特定領(lǐng)航者模式的多機器人編隊控制方法

杜柏陽， 張國良， 孫一杰， 徐 君

(第二炮兵工程大學，西安 710025)

0 引言

編隊控制問題在分布式多機器人協(xié)同控制的研究中占有重要地位，它要求各機器人利用自身調(diào)整，使所有的個體形成并保持一定的幾何構(gòu)型［1］。在諸如多機械臂協(xié)同裝配［2］、無人機編隊［3］、衛(wèi)星編隊［4］、集群航天器深空探測［5］中得到廣泛研究。領(lǐng)航者模式下的多機器人編隊問題，指在多機器人系統(tǒng)中，研究一類分散控制的方法，使得一個或幾個領(lǐng)航者地位的機器人引領(lǐng)整個編隊系統(tǒng)向著期望的網(wǎng)絡(luò)拓撲收斂，最終與領(lǐng)航者的運動狀態(tài)趨近一致。領(lǐng)航者模式中，領(lǐng)航者的運動是獨立的，而跟隨者(系統(tǒng)中其他的機器人)受到領(lǐng)航者與其他跟隨者的共同影響。

JADBABAIE 在Vicsek 模型的基礎(chǔ)上，運用代數(shù)圖論，證明了一致性的可實現(xiàn)性;文獻［6］結(jié)合這樣的結(jié)論，對一致性問題深入分析，并得到系統(tǒng)取得一致性的充分條件;文獻［7］則針對帶虛擬領(lǐng)航者的二階系統(tǒng)進一步進行探討，提出了保持連通性的一致性協(xié)議?；陬I(lǐng)航者模式的一致性理論，不僅包含連續(xù)系統(tǒng)一致性，而且包括離散系統(tǒng)一致性，二者的分析思路有所區(qū)別。針對線性離散系統(tǒng)的分布式協(xié)調(diào)一致性問題，文獻［8］提出基于觀測器的降階一致性協(xié)議，在給出的協(xié)議下，系統(tǒng)可實現(xiàn)一致性，同時可獲得系統(tǒng)的收斂速率;事實上，采樣時間對系統(tǒng)的穩(wěn)定性及對原時間連續(xù)系統(tǒng)的可復(fù)現(xiàn)性有較大影響，甚至起著決定性的作用，并且文獻［9］中所采用的二階離散模型的采樣時間并不是很小時，系統(tǒng)誤差較大。

本文利用零階保持器對多機器人系統(tǒng)的二階連續(xù)模型進行采樣，可得二階離散模型。針對領(lǐng)航者模式下的多機器人系統(tǒng)，采用有向圖通信拓撲的方式，進而為該系統(tǒng)的編隊控制設(shè)計了離散時間一致性協(xié)議。通過使用矩陣分析對該算法的穩(wěn)定性進行分析，得到該系統(tǒng)在Lyapunov 意義下穩(wěn)定的充分條件，并得到了系統(tǒng)穩(wěn)定時采樣時間與反饋控制增益及通信拓撲圖的Laplacian 矩陣特征值之間的關(guān)系。

1 圖論知識介紹

多機器人通訊的拓撲結(jié)構(gòu)是用圖論來描述的。文獻［10］中介紹了針對多機器人系統(tǒng)描述的圖論知識，有向圖G(V(G)，E(G))由兩個集合構(gòu)成，V(G)和E(G)分別為兩個集合，頂點的集合V(G)表示為V(G)={V1，V2，…，VN}，共有N 個頂點，邊的集合E(G)表示為E(G)={(Vi，Vj)，Vi，Vj∈V(G)}，邊數(shù)由具體的個體關(guān)系確定。每一條邊是由兩個頂點Vi，Vj確定的，表示有向線段(Vi，Vj)從頂點Vi指向頂點Vj，并且這條邊與從頂點Vi指向頂點Vj的有向線段(Vi，Vj)不存在關(guān)聯(lián)。一個圖中，如果同時存在從頂點Vi指向頂點Vj的有向線段(Vi，Vj)和從頂點Vj指向頂點Vi的有向線段(Vj，Vi)，則該圖被稱為是無向的或者是對稱的。

如果在一個圖中，至少存在一個頂點，它能夠通過有向路徑到達任意其他頂點，那么稱這個有向圖包含有向生成樹，一個圖的有向生成樹是一個包含圖中所有頂點的有向樹。在一個p 頂點的圖中，其附加權(quán)重的鄰接矩陣A 被定義為

式中:Rp×p為p ×p 維的實數(shù)矩陣的集合;aij為矩陣A中第i 行，第j 列的元素，i，j∈{1，2，…，p};邊集的元素(j，i)∈E(G)。圖的類型不同，其中的元素具有不同的特點。當該圖為有向圖時，鄰接矩陣A 的對角元素aii=0 且aij＞0。當該圖為無向圖時，鄰接矩陣A 的對角元素aii=0 且aij=aji＞0。

此外，Laplacian 矩陣L 可表示為

式中，lij為矩陣L 中第i 行，第j 列的元素，i，j∈{1，2，…，p}，并且對角元素，非對角元素lii= -aij。當矩陣L 表達一個圖，滿足

特別地，有別于有向圖，只有無向圖的Laplacian 矩陣是對稱半正定的。

2 問題描述

在領(lǐng)航者模式下，考慮如下多智能體系統(tǒng)

其中，領(lǐng)航者(假定為1#機器人)的運動狀態(tài)為

考慮整體表達系統(tǒng)，當前的多機器人動力學系統(tǒng)為二階離散系統(tǒng)，即

式中:X(k)為在k 時刻的機器人位置狀態(tài)信息向量;V(k)為在k 時刻的機器人速度狀態(tài)信息向量;U(k)為在k 時刻的機器人激勵信息向量;T 為整個機器人的系統(tǒng)中狀態(tài)更新的周期。

通過控制激勵信息影響不同時刻的機器人速度狀態(tài)信息，利用動力學連續(xù)系統(tǒng)的方程，經(jīng)過零階保持器離散化［11］，獲得機器人的位置狀態(tài)信息與機器人速度狀態(tài)信息、激勵信息的關(guān)系，得到機器人的動力學二階離散系統(tǒng)模型。這種模型相比動力學一階離散系統(tǒng)模型對機器人狀態(tài)描述更加精確，狀態(tài)信息也更為豐富［12］。相比二階連續(xù)系統(tǒng)模型更容易在現(xiàn)有平臺上實現(xiàn)。

本文研究的目的是考察在領(lǐng)航者模式下多機器人的一致性收斂問題，機器人之間的通信拓撲關(guān)系是固定的，信息交互是不平衡有向的。

3 相關(guān)定理及推論

引理1［13］實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。

引理2［10］假設(shè)Z 為一個p 維的列向量，Z 中的元素都是實數(shù)域中的，L 為一個p ×p 的實矩陣(L 為Laplacian 矩陣)，那么它存在4 個等價條件:1)L 含有單個0 特征值，并且它的特征向量是p 維的1n向量，其他的特征均為正數(shù)或者是正的實部;2)若存在Z，使得LZ =0，那么Z 向量中各個元素都相等;3)系統(tǒng)= -LZ，則該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的一致性系統(tǒng);4)用L表達的有向圖包含一條有向生成樹。

4 領(lǐng)航者模式下的一致性協(xié)議的設(shè)計

在領(lǐng)航者模式下，領(lǐng)航者發(fā)布信息，跟隨者接收信息。不妨令第一個機器人為領(lǐng)航者，其他為非領(lǐng)航者。在本文研究中，暫不考慮領(lǐng)航者自身的運動變化，假設(shè)其速率的變化是一個定常值。

那么，參考許多學者在研究一致性問題中［9］針對文獻中連續(xù)時間系統(tǒng)模型，采用零階保持器進行時間采樣，考慮各個機器人具有剛性間隔，附加期望的隊形，參考文獻［14］的研究，整合單個機器人的一致性協(xié)議，在領(lǐng)航者模式下的多機器人編隊控制，針對固定拓撲結(jié)構(gòu)，一致性協(xié)議為

式中:1n為單位列向量;Id為d 階單位陣;共有n 個機器人，每個機器人包含d 維的位置信息和速度信息，總稱X(k)和V(k);?為矩陣的Kronecker 積運算;Laplacian 矩陣L 表達多機器人的通訊拓撲關(guān)系;定常向量P 為多機器人的相對位置;ud(k)表達的是領(lǐng)航者自身的運動學約束;α 為一致性協(xié)議中相對位置控制參數(shù);γ 為一個增益系數(shù)，它和α 共同構(gòu)成的參數(shù)αγ 是一致性協(xié)議中相對速度控制參數(shù)，該形式能夠簡化多機器人一致性協(xié)議的矩陣表達。

5 編隊控制穩(wěn)定性分析

臨時建立表征狀態(tài)信息的一組變量，令

式中:向量P 為期望的隊形位置;xd(k)和vd(k)分別為在k 時刻理想狀態(tài)下編隊中心的位置和速度。

結(jié)合式(6)，根據(jù)上述協(xié)議，列寫一致性協(xié)議下的機器人狀態(tài)變化方程，化簡整理，得

Research on Common Generation Type of Wave Energy and Ocean Current Energy in Conjunction with Wind Power Generation ZHANG Yiqiang(60)

定理1 若對任意B0和D0，存在，其中，1nd為nd 維的全1 列向量，yB為某nd 維列向量，那么，在一致性協(xié)議(7)的作用下，實現(xiàn)

定理2 包含生成樹的有向圖中，設(shè)Φ1=(2 -Tα)Ind-(γ+T/2)TL*，Φ2=(Tα-1)Ind+(γ-T/2)TL*，如果Φ1和Φ2為非負矩陣，且各主對角元素大于零，那么成立。

證明 已知k+1 時刻與k 時刻，k 時刻與k-1 時刻之間的方程(兩式相似)為

兩式相互迭代，可求出Bk的前向變化方程，進而推導(dǎo)出

按照上述Φ1和Φ2的定義

下面尋求α，γ，T 的范圍，使得Φ1非負。

對形如(C1Ind- C0L)的矩陣，其中，C0∈R，C1∈R，令dm=max(Li，j)，當且僅當C1≥0，C0＞C1dm，矩陣(C1Ind-C0L)為非負矩陣且主對角線元素不為零。其中，L 為有向圖的Laplacian 矩陣。結(jié)合Φ1，Φ2的定義，列寫α，γ 和T 的范圍

即，當α，γ 和T 在所求的范圍內(nèi)，Φ1和Φ2就是非負的，進而成立，包含生成樹的有向圖拓撲結(jié)構(gòu)的多機器人就能實現(xiàn)漸近一致到期望隊形。

6 數(shù)值仿真及分析

應(yīng)用仿真實驗驗證文中算法的正確性，設(shè)置一個由6 個機器人Ri組成的系統(tǒng)，位置信息用xi=(xix，xiy，θi)T表達，速度信息用vi=(vix，viy，ωi)T表達，其中，xix，xiy，θi分別表示機器人Ri在全局坐標系下x 方向位移、y 方向位移和轉(zhuǎn)動角度，vix，viy，ωi為機器人Ri在全局坐標系下x 方向速度、y 方向速度和轉(zhuǎn)動角速度。

6．1 初始化各個參量

初始化仿真參數(shù)如表1 所示。

機器人期望的編隊隊形是正六邊形，初始位置、初始速度隨機設(shè)置。期望編隊的幾何隊形及通信拓撲圖如圖1 所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Parameters of simulation

圖1 機器人隊形和通信拓撲Fig．1 Formation and communication topology of multi-robot system

通信拓撲圖的Laplacian 矩陣L 為

6．2 情況分析

算例1 如圖2 ～圖4 所示，在該情況下，取采樣時間T=0．1 s，在收斂解區(qū)域中選取合適的控制參數(shù)α=1，γ =1，期望速度為vd=(0．1，0．1，0)T。該組機器人的運動軌跡如圖2 所示。

圖2 一組機器人在T=0．1 s，α=1，γ=1時的運動軌跡Fig．2 Trajectory of a group of robots when T=0．1 s，α=1 and γ=1

在各個時刻，各個機器人在x 方向和y 方向的位移和速度的變化曲線分別如圖3 和圖4 所示。由此可以證實，在求取的收斂解區(qū)域中選取控制參數(shù)，領(lǐng)航者模式下的一組機器人能夠收斂到期望隊形，速度也能夠收斂到期望值vd=(0．1，0．1，0)T。

圖3 x 方向和y 方向的位置變化曲線Fig．3 Curve of position change in x and y direction

圖4 x 方向和y 方向的速度變化曲線Fig．4 Curve of velocity change in x and y direction

7 結(jié)束語

本文針對在領(lǐng)航者模式下的多機器人編隊控制穩(wěn)定性問題，從一致性角度，分析了離散時間編隊控制穩(wěn)定和狀態(tài)收斂性的條件，提出一種保持機器人編隊穩(wěn)定的控制方法。該方法在Lyapunov 意義下的離散時間多機器人系統(tǒng)一致性穩(wěn)定的充分條件和反饋控制參數(shù)的收斂解區(qū)域，為設(shè)計控制器提供了依據(jù)。最后通過一組算例的Matlab 仿真，表明本文提出的控制方法的有效性和正確性。

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