點動圖變思構(gòu)圖，特殊出發(fā)想一般
——從北京兩道八年級幾何綜合題說起

☉江蘇省宜興市樹人中學(xué) 孫登高

☉江蘇省無錫市金星中學(xué) 朱宸材

點動圖變思構(gòu)圖，特殊出發(fā)想一般
——從北京兩道八年級幾何綜合題說起

☉江蘇省宜興市樹人中學(xué) 孫登高

☉江蘇省無錫市金星中學(xué) 朱宸材

據(jù)筆者教學(xué)經(jīng)歷所見，新世紀(jì)以來的課程改革在一定程度上降低了幾何教學(xué)的要求，反映在相關(guān)教材上，一方面將過去很多繁難的幾何問題從教材上刪減；另一方面也破壞了幾何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，對基層幾何教學(xué)帶來一定的干擾.然而，最近研習(xí)北京相關(guān)地區(qū)2014～2015學(xué)年第一學(xué)期八年級期末試題時，欣喜地發(fā)現(xiàn)，北京各個區(qū)八年級試卷的最后一道綜合題竟然大多使用了幾何考題，這種通過地區(qū)考卷強勢引領(lǐng)幾何教學(xué)的命題導(dǎo)向值得點贊！本文選取其中一些典型幾何習(xí)題，講解動點問題的證明策略，并反思幾何變式中考查“特殊與一般”的關(guān)系.

一、兩道八年級幾何綜合題及思路簡述

例1（北京市東城區(qū)（南區(qū)）2014～2015學(xué)年第一學(xué)期八年級卷）在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC.

（1）若點E是AB的中點，如圖1，求證：AE=DB.

（2）若點E不是AB的中點時，如圖2，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并寫出證明過程.

圖1

圖2

思路簡述：（1）容易證出等腰△BDE，從而有BD=BE.又點E是AB的中點，獲證AE=DB.

（2）如圖3，過點E作EF∥BC交AC于點F.由△ABC是等邊三角形，得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB= AC=BC，由EF∥BC，得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，所以△AEF是等邊三角形.于是∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，再結(jié)合DE=EC，得∠D=∠ECD，∠BED=∠ECF.于是可證△DEB≌△ECF.得BD= EF=AE，即AE=BD.

圖3

例2（北京市朝陽區(qū)2014～2015學(xué)年第一學(xué)期八年級卷）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，作∠ACM，使得點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于點F.

（1）當(dāng)點D與點B重合時，如圖4所示，DF與EC的數(shù)量關(guān)系是________；

圖4

（2）當(dāng)點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數(shù)量關(guān)系呢？請你畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，并證明此時DF與EC的數(shù)量關(guān)系.

思路簡述：（1）結(jié)合題意知道在Rt△ABF和Rt△CEF中，有一組對頂角相等，從而由等角的余角相等得∠ABF=∠ACM，結(jié)合∠ABC可代換出∠ABF=，即此時BE平分∠ABC！想清楚這點后，就容易構(gòu)造出如圖5的輔助線，延長BA交CM于G點，易證得△BGE≌△BCE，從而有GE=CE；另外又可證得△ABF≌△ACG，從而有BF=CG；于是BF=2CE，問題獲解.

（2）根據(jù)要求先構(gòu)造圖6，受到（1）中思路的啟發(fā)，過點D作DH⊥CA，并交CM于點G，容易得到等腰Rt△CDH，證得△DGE≌△DCE，從而有GE=CE；另外又可證得△HDF≌△HCG，從而有DF=CG；于是DF=2CE，問題獲解.

圖5

圖6

二、關(guān)于教學(xué)導(dǎo)向的思考

事實上，不僅是上述兩個地區(qū)在全卷最后一題安排了幾何題的變式考查，就筆者檢索所見，北京海淀區(qū)、昌平區(qū)、西城區(qū)等地最后一題也都不約而同地選擇了幾何題的變式綜合題.那么，這類考題的教學(xué)導(dǎo)向何在呢？以下圍繞幾何解題教學(xué)、變式教學(xué)闡釋一些個性化的認(rèn)識.

1.幾何解題教學(xué)，努力追求一題多變

我們知道教材上新授課期間的例習(xí)題常常是為了鞏固訓(xùn)練圖形的性質(zhì)或判定定理，功能較為單一，缺少對問題本身的深入追問，像上文摘引的兩道考題，則對一個問題進行了一題多變，追求了從特殊到一般的解題思想.同時，值得一說的是，就幾何解題教學(xué)來說，不僅要追求一題多變，將問題從特殊引向一般，訓(xùn)練思維的深刻性、求變性；還要注意一題多解的訓(xùn)練，訓(xùn)練同一問題的多樣化求解；進一步，在對一題多解的點評環(huán)節(jié)，還需要引導(dǎo)學(xué)生對一題多解作出必要的反思，即為什么問題會有這么多的解法？這些不同解法的背后又有怎樣的相同點？多思考這些問題常常能讓我們走向問題的深度，解題教學(xué)自然也能追求一定的教學(xué)深度.

2.倡導(dǎo)變式教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會思考

我們知道，經(jīng)由顧泠沅教授等人的努力，變式教學(xué)已成為我國數(shù)學(xué)教育的重要特色，其研究范圍不僅在解題教學(xué)中大力開展變式教學(xué)，包括概念在內(nèi)的變式教學(xué)研究也已十分深入，值得廣大一線教師關(guān)注.就本文所引摘的兩道幾何變式考題來看，解題教學(xué)中倡導(dǎo)變式教學(xué)就需要思考“從特殊走向一般”的變式取向，而這也是把思維定勢引向求變思維，如例2中，當(dāng)點D在直線BC上運動時，需要分三種不同的位置關(guān)系（點在CB延長線上、在線段CB上、在BC延長線上）研究，而證明的思路又是一致的，都是要構(gòu)造等腰三角形再證全等.容易看出，認(rèn)真開展這樣的變式教學(xué)，長期堅持，學(xué)生收獲的并不僅僅是解題能力的提升，而是啟發(fā)他們學(xué)會思考、學(xué)會探索未知領(lǐng)域，在一定意義上，也就追求了鄭毓信教授所倡導(dǎo)的“從開放題到開放式教學(xué)”.

三、實踐跟進

坐而論道，不如起而行之.以下就以教材上的習(xí)題為例，變式設(shè)問，追求解題教學(xué)效益的更大化.

例3（人教七下第20頁，練習(xí)2）如圖7，△ABC中，D是AB上一點，E是AC上一點，∠ADE=60°，∠B= 60°，∠AED=40°.

圖7

（1）圖中還能求出哪些角的度數(shù)？直接寫出.

（2）用兩種思路證明DE∥BC.

（3）連接BE，當(dāng)EB恰好平分∠ABC時，△BDE是等腰三角形嗎？說明理由.

（4）過點A作△ABC的高AH，求證：AH⊥DE.

變式意圖：通過前兩問有效鞏固訓(xùn)練了新學(xué)內(nèi)容（平行線的性質(zhì)與判定），接著又通過系列變式，引導(dǎo)學(xué)生積累基本圖形（當(dāng)“平行”遇上“平分”會形成等腰三角形），而最后一問引導(dǎo)學(xué)生積累“如果一條直線垂直于平行線中的一條直線，則它也垂直于另一條直線.”

例4（人教七下第22頁，第2題）如圖8，在四邊形ABCD中，如果AD∥BC，∠B=60°.

（1）能直接求出哪個角的度數(shù)？寫出推理語句.

（2）請再添加一個條件，求出這個四邊形的所有內(nèi)角的角度.

（3）作∠ABC的平分線交AD于點E，再作∠BCD的平分線交BE于點H，若BE⊥CH時，求證AB∥CD.

變式意圖：前兩問訓(xùn)練平行線的性質(zhì)，后一問啟發(fā)學(xué)生積累基本圖形所對應(yīng)的命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直”，并思辨該命題的逆命題.因為就變式問題來看，將原命題變式為逆命題是常見的變式取向和思考方向，要啟發(fā)學(xué)生多思考這樣的問題，幾何中很多定理都具有互逆定理，如勾股定理與逆定理、平行線的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定等.

圖8

四、寫在最后

本文關(guān)注的、列舉的都是幾何教學(xué)中的題例，事實上，解題教學(xué)中到處都可見變式存在，需要教師本身對問題的呈現(xiàn)方式、解法多樣化、問題可能的生長方向有著較好的理解，在這個意義上說，理解數(shù)學(xué)、理解解題，首先要從我們做起，所謂解題教學(xué)功夫在于課堂之外，也就是這個道理吧.

1.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（2）.

2.史寧中，主編.基本概念與運算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

3.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放取向——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

4.鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）.H