卷積公式在求連續(xù)型隨機變量和分布中的應用

王 靜，趙會娟

(河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

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卷積公式在求連續(xù)型隨機變量和分布中的應用

王 靜，趙會娟

(河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

對卷積公式進行推廣，得到了求二維連續(xù)型隨機變量線性組合分布的卷積公式，該方法在求二維連續(xù)型隨機變量線性組合分布時較分布函數(shù)法更加簡潔、高效，更適用于此類問題的求解。

連續(xù)型隨機變量；分布函數(shù)；卷積公式

對二維連續(xù)型的隨機變量(X,Y)，總可以用分布函數(shù)法求得函數(shù)Z=g(X,Y)的密度函數(shù)。但這種方法計算量大，尤其當(X,Y)的密度函數(shù)p(x,y)是分段函數(shù)時，計算過程較為繁瑣。當Z=X+Y時，文獻[1]中介紹了卷積公式法，這種方法可以看作是特殊情形下分布函數(shù)法的簡化。特別的，當Z=X+Y是分段函數(shù)時，用卷積公式求隨機變量Z的密度函數(shù)pZ(z)時，如何分區(qū)間討論及確定積分限是一個難點。筆者致力于對卷積公式及其應用進行盡可能詳細地分析，為讀者今后學習、使用卷積公式提供一定幫助。

1 卷積公式的推廣

本次研究中提到的隨機變量均指連續(xù)型的隨機變量。

定理1[1]設二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為p(x,y)，X,Y的邊沿概率密度函數(shù)分別為pX(x),pY(y)，Z=X+Y，則Z的概率密度函數(shù)為

(1)

或

(2)

當X與Y相互獨立時，則

(3)

或

(4)

公式(3)與(4)稱為卷積公式。

采用公式(1)、公式(2)，或公式(3)、公式(4)，求出Z=X+Y的密度pZ(z)的方法稱為卷積公式法。

卷積公式法可用來求X與Y和的密度，如果函數(shù)是X與Y的線性組合，即Z=aX+bY,(a,b≠0)，用卷積公式法還可以求Z的密度。由此引出下面的定理2。

定理2 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為p(x,y),X,Y的邊沿概率密度函數(shù)分別為pX(x),pY(y),Z=aX+bY,(a,b≠0)，則Z的概率密度函數(shù)為

(5)

或

(6)

當X與Y相互獨立時，則

(7)

或

(8)

公式(7)與公式(8)稱為X與Y的卷積公式。

圖1

證明 據y前系數(shù)b的正負，積分區(qū)域D位于直線ax+by=z的下方或上方。下面分情況討論。

若b>0，分2種情況討論如下：

兩邊對z求導，得到：

類似的，可以得到

圖2

b<0時，和上面討論相似，故略。

同樣地，采用公式(5)、公式(6)，或公式(7)、公式(8)，求出Z=aX+bY,(a,b≠0)的密度pZ(z)的方法就成為卷積公式法。

2 分布函數(shù)法與卷積公式法的應用與比較

例1 設隨機變量X,Y相互獨立，并分別在[-5,1]與[1,5]內服從均勻分布，其概率密度函數(shù)分別為

求隨機變量Z=X+Y的分布密度函數(shù)。

解法1 分布函數(shù)法。

首先，隨機變量X,Y相互獨立，故得X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)

當z<-4時，F(xiàn)Z(z)=0；

當z≥6時，F(xiàn)Z(z)=1。

解法2 卷積公式法。

當z在[-4,6]的不同區(qū)間段上取值時，自變量x的變化范圍不同，分段如下：

當z<-4或z≥6時，PZ(z)=0;

故

例2 設隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為

解法1 分布函數(shù)法。

設Z的分布函數(shù)為FZ(z)，則

根據(X,Y)的密度函數(shù)p(x,y)的實際取值范圍，對z的范圍討論如下：

當z≤0時，F(xiàn)Z(z)=0；

故得Z的密度函數(shù)

解法2 卷積公式法。

當z≤0時，pz(z)=0；

故Z的密度函數(shù)

3 結 論

通過以上兩道例題，可清楚地看到卷積公式法在求二維隨機變量(X,Y)的線性組合函數(shù)Z=aX+bY,(a,b≠0)的密度時的簡捷應用。在求Z=aX+bY,(a,b≠0)的密度函數(shù)時，使用卷積公式法較分布函數(shù)法有兩點優(yōu)勢：其一，z的分段區(qū)間易討論，根據x,y的實際取值范圍就可確定；其二，計算簡便，在z的實際取值區(qū)間內，pZ(z)是一個定積分容易計算，而在分布函數(shù)法中，相應區(qū)間的FZ(z)是一個二重積分，計算起來較麻煩。

[1] 鄭國萍，郭亞君.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：中國農業(yè)科學技術出版社,2010.

[2] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 孫清華，孫昊.概率論與數(shù)理統(tǒng)計內容、方法與技巧[M].第二版.武漢：華中科技大學出版社，2006.

[4] 霍海峰，溫鮮.二維連續(xù)型隨機變量卷積公式探討[J].價值工程，2011(27):305.

[5] 趙娟，張曉陽.卷積公式的推廣及應用[J].淮北師范大學學報:自然科學版，2012，33(1)：86-89.

[6] 羅建華.卷積公式的應用注記[J].中南林業(yè)科技大學學報:自然科學版，2007,27(1):152-154.

[7] 胡楊利，李應求，趙曉芹.卷積公式的妙用[J].當代教育理論與實踐，2013,5(12):185-186.

[8] 劉怡娣.卷積公式商分布的推導與應用[J].長春教育學院學報，2013，29(3):98-99.

(責任編輯：朱寶昌)

The Application of Convolution Formula in Two Dimension Continuous Random Variable’s Sum Distribution

WANG Jing，ZHAO Hui-juan

(School of Mathematics and Information Science & Technology, Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei，066004,China)

The convolution formula was generalized in the paper, and general convolution formula which to solve two dimension continuous random variable’s linear combination distribution was obtained. Comparing with distribution function, the new formula is more succinctly and more efficient, which will be better for solving such problems.

continuous random variable; distribution function; convolution formula

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.012

2015-01-31; 修改稿收到日期: 2015-06-01

O211.5

A

1672-7983(2015)02-0057-04

王靜(1981-)，女，碩士，講師。主要研究方向：代數(shù)密碼。