抗差Helmert方差分量估計(jì)在三維平差中的應(yīng)用

石 巖，高俊強(qiáng)

（南京工業(yè)大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，江蘇 南京210000）

在工程三維控制網(wǎng)平差中，由于涉及斜距、水平方向和豎直角三類觀測(cè)數(shù)據(jù)，因此，如何準(zhǔn)確地確定這三類觀測(cè)值的權(quán)比，不僅影響參數(shù)估計(jì)的精度，而且對(duì)平差模型的結(jié)果檢驗(yàn)具有重要意義。平差模型檢驗(yàn)?zāi)芊裢ㄟ^，除了可能受到起算數(shù)據(jù)精度影響之外，各類觀測(cè)值權(quán)比確定不合理也是一個(gè)重要原因。

為了解決多類觀測(cè)數(shù)據(jù)合理定權(quán)的問題，提高數(shù)據(jù)處理結(jié)果的可靠性，針對(duì)三維網(wǎng)數(shù)據(jù)處理方法，平差學(xué)者提出了方差分量估計(jì)的方法。該方法最大的優(yōu)點(diǎn)是避免了不可靠且復(fù)雜的多類觀測(cè)量的先驗(yàn)方差，但是未能考慮多類觀測(cè)數(shù)據(jù)含有粗差的情況。若觀測(cè)值中含有一定量的粗差，會(huì)導(dǎo)致平差結(jié)果偏離真值，從而直接影響平差結(jié)果的正確性。本文在采用Helmert方差分量估計(jì)進(jìn)行三維網(wǎng)定權(quán)的基礎(chǔ)上，將抗差估計(jì)引入到三維平差定權(quán)過程中，以減弱三維控制網(wǎng)多類觀測(cè)值受粗差的影響，合理分配權(quán)值，使估計(jì)結(jié)果不受初始權(quán)的影響并獲得最優(yōu)的平差值。

1 Helmert方差分量估計(jì)

合理確定不同類觀測(cè)值或不同種精度觀測(cè)值權(quán)比的常規(guī)途徑是進(jìn)行Helmert方差分量估計(jì)。在三維控制網(wǎng)平差中，雖然水平角觀測(cè)值和豎直角觀測(cè)值的標(biāo)稱精度相同，但在實(shí)際測(cè)量過程中，豎直角觀測(cè)值的精度低于水平方向觀測(cè)值，所以不能將觀測(cè)值簡(jiǎn)單地分為邊角兩類處理，本文在下面的討論中，采用方差分量估計(jì)對(duì)斜距、水平方向和豎直角三類觀測(cè)值進(jìn)行研究。

則根據(jù)間接平差原理，由式（3）、式（4）可得法方程：N＾x＝W，即BTPB－BTPl＝0，由此可求得未知參數(shù)改正數(shù)

一般情況下，第一次平差給定的三類觀測(cè)值的權(quán)是不恰當(dāng)?shù)?，也就是它們所?duì)應(yīng)的單位權(quán)方差不相等，令其分別為，則有

式中：DL1，DL2，DL3分別為斜距、水平方向和豎直角的方差陣。

同理可解得Wσ2，Wσ3，此處不再贅述。

式（7）即為Helmert方差分量估計(jì)公式，通常情況下，被估參數(shù)個(gè)數(shù)與方程數(shù)個(gè)數(shù)相同，則存在唯一解，其解為

因此，在三維平差中，方差分量估計(jì)的迭代步驟為：

1）進(jìn)行三類觀測(cè)值的驗(yàn)前權(quán)估計(jì)，確定斜距、水平方向值和豎直角三類觀測(cè)值的權(quán)的初值和。

2 結(jié)合IGGⅢ的Helmert抗差分量估計(jì)

抗差估計(jì)是在粗差干擾不可避免的情況下，選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法，得出最優(yōu)或接近最優(yōu)的參數(shù)估計(jì)，一般利用等價(jià)權(quán)的方法對(duì)可疑數(shù)據(jù)進(jìn)行降權(quán)處理，使平差結(jié)果抵御粗差的影響；Helmert方差分量估計(jì)則是調(diào)整不同類觀測(cè)值間權(quán)比，從而進(jìn)行合理定權(quán)的常用方法。為了在進(jìn)行Helmert方差分量估計(jì)的同時(shí)抵御粗差，可以通過等價(jià)權(quán)的方法充分利用參數(shù)的先驗(yàn)信息，對(duì)可疑數(shù)據(jù)進(jìn)行降權(quán)處理，使其對(duì)平差結(jié)果影響減弱。

如果第i類觀測(cè)值Li含有粗差，則會(huì)歪曲其參數(shù)估值和方差分量估值，為有效抵制觀測(cè)值異常信息對(duì)X和的影響，建立目標(biāo)函數(shù)

式中：ρ為一個(gè)連續(xù)的凸函數(shù)，（Pj）i和（Vj）i分別為Lj的權(quán)函數(shù)和殘差函數(shù)。

基于等價(jià)權(quán)原理，由所提供的已知量信息得到

選取合適的權(quán)函數(shù)確定等價(jià)權(quán)矩陣ˉP，此處采用IGGⅢ方案：

3 算例與分析

3.1 實(shí)例

以某工程控制網(wǎng)的全站儀三維觀測(cè)數(shù)據(jù)為例，如圖1所示，其中控制點(diǎn)A，B是已知點(diǎn)，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)為未知點(diǎn)，由徠卡TCA2003全站儀測(cè)得各水平角、垂直角和斜距。為了驗(yàn)證本文方法的可行性，現(xiàn)對(duì)6號(hào)水平觀測(cè)角加入15″粗差，對(duì)模型進(jìn)行比較分析。

圖1 施工控制網(wǎng)

根據(jù)控制網(wǎng)三維觀測(cè)數(shù)據(jù)采用上述方法計(jì)算，此處采用兩種方案進(jìn)行研究：1）對(duì)不含有粗差的控制網(wǎng)，先使用Helmert方差分量估計(jì)計(jì)算求解，再使用抗差Helmert方差分量估計(jì)求解，兩者對(duì)比結(jié)果如表1所示。2）加入粗差后，先使用Helmert方差分量估計(jì)計(jì)算，再使用抗差Helmert方差分量估計(jì)計(jì)算，兩者對(duì)比結(jié)果見表2。

表1 不含粗差的三維平差結(jié)果比較 dm

表2 含粗差的三維平差結(jié)果比較 dm

3.2 算例結(jié)果

由于本文在對(duì)該算例的不同模型比較前進(jìn)行了方差一致性檢驗(yàn)且檢驗(yàn)結(jié)果通過，則算例視為不存在粗差，此時(shí)將加入粗差前的Helmert方差分量估計(jì)模型計(jì)算結(jié)果視為比較標(biāo)準(zhǔn)。

3.3 結(jié)果分析

1）由表1可知，在不含粗差的情況下，采用Helmert方差分量估計(jì)可以根據(jù)驗(yàn)后信息使三類觀測(cè)值的權(quán)比更為合理，平差結(jié)果具有較高的實(shí)用性，同時(shí)采用抗差Helmert方差分量估計(jì)計(jì)算的結(jié)果也與前者較為接近（算例中，兩種方法計(jì)算結(jié)果的較差絕對(duì)值均未超過5mm，可認(rèn)為計(jì)算結(jié)果基本一致）。因此，抗差Helmert方差分量估計(jì)在沒有粗差的情況下可作為平差模型正常使用。

2）由表2可知，當(dāng)觀測(cè)值中含有粗差，由于Helmert方差分量估計(jì)以最小二乘原理為基礎(chǔ)，對(duì)粗差的抵抗性很弱，因此，少量粗差的出現(xiàn)會(huì)影響參數(shù)估計(jì)，表2中左側(cè)的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)很明顯的震蕩現(xiàn)象。而使用抗差Helmert方法分量估計(jì)算得坐標(biāo)改正數(shù)與不含粗差的坐標(biāo)改正數(shù)差值較小，說明該方法能使參數(shù)估值有效地抵御粗差的影響，對(duì)提高數(shù)據(jù)處理精度和平差結(jié)果的可靠性具有一定的可行性。

4 結(jié)束語

在對(duì)現(xiàn)有三維平差算法分析的基礎(chǔ)上，本文考慮了粗差對(duì)各類觀測(cè)值的影響，將Helmert方差分量估計(jì)與抗差估計(jì)模型相結(jié)合，解決了各類觀測(cè)值中出現(xiàn)的粗差問題，完善了Helmert方差分量在三維平差中的應(yīng)用。本文推算了三維平差定權(quán)的理論模型，并結(jié)合具體的工程實(shí)例對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證。通過幾種方案的對(duì)比研究表明，采用抗差Helmert方差分量估計(jì)確定三維控制網(wǎng)各類數(shù)據(jù)的權(quán)比，能有效地改善粗差對(duì)三維平差結(jié)果的影響，提高對(duì)各類觀測(cè)信息的容錯(cuò)能力，獲得可靠的參數(shù)估計(jì)和平差精度。

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