兩個(gè)符號(hào)半動(dòng)力系統(tǒng)的乘積系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

任蘊(yùn)麗,張麗娟,2,陳佐利,俞百印

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島，066004；2 河北省定州市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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兩個(gè)符號(hào)半動(dòng)力系統(tǒng)的乘積系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

任蘊(yùn)麗1,張麗娟1,2,陳佐利1,俞百印1

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島，066004；2 河北省定州市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

動(dòng)力系統(tǒng)；周期點(diǎn)；拓?fù)鋫鬟f；拓?fù)浠旌希徽蚩蓴U(kuò)

動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)核心問(wèn)題是研究軌線(xiàn)的漸近性態(tài)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[1]。由于一般動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力性質(zhì)是很難研究的，如非線(xiàn)性微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)。因此，選擇一個(gè)典型的容易研究的非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)，并通過(guò)該動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)研究一般動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力性質(zhì)就顯得尤為重要[2]。一個(gè)典型動(dòng)力系統(tǒng)就是符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[3～5]。正是由于符號(hào)半動(dòng)力系統(tǒng)是研究一般動(dòng)力系統(tǒng)軌線(xiàn)的漸近性態(tài)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的強(qiáng)有力的工具，越來(lái)越多的學(xué)者投入到符號(hào)半動(dòng)力系統(tǒng)相關(guān)問(wèn)題的研究。動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究是一個(gè)遠(yuǎn)未解決的課題[6]，麥結(jié)華等[7]討論了有限個(gè)符號(hào)生成的符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的幾乎周期點(diǎn)、回復(fù)點(diǎn)及混沌集，以及它們之間的拓?fù)涔曹梿?wèn)題。陳秀慶[8]討論了可列無(wú)窮個(gè)符號(hào)組成的無(wú)窮序列空間∑(z*)上移位映射σ的一些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。目前，有關(guān)符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的研究多是圍繞一個(gè)符號(hào)半動(dòng)力系統(tǒng)所進(jìn)行的，筆者主要考察兩個(gè)符號(hào)半動(dòng)力系統(tǒng)的乘積系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，包括周期性、拓?fù)鋫鬟f性、拓?fù)浠旌闲砸约罢蚩蓴U(kuò)性和混沌性質(zhì)。

1 基本概念及引理

定義1[9]設(shè)X為緊致度量空間， f:X→X為連續(xù)映射。X上的連續(xù)自映射列{f0, f1, f2,…}叫做“X上由連續(xù)自映射f經(jīng)迭代而生成的離散拓?fù)浒雱?dòng)力系統(tǒng)”；當(dāng)f為同胚映射時(shí)，則得到{…f-1, f0, f1, f2,…}，叫做“X上由連續(xù)自映射f經(jīng)迭代而生成的離散拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)”，記作(X, f),稱(chēng)為動(dòng)力系統(tǒng)。

定義3[9]設(shè)f為X上的連續(xù)映射。如果對(duì)任意的開(kāi)集U，V，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，有fn(U)∩V≠Φ，則稱(chēng)f是拓?fù)浠旌系摹?/p>

定義4[9]設(shè)f為X上的連續(xù)映射。如果存在δ>0，使得對(duì)于任意的x,y∈X, x≠y，存在n≥0，使得d(fn(x), fn(y))≥δ，則稱(chēng)f為正向可擴(kuò)的。

定義5[9]如果存在δ>0，使得對(duì)每一點(diǎn)x∈X和x的任意鄰域Ux，存在y∈Ux和n>0滿(mǎn)足d(fn(x), fn(y))>δ，則稱(chēng)f對(duì)初值敏感依賴(lài)，δ稱(chēng)為敏感常數(shù)。

定義6[9]如果下述3個(gè)條件得到滿(mǎn)足，則稱(chēng)f在Devaney意義下是混沌的。

(1)f是拓?fù)鋫鬟f的；

(3)f對(duì)初值敏感依賴(lài)。

下面介紹本次研究中要用到的幾個(gè)引理。

引理2 對(duì)任意集合A，B，C，D，有(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)。

證明 一方面，任取(x,y)∈(A×B)∩(C×D)，那么(x,y)∈A×B并且(x,y)∈C×D。所以x∈A并且x∈C，即x∈A∩C。同理，y∈B∩D。所以(x,y)∈(A∩C)×(B∩D)，即(A×B)∩(C×D)?(A∩C)×(B∩D)。

另一方面，任取(x,y)∈(A∩C)×(B∩D)，則x∈A∩C, y∈B∩D，故(x,y)∈A×B，且(x,y)∈C×D。因此(x,y)∈(A×B)∩(C×D)。從而(A∩C)×(B∩D)?(A×B)∩(C×D)。故(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)。

引理3 設(shè)拓?fù)淇臻gX沒(méi)有孤立點(diǎn)， f為X上的連續(xù)映射。若f是正向可擴(kuò)的，則f對(duì)初值敏感依賴(lài)。

證明 由于f是正向可擴(kuò)的，故存在δ>0，使得對(duì)于任意x，y∈X， x≠y,存在n≥0，使得d(fn(x), fn(y))≥δ。

2.1 σ×σ的周期性

對(duì)于研究動(dòng)力系統(tǒng)中點(diǎn)的軌道的漸近性質(zhì)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這一問(wèn)題，只有具有某種回復(fù)性的點(diǎn)的軌道才是重要的。本次研究討論的周期性便是一種特殊的回復(fù)性質(zhì)。

2.2 σ×σ的拓?fù)鋫鬟f性

(1) 施做注漿錨桿：由于普通自進(jìn)式中空注漿錨桿在TBM掘進(jìn)過(guò)程中會(huì)對(duì)刀盤(pán)形成嚴(yán)重?fù)p壞，因此掌子面注漿采用Φ32玻璃纖維自進(jìn)式中空注漿錨桿，通過(guò)刀孔或人孔向掌子面施做。錨桿長(zhǎng)度根據(jù)刀盤(pán)內(nèi)空間和錨桿具體施做位置確定，一般為2.0 m～3.0 m，間排距取1.0 m～1.5 m。

2.3 的拓?fù)浠旌闲?/p>

映射f在X上的作用可以看做f在X上引起的一個(gè)運(yùn)動(dòng)，不同的作用引起不同的運(yùn)動(dòng)，有的復(fù)雜劇烈，有的簡(jiǎn)單平緩。在某種意義上給出這種運(yùn)動(dòng)的混亂和復(fù)雜程度的一種描述或者分類(lèi)十分重要，拓?fù)浠旌闲跃褪敲枋鱿到y(tǒng)復(fù)雜程度的一個(gè)概念。下面討論σ×σ的拓?fù)浠旌闲浴?/p>

取N=max{k+1, l+1}，則當(dāng)n≥N時(shí)，σnU∩U1≠Φ且σnV∩V1≠Φ。由引理2.2知，(σnU∩U1)×(σnV∩V1)=(σnU×σnV)∩(U1×V1)=(σ×σ)n(U×V)∩(U1×V1)。

因此，當(dāng)n≥N時(shí)，(σ×σ)n(U×V)∩(U1×V1)≠Φ，故σ×σ是拓?fù)浠旌系摹?/p>

2.4 σ×σ的正向可擴(kuò)性和混沌性質(zhì)

混沌是描述系統(tǒng)復(fù)雜性的一個(gè)重要概念，自20世紀(jì)70年代以來(lái)，混沌性質(zhì)的研究已經(jīng)成為動(dòng)力系統(tǒng)的核心問(wèn)題之一。本次研究借助正向可擴(kuò)性討論σ×σ的混沌性質(zhì)。

故σ×σ是正向可擴(kuò)的。

證明 根據(jù)引理3，定理2，定理3，定理5可得。

[1] 楊蕓.平面動(dòng)力系統(tǒng)極限集的新性質(zhì)[D].合肥:安徽大學(xué),2010.

[2] 成丹丹.乘積符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[D].西安:西北大學(xué),2009.

[3] Akashi S.Embedding of expansive dynamical systems into symbolic dynamical systems[J].Reports on Mathematical Physics，2000,46:11-14.

[4] Douglas Cenzer,S Ali Dashti,Jonathan L F King.Effective symbolic dynamics[J].Electronic Notes in Theoretical Computer Science,2008,202:89-99.

[5] 葉向東,黃文，邵松.拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)概論[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[6] 黎日松,吳華明.符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)(∑(z+)，σ)的若干性質(zhì)[J].湛江海洋大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué),2006,26(5):71-74.

[7] 麥結(jié)華,林桂蓮.符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的若干性質(zhì)[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1993,18(3):23-30.

[8] 陳秀慶.一般符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)子位移的拓?fù)浠旌蟍D].杭州:浙江大學(xué),2003.

[9] 周作領(lǐng).符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[M].上海:上海科技教育出版社,1997.

(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Properties of the Product System of Two Symbolic Semi-dynamical Systems

REN Yun-li1,ZHANG Li-juan1,2,CHEN Zuo-li1,YU Bai-yin1

(1 School of Mathematics and Information Science & Technology,Hebei Normal University of Science & Technology,Qinhuangdao Hebei,066004;2 Dingzhou Experimental Middle School of Hebei Province;China)

This paper discusses dynamical properties of the product of two symbolic semi-dynamical systems in the respects of the system’s recurrence, indecomposability and complexity. The results are as follows:(1) for every positive integern, the system has a periodic point with periodn; (2) by constructing a point whose orbit is dense, the topological transitivity of the system is proved; (3) the system is topological mixing; (4) by means of discussing the positive expansiveness, the result that the system is chaos in the sense of Devaney is obtained.

dynamical system; periodic point; topological transitivity; topological mixing; positive expansiveness

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.004

2015-04-15; 修改稿收到日期: 2015-06-23

O

A

1672-7983(2015)02-0016-04

任蘊(yùn)麗(1981-)，女，講師，碩士。主要研究方向：動(dòng)力系統(tǒng)。