣會(huì)有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值.

1 廣義嶺估計(jì)的進(jìn)一步改進(jìn)

在奇異線性模型中:

現(xiàn)討論其參數(shù)β，σ2估計(jì)問題.假設(shè)存在Σ ＞0，則存在唯一正定對(duì)稱陣使.對(duì)其進(jìn)行如下變換:

則可得到一般線性模型形式:

于是可以得到β 的LS 解為:

稱其為廣義LS 解.線性函數(shù)c′β 的可估計(jì)性與協(xié)方差無關(guān)，則對(duì)模型(1)的c′β 可估計(jì)的充要條件是c ∈μ(X′)，稱c′^β 為c′β 的廣義LS 估計(jì).

模型(2)的典則形式:設(shè)X′X=X′Σ－1X 的特征值為λ1，λ2，…，λp，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量為φ1，φ2，…，φp，記Φ=(φ1，φ2，…，φp)，Φ 為p×p 標(biāo)準(zhǔn)正交陣，即Φ′Φ =I.記Δ =diag(λ1，λ2，…，λp)，則，其中Z=XΦ，α=Φ′β.

因?yàn)椋视?

于是其廣義嶺估計(jì)為:

現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)，給出β 的一個(gè)新估計(jì):

證明:

證畢.

證明:

證畢.

性質(zhì)3 對(duì)任意ki＞d ＞0，有

證明: 對(duì)實(shí)對(duì)稱陣X′Σ－1X 進(jìn)行分解，設(shè)rk(X′Σ－1X)=r ≤p，則存在p×p 階正交陣Q，使:

其中Δr=diag(λ1，λ2，…，λr)為X′Σ－1X 非零特征值組成的對(duì)角陣，根據(jù)Moore－Penrose 廣義逆，^β(K，d)的估計(jì)可定義為:

定理得證.

表明當(dāng)ki＞d ＞0 時(shí)是的壓縮估計(jì).

定理3.1 存在ki＞0，使

證明: 因?yàn)?

記

且

故有:

若

則有:

定理得證.

［1］ HOERL A.E.，KENNARDR.W..Ridge Regression:Biased Estimation for Non －orthogonal Problems［J］.Technometrics，1970，12(1):55－67.

［2］ HOERLA.E.，KENNARDR.W..Ridge Regression:Applications to Non－orthogonal Problems［J］.Technometrics，1970，12(1):69－82.

［3］ 陳希孺，王松桂.近代回歸分析－原理方法及應(yīng)用［M］.合肥:安徽教育出版社，1986:217－279.

［4］ 張建軍，吳曉平.線性回歸模型系數(shù)嶺估計(jì)的改進(jìn)研究［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，17(1):54－57.

［5］ 張拓，李勝起，徐坤哲.廣義嶺型主成分估計(jì)優(yōu)良性研究［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，32，2014:939－940.