灰色線性冪函數(shù)曲線模型在故障預(yù)報中的應(yīng)用

黃 瑩

(1．武警工程大學(xué)信息工程系，西安 710086; 2．西安交通大學(xué)制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049)

0 引言

武器系統(tǒng)的故障預(yù)報是提高系統(tǒng)可靠性、避免事故發(fā)生的有效途徑，是進行武器系統(tǒng)管理的基礎(chǔ)。由于武器系統(tǒng)故障發(fā)生及其發(fā)展過程具有不確定因素，且系統(tǒng)處于部分信息已知、部分信息未知的“貧”信息系統(tǒng)的范疇，而灰色系統(tǒng)理論專門針對“小樣本、貧信息”進行建模分析［1］，在很多復(fù)雜系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛［2-8］。因此將武器系統(tǒng)視為一個灰色系統(tǒng)具有較強的適用性，可以根據(jù)系統(tǒng)過去和現(xiàn)在的監(jiān)測信息對未來的狀態(tài)進行預(yù)測，進而判斷是否會發(fā)生故障。

GM(1，1)模型是灰色系統(tǒng)理論常用的模型，利用GM(1，1)模型進行數(shù)列預(yù)測，對單調(diào)非負數(shù)列模擬效果很好［2］，但對擺動序列效果則不好，很難反映序列的隨機波動變化［3］。然而，武器系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)序列時常呈現(xiàn)擺動特性，且振蕩幅度較大，所以必須研究如何針對擺動數(shù)據(jù)序列建模，即研究GM(1，1)模型的改進方法。對于GM(1，1)模型的改進大致專注于兩個方向:1)針對原始數(shù)據(jù)序列采取數(shù)學(xué)的方法進行序列變換使其滿足GM(1，1)建模的條件［3-10］;2)對于背景值進行重構(gòu)［11］。

對于波動性較強的灰色擺動序列進行建模的方法，其重點在于從根本上改變原始數(shù)據(jù)的波動性，使之滿足建模的條件。雖然已有一些原始數(shù)據(jù)序列的變換方法［3-10］，但是都是基于不同的數(shù)據(jù)特點進行變換，對于武器系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)的隨機波動性還需進一步研究適應(yīng)性更強的方法。

基于此，本文針對武器系統(tǒng)故障特征量存在擺動數(shù)據(jù)序列的特點，利用動態(tài)指數(shù)變換，使灰色擺動序列變換為具有一定灰指數(shù)律的單調(diào)增序列。通過建立灰色線性冪函數(shù)曲線模型——GIM(1)模型(Grey Linear Exponential Curve Model)，用一元線性回歸的方法對模型參數(shù)進行辨識，最后再利用該模型預(yù)報故障。研究表明，GIM(1)模型不僅適用于灰指數(shù)律系統(tǒng)的分析建模，也適用于比指數(shù)律更復(fù)雜的線性律與冪指數(shù)律的耦合系統(tǒng)的分析建模，具有廣泛的適用性。

1 經(jīng)典GM(1，1)模型的建模機理

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為

式中:x(0)(k ≥0)，k = 1，…，n;X(0)的一次累加(1-AGO)生成序列為X(1)=(x(1)(1)，…，x(1)(n))，X(1)的緊鄰均值生成序列Z(1)= (z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))，其中

若a^=(a，b)T為參數(shù)列，且Y=(x(0)(2) x(0)(3) … x(0)(n))T，則GM(1，1)灰色微分方程(又稱灰色方程的基本形式或差分形式)為

最小二乘估計參數(shù)列滿足

其白化微分方程為

對應(yīng)GM(1，1)灰色微分方程的時間響應(yīng)序列為

則其原始序列的模擬預(yù)測差分形式為

模型中:a 為發(fā)展系數(shù);b 為灰色作用量。

2 GIM(1)模型

GIM(1)模型是由GM(1，1)派生的一種較新的灰色模型，定義其為灰色線性冪函數(shù)曲線模型。

建模方法:首先利用動態(tài)指數(shù)變換，使灰色擺動序列變換為具有一定灰指數(shù)律的單調(diào)增序列，然后建立GIM(1)模型。

2．1 灰色擺動序列的設(shè)定

設(shè)某系統(tǒng)形成的時間序列為X(t):X(1)，X(2)，…，X(n)，t=1，2，…，n。1)當(dāng)X(2)/X(1)＞1，X(3)/X(2)＜1，…，且X(n)/X(1)＞1(＜1)，稱其為具有增長(下降)趨勢的灰色左擺動序列;2)當(dāng)X(2)/X(1)＜1，X(3)/X(2)＞1，…，且X(n)/X(1)＜1(＞1)，稱其為具有增長(下降)趨勢的灰色右擺動序列。

本文研究具有增長趨勢的灰色擺動序列。

2．2 灰色擺動序列的動態(tài)指數(shù)變換

本文給出一種新的動態(tài)擺動指數(shù)變換公式

式中:A ＞0;m ＞0;B ＞0;r ＞0;λ ＞0。

2．3 灰色參數(shù)的賦值

參數(shù)一般依靠經(jīng)驗確定，但為了減少盲目性，根據(jù)系統(tǒng)分析經(jīng)驗給出如下兩種賦值方法。

1)對灰色左擺動序列:r=t-1，A=(B-1)1/2。

2)對灰色右擺動序列:r=t，A=1 +B。m，λ，B 分別確定為

2．4 GIM(1)模型的建立

1)GIM(1)模型的白化微分方程形式為

其通解為

由上式可見，這是一個由冪函數(shù)與線性函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，被定義為灰色線性冪函數(shù)曲線，簡稱GIM(1)。當(dāng)a→+∞時，X(1)(t)→qt;當(dāng)a→-∞時，X(1)(t)→+∞。

特殊地，當(dāng)a=0 時，式(14)即蛻化為一元線性函數(shù)。因此可以說，一元線性函數(shù)是GIM(1)模型的特例。

2)GIM(1)模型參數(shù)辨識。

對于式(12)中的a，b，c，q，運用兩次一元線性回歸方法，分別求出a，b 的優(yōu)化值。

對于式(12)，令

由于ΔX(1)(t)=X(1)(t)-X(1)(t -1)=X(0)(t)，當(dāng)取Δ(t)=1 時，代入式(16)，得

Wade：Yeah, Wade, Z. You can call me whatever you want. I’ll call you Sam.

顯然這些公式均為一元線性回歸方程，a，b，c，q 值均能方便而快捷地求出。

上述為灰色擺動序列GIM(1)動態(tài)擺動指數(shù)變換一元線性回歸優(yōu)化建模法。它不僅適用于灰指數(shù)律系統(tǒng)的分析建模，也適用于比指數(shù)律更復(fù)雜的線性律與冪指數(shù)律的耦合系統(tǒng)的分析建模。

3 GIM(1)改進優(yōu)化灰色模型在武器故障預(yù)報中應(yīng)用研究

3．1 對于一般性數(shù)據(jù)的處理

表1 光滑數(shù)據(jù)序列GM(1，1)和GIM(1)預(yù)測結(jié)果Table 1 The smooth data sequence prediction results of GM(1，1)＆ GIM(1)

從表1 中可以得出GIM(1)模型，同樣適用于灰指數(shù)律系統(tǒng)的分析建模，當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列具有較好的光滑度時，能得到較滿意的預(yù)測精度，其預(yù)測的精度與經(jīng)典GM(1，1)模型預(yù)測的精度大體相同。

3．2 對于擺動性數(shù)據(jù)的處理

經(jīng)計算得到擺動指數(shù)變換公式為

建模計算的結(jié)果見表2，用數(shù)列的后5 個數(shù)據(jù)進行預(yù)測的精度檢驗，結(jié)果如表3 所示。

表2 擺動數(shù)據(jù)序列GIM(1)與經(jīng)典GM(1，1)擬合精度比較Table 2 The swing data sequence fitting accuracy of GIM(1)and GM(1，1)

表3 擺動數(shù)據(jù)序列GIM(1)與經(jīng)典GM(1，1)預(yù)測精度比較Table 3 The swing data sequence prediction accuracy of GIM(1)and GM(1，1)

從表2 和表3 中可以看出，對于具有擺動趨勢，且具有線性律與冪指數(shù)律耦合性的序列，進行擺動序列的動態(tài)指數(shù)變換，然后建立GIM(1)模型，得到模型的擬合精度和預(yù)測精度都較經(jīng)典的GM(1，1)模型高。

4 結(jié)束語

由于現(xiàn)代武器裝備系統(tǒng)日趨復(fù)雜，使其表現(xiàn)出極其復(fù)雜的故障規(guī)律，對裝備保障的要求也越來越高，因此，進行裝備的預(yù)防性維修已經(jīng)成為了部隊保障戰(zhàn)斗力的一個重要課題，進行故障預(yù)報掌握維修的主動權(quán)，對充分發(fā)揮裝備的使用效能，提高戰(zhàn)備完好率等方面具有重大意義。

本文在研究武器系統(tǒng)故障特征量和灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)上，針對武器系統(tǒng)故障特征量存在灰色擺動序列的特點，研究建立了GIM(1)模型。其建模方法為:利用動態(tài)指數(shù)變換，使灰色擺動序列變換為具有一定灰指數(shù)律的單調(diào)增序列，然后建立GIM(1)模型。

本文驗證了經(jīng)典GM(1，1)模型比較適用于描述單調(diào)變化的過程，而GIM(1)模型不僅適用于灰指數(shù)律系統(tǒng)的分析建模，也適用于比指數(shù)律更復(fù)雜的線性律與冪指數(shù)律耦合系統(tǒng)的分析建模。當(dāng)數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)擺動趨勢且具有線性律與冪指數(shù)律時，用擺動處理結(jié)合GIM(1)模型將使模型的預(yù)測和擬合精度得到顯著提高。

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