一道中考幾何壓軸題的解法探究和亮點賞析

☉江蘇省海門市海南中學(xué) 楊春鳥

一道中考幾何壓軸題的解法探究和亮點賞析

☉江蘇省海門市海南中學(xué) 楊春鳥

隨著數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的深入實施，為提高考試的區(qū)分度，直線型幾何綜合題越來越受到全國各地中考命題專家的青睞，涌現(xiàn)出不少好題.以下是筆者對2014年南通市中考數(shù)學(xué)試題第27題的解法探究和亮點賞析.

一、原題呈現(xiàn)

題目：（2014年南通）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點，AE=1.M為射線AD上一動點，AM=a（a為大于0的常數(shù)）.直線EM與直線CD交于點F，過點M作MG⊥EM，交直線BC于點G.

圖1

（1）若M為邊AD的中點，求證△EFG是等腰三角形；（2）若點G與點C重合，求線段MG的長；

（3）請用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數(shù)值.

二、解法探究

先解決第一問.

思路：先證明EM=FM，再證明EG=FG.

方法1：利用相似和中垂線的性質(zhì).

由M為AD的中點，得AM=DM.由四邊形ABCD是矩形，得AB∥CD.所以=1，即EM=FM.又因為MG⊥EF，所以GE=GF，所以△EFG是等腰三角形.

方法2：利用全等.

同方法1，可得AB∥CD.故∠A=∠FDM，∠AEM=∠DFM.又AM=DM，所以△AEM≌△DFM.所以EM=FM.因為MG⊥EM，所以∠GME=∠GMF.又因為GM=GM，所以△EMG≌△FMG.

所以EG=FG.所以△EFG是等腰三角形.

方法3：利用三角函數(shù).

再由中垂線的性質(zhì)或全等證得EG=FG.

評析：盡管三種方法思路一樣，但從簡潔的角度看，“先利用相似或三角函數(shù)，再根據(jù)中垂線的性質(zhì)”證明方法更為直接，相對煩瑣的是用兩次全等證明.

再解決第二問.

思路：建立關(guān)于a的方程.方法1：利用相似.

若點G與點C重合，如圖2，由四邊形ABCD是矩形，得∠A=∠ADC=90°.

所以∠AEM+∠AME=90°.

由MG⊥EF，得∠CME=90°.所以∠CMD+∠AME=90°.

圖2

方法2：運用勾股定理.

由MG⊥EM，得ME2+MG2=EG2.

又ME2=AE2+AM2=1+a2，MG2=DM2+DG2=（4-a）2+9，EG2=BE2+BG2=4+16=20，所以1+a2+（4-a）2+9=20.解得a=1或a=3.

方法3：建立平面直角坐標(biāo)系.

以B為坐標(biāo)原點，BA、BC所在直線為y軸、x軸，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.

由AE=1，AB=4，AM=a，得E（0，2）、M（a，3）.

圖3

由MG⊥EM，設(shè)直線MG：y=-ax+c，將C（4，0）代入，得-4a+c=0，則c=4a.

所以直線MG：y=-ax+4a.將M（a，3）代入，得-a2+4a= 3.解得a=1或a=3.

評析：方法1利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例建立方程，方法2利用勾股定理建立方程，思路都比較直接，學(xué)生容易想到，但學(xué)生的易錯點是方法1中的找準(zhǔn)“對應(yīng)邊”、方法2中的正確“數(shù)式計算”.方法3建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求出直線MG的解析式，解答過程也較簡潔，且運算要求不高，該方法實在是妙，但對思維水平和解題策略的要求較高，一般學(xué)生不易想到.

方法1：直接求△EFG的底邊和高.

①當(dāng)點M在線段AD上時，如圖4，過M作MH⊥BC于H，可得△HMG∽△AME.

圖4

②當(dāng)點M在線段AD的延長線上時，如圖5，過M作MH⊥BC于H，下同①中方法（略）.

圖5

評析：此解法通過作垂線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例直接求出△EFG的底邊和高.學(xué)生較易想到這樣的思路，但解答過程不簡潔，且對運算要求偏高，已經(jīng)超出了教材和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，筆者認(rèn)為該方法不可取，大部分學(xué)生難以順利地推出正確的答案.

方法2：將△EFG的面積轉(zhuǎn)化為同底且底邊平行于矩形的一邊的兩個三角形.

①當(dāng)點M在線段AD上時，如圖6，作GH⊥AD于H，并延長交直線EF于P.

圖6

②當(dāng)點M在線段AD的延長線上時，如圖7，作GH⊥AD于H，并延長交直線EF于P.

圖7

評析：此解法盡管也是通過作垂線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例直接求出相關(guān)的線段長，但變直接求為間接求面積，即將△EFG的面積分割轉(zhuǎn)化為同底且底邊平行于矩形的一邊的兩個三角形的面積之和或差，達(dá)到了化繁為簡、化難為易的目的.筆者認(rèn)為這種方法是求解圖形面積的常用招數(shù)，也是基礎(chǔ)方法.

方法3：利用整體與部分的關(guān)系，將△EFG的面積轉(zhuǎn)化為整體與部分的差.

圖8

所以S=S梯形EBCF-S△BEG-S△FCG

②當(dāng)點M在線段AD的延長線上時，如圖9，作FH⊥AB于H，則利用S=S梯形HBCD-S△BEG-S△HEF同樣可求得.

圖9

評析：此解法為“圖形補充法”，即將所求原圖形填補一個或多個特殊（或可求）圖形，使其變?yōu)橐粋€新的特殊（或可求）圖形，而后用新圖形的面積減去所補圖形的面積，可得所求原圖形的面積，體現(xiàn)了“化生為熟”的轉(zhuǎn)化目的.筆者認(rèn)為這種方法也是求解圖形面積的常用方法，但對學(xué)生的運算能力要求較高，心態(tài)平和才能圓滿地解答出來.

三、亮點賞析

（1）本題是以矩形和三角形為基礎(chǔ)，以動點為背景求函數(shù)關(guān)系的問題，主要考查學(xué)生運用運動變化的思想去探究問題中不變的數(shù)學(xué)元素.本題綜合性較強，將相似三角形（全等三角形）的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)等知識融為一體，實現(xiàn)了對“直線型”幾何知識的綜合考查，對觀察能力、邏輯推理能力、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想有較高的要求，同時也考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，突出數(shù)學(xué)的思維價值，作為壓軸題有較好的區(qū)分度.

（2）試題的呈現(xiàn)自然、簡潔、和諧，凸顯了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考，設(shè)計的3個問題有層次性，體現(xiàn)了壓軸題的選拔功能.試題的第一問比較容易，大部分學(xué)生能輕松解決；第二問難度中檔，成績中上等的學(xué)生能較好地解決；第三問是本題作為壓軸題的難點和精彩所在，對學(xué)生的解題能力和思維深度提出了較高的要求.一是要求學(xué)生對運動的特點要有深刻的理解，考查了學(xué)生的幾何想象能力和畫圖能力；二是要抓住關(guān)鍵詞“射線”，準(zhǔn)確判斷運動過程中點M和相應(yīng)的點G的兩種情況，考查了學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想；三是要確定運動中不變的因素，沿著設(shè)置的“路標(biāo)”按圖索驥，再探索△EFG的面積的求法，如直接法、分割法、面積相加和相減法等，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維方式；四是要運用相似三角形或解直角三角形的方法表示相關(guān)線段的函數(shù)關(guān)系，滲透了方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法；五是要經(jīng)過正確的代數(shù)運算才能得到最后的結(jié)果，考查了學(xué)生的計算能力和心理素質(zhì).

（3）本題每一問均能從不同的角度考慮，能探索到不同的解決問題的方法和策略，而第二問中一反常態(tài)地“建立平面直角坐標(biāo)系”，為本題注入了新的活力，第三問中求面積時，直接求解過程的煩瑣和利用“割”“補”等方法將原圖形進行轉(zhuǎn)化后達(dá)到柳暗花明、豁然開朗的感覺，這些解法的靈活性、發(fā)散性和不同的解法帶來的不同的結(jié)果對一線教師的教學(xué)有很好的導(dǎo)向作用.在平時的教學(xué)中，在關(guān)注通解、通法的基礎(chǔ)上，還要加強學(xué)生的聯(lián)想能力和猜想能力，比如看到平行線聯(lián)想到相似；看到高、垂線聯(lián)想到面積、勾股定理、平面直角坐標(biāo)系等，由這些知識出發(fā)可以進一步尋求其他不同的解題路徑和方法，打破思維定勢，激發(fā)學(xué)生換一種角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性.

1.周曉慧，苑建廣.圖形面積的多重角色釋讀——以2013年中考試題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（6）.

2.顧洪敏，劉金英.一道中考題賞析［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（11）.